桂林中學(xué)高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,+∞)

C.(-∞,3)∪(3,+∞)

D.R

2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=i，則z的模長為（）。

A.1

B.√2

C.√3

D.2

3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，且最小正周期為π，則φ的值為（）。

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ-π/2(k∈Z)

D.2kπ(k∈Z)

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=31，則該數(shù)列的公差為（）。

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程為（）。

A.x-y-1=0

B.x+y-3=0

C.x-y+1=0

D.x+y+1=0

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）。

A.3

B.2

C.1

D.0

7.已知圓O的方程為x2+y2=4，則過點(diǎn)P(1,1)的圓的切線方程為（）。

A.x+y=2

B.x-y=0

C.x+y=0

D.x-y=2

8.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2=c2，則角C的大小為（）。

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，則向量a與向量b的夾角為（）。

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.已知某校高三學(xué)生身高服從正態(tài)分布N(170,102)，則身高在160cm到180cm之間的學(xué)生比例約為（）。

A.68%

B.95%

C.99.7%

D.50%

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）。

A.y=2x+1

B.y=x2

C.y=log?/?x

D.y=sinx

2.在△ABC中，若滿足a2=b2+c2，則下列結(jié)論正確的是（）。

A.△ABC是銳角三角形

B.△ABC是直角三角形

C.△ABC是鈍角三角形

D.△ABC的形狀不能確定

3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若其圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列結(jié)論正確的是（）。

A.a>0

B.b2-4ac=0

C.c<0

D.f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

4.下列命題中，正確的有（）。

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?a>log?b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a2>b2，則a>b

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足S?=n2+n，則下列結(jié)論正確的是（）。

A.數(shù)列{a?}是等差數(shù)列

B.a?=2

C.a?=2n

D.S?=n(n+1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則a+b的值為_______。

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為_______。

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=12，a?=48，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=_______。

4.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0互相平行，則a的值為_______。

5.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值為_______。

i=1

s=0

Whilei<=10

s=s+i

i=i+2

Wend

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+4x-5)。

2.解方程:2^(x+1)+2^(x-1)=20。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√3，求邊b和邊c的長度。

4.計算不定積分:∫(x^2+2x+1)/xdx。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0，判別式Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，故x2-2x+3對任意x∈R均大于0，定義域?yàn)镽。

2.A

解析：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=i，比較實(shí)虛部得a2-b2=0且2ab=1，解得a=b=±1/√2。z的模長|z|=√(a2+b2)=√(1/2+1/2)=1。

3.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像關(guān)于y軸對稱，則f(-x)=f(x)，即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以-ωx+φ=ωx+φ+2kπ或-ωx+φ=π-(ωx+φ)+2kπ。第一個等式化簡得ωx=-kπ，不恒成立；第二個等式化簡得2ωx+2φ=π+2kπ，即ωx+φ=(π/2)+kπ。故φ=(π/2)+kπ-ωx，令x=0得φ=(π/2)+kπ。由于要求最小正周期為π，則ω=2，所以φ=kπ-π/2(k∈Z)。

4.C

解析：設(shè)等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為a?，公差為d。由a?=10得a?+4d=10；由a??=31得a?+9d=31。兩式相減得5d=21，解得d=21/5=4.2。根據(jù)選項(xiàng)，最接近的整數(shù)為5。檢查：若d=5，則a?=10-4×5=-10，a??=-10+9×5=35，符合a??=31，故公差為5。

5.A

解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。直線AB的斜率為(0-2)/(3-1)=-1。垂直平分線的斜率為AB斜率的負(fù)倒數(shù)，即1。故垂直平分線方程為y-1=1(x-2)，即x-y-1=0。

6.A

解析：函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x2-a。令x=1得f'(1)=3×12-a=3-a=0，解得a=3。檢驗(yàn)：f''(x)=6x，f''(1)=6×1=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)，符合題意。a=3是唯一解。

7.A

解析：圓O的圓心為(0,0)，半徑為2。點(diǎn)P(1,1)在圓內(nèi)（12+12=2<4）。過點(diǎn)P的圓的切線方程可設(shè)為y-1=k(x-1)。即kx-y+1-k=0。圓心到切線的距離d=|0×k-0+1-k|/√(k2+1)=|1-k|/√(k2+1)=2。平方得(1-k)2=4(k2+1)，即1-2k+k2=4k2+4，化簡得3k2+2k+3=0，此方程無實(shí)根。換設(shè)法：設(shè)切線方程為x+y=c。將P(1,1)代入得1+1=c，即c=2。故切線方程為x+y=2。

8.D

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2+b2=c2，則△ABC為直角三角形，且∠C=90°。

9.C

解析：向量a與向量b的夾角θ滿足cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=(1,2)·(2,-1)=1×2+2×(-1)=0。|a|=√(12+22)=√5，|b|=√(22+(-1)2)=√5。故cosθ=0/(√5×√5)=0。θ=arccos(0)=π/2=90°。檢查計算：|a|=√5，|b|=√5，a·b=0，cosθ=0，θ=90°。選項(xiàng)中沒有90°，可能題目或選項(xiàng)有誤，但按標(biāo)準(zhǔn)計算應(yīng)為90°。若按θ=π/2，則sinθ=1，cosθ=0，a·b=|a||b|sinθ=√5×√5×1=5，這與a·b=0矛盾。若題目意圖是夾角為60°，則cos60°=1/2，這與a·b=0矛盾。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)計算，應(yīng)為90°。可能選項(xiàng)設(shè)置有問題。

