第五章：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測(cè)試一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槭莻€(gè)常數(shù)，所以，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，C項(xiàng)錯(cuò)誤；，D項(xiàng)正確.故選：D.2．（2020·廣西·南寧三中高二期末（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，在中，當(dāng)時(shí)，解得（舍）或當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∴單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B.3．（2022·湖南師大附中高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)分別滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，，則，即，又，所以，且，.令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，，所以.所以，.故選：C.4．（2022·上海市金山中學(xué)高二期末）已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則=（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】故選：A．5．（2022·湖北·十堰東風(fēng)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則整數(shù)的最大值是（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)沒(méi)有零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程沒(méi)有實(shí)根，設(shè)，則令，即①，又函數(shù)，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以方程①即，即，有唯一的實(shí)數(shù)解且函數(shù)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以有最小值,又時(shí)，，所以方程沒(méi)有實(shí)根，可得則整數(shù)的最大值是1.故選：C.6．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高二期末）函數(shù)的圖象在其零點(diǎn)處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則，即的零點(diǎn)為，又，而，故函數(shù)的圖象在其零點(diǎn)處的切線方程為，即，故選：B.7．（2022·浙江省常山縣第一中學(xué)高二期中）設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，，不難看出在小于0，因此在單調(diào)遞減，且故方法一：設(shè)，，由泰勒公式可知故，當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增，且，故即，也就是方法二：設(shè)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因此，即綜上故選：A8．（2022·湖南·湘府中學(xué)高二階段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，因?yàn)椋?，即，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以等價(jià)于，則，即，解得．所以不等式的解集是．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）如圖，已知直線與曲線相切于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A．有極大值，也有極小值B．是的極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)【答案】ABD【解析】=，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，在處取得極大值，處取得極小值.故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD.10．（2022·福建·莆田一中高二期中）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最小值為，沒(méi)有最大值D．函數(shù)的極小值點(diǎn)為【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，解得，故的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B，，令，得，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，令，則，故的最小值不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，令，得，故結(jié)合兩側(cè)的單調(diào)性可知是的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11．（2022·浙江·高二期中）設(shè)定義在R上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱滿足“性質(zhì)T”，下列函數(shù)不滿足“性質(zhì)T”的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】變形為：，即在R上至少有2個(gè)根，所以在R上不單調(diào)，即可滿足“性質(zhì)T”，A選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，所以此時(shí)在R上單調(diào)，不滿足“性質(zhì)T”；B選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以此時(shí)在R上單調(diào)，不滿足“性質(zhì)T”；C選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足“性質(zhì)T”；D選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，又，所以在R上恒成立，故在R上單調(diào)遞增，不滿足“性質(zhì)T”；故選：ABD12．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．對(duì)不等式在上恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，若在上恒成立，得在上恒成立，則令，則，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)，則，C正確；對(duì)于D，令，，則在上單調(diào)遞減，則，即，，，結(jié)合A選項(xiàng)可得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，即對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022·江蘇連云港·高二期末）對(duì)于函數(shù)，若，則_____．【答案】4【解析】又，14．（2022·上海市金山中學(xué)高二期末）已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則_____．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意；所以.15．（2022·山西·運(yùn)城市薛遼中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】．【解析】令，則有，∴為奇函數(shù)，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，∴的圖像關(guān)于對(duì)稱，且，由，所以是上的增函數(shù)，，等價(jià)于，所以，所以，令，則，因?yàn)榍叶x域?yàn)?，所以是上的偶函?shù)，所以只需求在在上的最大值．當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得：，，即．16．（2022·湖南·安仁縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且，，則在區(qū)間上的極大值為_(kāi)___________．【答案】1【解析】由題意得，令，所以，則，且c為常數(shù)，所以，所以，解得，所以，則．令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值．又，所以，使．又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值．四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高二階段練習(xí)）已知曲線：（1）求的值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題得，所以.（2）因?yàn)?，所以，切線方程為，即.18．（2022·江蘇·南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二期中）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以切線方程為，即（2）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為19．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高二期末）已知（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，，在處的切點(diǎn)為，斜率，對(duì)應(yīng)的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，于是在上單調(diào)遞增.從而，因此在上沒(méi)有零點(diǎn)；即在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在上，在上，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)?，，?duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，所以，于是由零點(diǎn)存在性定理得時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，可得k的取值范圍是.20．（2022·湖南·衡陽(yáng)市一中高二階段練習(xí)）已知函數(shù).其中.（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）若，，令,所以，令,則，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減為.（2）時(shí)，要使即恒成立，則，即恒成立，令，.令，即，故.①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，不成立；②當(dāng)時(shí)，由，得或（舍），（i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，則在上，不成立.（ii）當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則，令，即，而，在上單調(diào)遞增，，，即恒成立，綜上所述：的取值范圍是.21．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求處的切線方程；（2）求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；(3)若存在實(shí)數(shù)a使對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1），而，故，所以在處的切線方程為.（2），令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故在僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).（3）令，由題設(shè)可得：函數(shù)的最大值不大于0，，根據(jù)（2）的結(jié)論可知有唯一極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，此時(shí)，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，綜上所述.22．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高二階段練