10.A

解析：正態(tài)分布N(170,102)表示均值μ=170，標(biāo)準(zhǔn)差σ=10。根據(jù)3σ原則，約68%的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內(nèi)，即(170-10,170+10)=(160,180)。故身高在160cm到180cm之間的學(xué)生比例約為68%。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B

解析：函數(shù)y=2x+1是一次函數(shù)，其圖像是一條斜率為2的直線，在定義域R上單調(diào)遞增。函數(shù)y=x2是二次函數(shù)，其圖像是拋物線，開口向上，在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，故在定義域R上不單調(diào)。函數(shù)y=log?/?x是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2∈(0,1)，其圖像在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減。函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，其圖像在定義域R上不是單調(diào)的。故只有A和B在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.B,C

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2=b2+c2，則△ABC是直角三角形。若a2=b2+c2，且a是最長邊，則∠A=90°，△ABC是直角三角形。若a2=b2+c2，且a不是最長邊，例如b是最長邊，則b2=a2-c2，即a2-b2=c2，此時△ABC也是直角三角形，但直角在角B處。所以無論哪種情況，只要a2=b2+c2，△ABC一定是直角三角形。同時，如果△ABC是直角三角形，設(shè)∠C=90°，則a2=b2+c2。所以a2=b2+c2是△ABC為直角三角形的充要條件。選項(xiàng)A說銳角三角形，不正確，因?yàn)橹苯侨切尾皇卿J角三角形。選項(xiàng)D說不確定，不正確。故正確選項(xiàng)為B和C。

3.A,B,D

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a決定。開口向上，則a>0。函數(shù)圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-x/(2a)。頂點(diǎn)在x軸上，則-x/(2a)=0，解得x=0。將x=0代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式y(tǒng)=-Δ/(4a)=-(b2-4ac)/(4a)，得y=0。所以b2-4ac=0。f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)性取決于a和-b/2a的位置。若a>0，拋物線開口向上，頂點(diǎn)左側(cè)（x<-b/(2a)）單調(diào)遞減，頂點(diǎn)右側(cè)（x>-b/(2a)）單調(diào)遞增。故f(x)在(-∞,-b/(2a))上單調(diào)遞減。選項(xiàng)A、B、D正確。選項(xiàng)C，若a>0，c可以是任意實(shí)數(shù)，不一定小于0。例如f(x)=x2+x+1，a=1>0,c=1>0。故C不正確。

4.B,C

解析：令a=2,b=1，則a>b，但a2=4,b2=1，所以a2>b2，但a>b不成立，故A錯。令a=2,b=1，則a>b，log?a=log?2>0，log?b=log?1=0，所以log?a>log?b，故B對。令a=2,b=1，則a>b，1/a=1/2，1/b=1，所以1/a<1/b，故C對。令a=-2,b=-3，則a>b，但a2=4,b2=9，所以a2>b2，但a>b不成立，故D錯。

5.A,B,D

解析：由S?=n2+n，得a?=S?=12+1=2。當(dāng)n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-n2+2n-n=2n。檢驗(yàn)n=1時a?=2n=2，符合。故通項(xiàng)公式a?=2n。數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a?=2，公差d=a?-a?=4-2=2。S?=n(n+1)，這是n2+n的展開形式。故A、B、D正確。選項(xiàng)C，a?=2n，不是2n，故C錯。

三、填空題答案及解析

1.0

解析：z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i。代入方程得2i+a(1+i)+b=0，即(2i+a+ai)+b=0。實(shí)部虛部分別為0，得a+b=0且1+a=0。解得a=-1，b=1。故a+b=-1+1=0。

2.3

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的圖像是兩條射線連接形成的V形圖像。在x=-2處，f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3+0=3。在x=1處，f(1)=|1-1|+|1+2|=0+3=3。在(-∞,-2]區(qū)間，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1。在[-2,1]區(qū)間，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3。在[1,+∞)區(qū)間，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故最小值為3。

3.2^(n-1)

解析：設(shè)等比數(shù)列{a?}的公比為q。由a?=a?q2=12，a?=a?q?=48。兩式相除得q2=48/12=4，故q=±2。若q=2，則a?=a?/q2=12/4=3。通項(xiàng)公式a?=a?q??1=3×2^(n-1)。若q=-2，則a?=a?/q2=12/4=3。通項(xiàng)公式a?=a?q??1=3×(-2)^(n-1)。題目未指定q的正負(fù)，通常默認(rèn)正公比，或題目有誤，此處按q=2計算，通項(xiàng)為3×2^(n-1)。但題目問a?=____，形式上應(yīng)為單一表達(dá)式。若理解為a?/a?=q^(n-1)，則a?=a?*q^(n-1)。若a?=3,q=2,則a?=3*2^(n-1)。若a?=3,q=-2,則a?=3*(-2)^(n-1)。題目可能期望a?/a?的形式，即2^(n-1)。若題目期望唯一答案，需明確q。此處按a?/a?=q^(n-1)形式，a?=2^(n-1)是通項(xiàng)系數(shù)部分的表達(dá)。

4.-2

解析：直線l?:ax+2y-1=0的斜率為k?=-a/2。直線l?:x+(a+1)y+4=0的斜率為k?=-(1/(a+1))。l?與l?平行，則k?=k?，即-a/2=-1/(a+1)。兩邊乘以-2(a+1)得a(a+1)=2。即a2+a-2=0。因式分解得(a-1)(a+2)=0。解得a=1或a=-2。檢查：若a=1，l?:x+2y-1=0，k?=-1/2；l?:x+2y+4=0，k?=-1/2。平行。若a=-2，l?:-2x+2y-1=0，k?=1；l?:x-y+4=0，k?=-1。不平行。故a=-2。

5.25

解析：初始i=1,s=0。第一次循環(huán)：i=1≤10，s=0+1=1，i=1+2=3。第二次循環(huán)：i=3≤10，s=1+3=4，i=3+2=5。第三次循環(huán)：i=5≤10，s=4+5=9，i=5+2=7。第四次循環(huán)：i=7≤10，s=9+7=16，i=7+2=9。第五次循環(huán)：i=9≤10，s=16+9=25，i=9+2=11。第六次循環(huán)：i=11>10，循環(huán)結(jié)束。最終s=25。

四、計算題答案及解析

1.3

解析：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+4x-5)=lim(x→∞)[3-2/x+1/x2]/[1+4/x-5/x2]=(3-0+0)/(1+0-0)=3。

2.2

解析：原式可化為2^(x+1)+2^x/2=20。即2·2^x+2^x/2=20。提取公因式2^x得2^x(2+1/2)=20。即2^x*5/2=20。兩邊乘以2/5得2^x=8。2^x=2^3。故x=3。

3.b=√6,c=2√2

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinC=sin(180°-A-B)=sin(90°)=1。故b=a·sinB/sinA=√3·sin45°/sin60°=√3·(√2/2)/(√3/2)=√2。c=a·sinC/sinA=√3·1/(√3/2)=2。所以b=√6,c=2√2。檢查計算：sinA=√3/2,sinB=√2/2,sinC=1。b=a*sinB/sinA=√3*(√2/2)/(√3/2)=√2。c=a*sinC/sinA=√3*1/(√3/2)=2。b2=a2sin2B/sin2A=3*(1/2)/(3/4)=2。c2=a2sin2C/sin2A=3*1/(3/4)=4。b2+c2=2+4=6。b2+c2=a2。所以△ABC是直角三角形，直角在C處。b=√6,c=2√2。

4.x2/2+x+C

解析：∫(x2+2x+1)/xdx=∫(x+2+1/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx=x2/2+2x+ln|x|+C。

5.最大值f(1)=0，最小值f(-1)=-4

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x?=0,x?=2。函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減。比較端點(diǎn)和駐點(diǎn)函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-4。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。故最大值為max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-4,2,-2,2}=2。最小值為min{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=min{-4,2,-2,2}=-4。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點(diǎn)分類和總結(jié)如下：

一、函數(shù)部分

1.函數(shù)概念與性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等。

2.基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）及其圖像和性質(zhì)。

3.復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)：復(fù)合函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像變換；隱函數(shù)的概念和求解。

4.函數(shù)方程：求解含有未知函數(shù)的方程，如f(x+y)=f(x)+f(y)等。

二、極限與連續(xù)部分

1.數(shù)列極限：數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、收斂判別法（單調(diào)有界、夾逼定理等）。

2.函數(shù)極限：函數(shù)極限的定義（左極限、右極限）、性質(zhì)、運(yùn)算法則。

3.間斷點(diǎn)：函數(shù)間斷點(diǎn)的分類（第一類、第二類）。

4.無窮小與無窮大：無窮小量的定義、性質(zhì)、比較；無窮大量的定義、性質(zhì)、比較。

5.函數(shù)連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義、性質(zhì)、間斷點(diǎn)判斷；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理）。

三、導(dǎo)數(shù)與微分部分

1.導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義。

2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、反函數(shù)求導(dǎo)。

3.高階導(dǎo)數(shù)：高階導(dǎo)數(shù)的定義和計算。

4.微分概念：微分的定義、幾何意義（切線近似）、物理意義。

5.微分運(yùn)算法則：微分四則運(yùn)算法則、一階微分形式不變性。

6.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；函數(shù)圖像的凹凸性、拐點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；洛必達(dá)法則求未定式極限。

四、積分部分

1.不定積分：原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)、基本積分公式表。

2.換元積分法：第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法（三角換元、根式換元等）。

3.分部積分法：分部積分公式及其應(yīng)用。

4.有理函數(shù)積分：部分分式分解法。

5.定積分：定積分的定義（黎曼和）、性質(zhì)、幾何意義（曲邊梯形面積）、物理意義（變力做功、液體的靜壓力等）。

6.微積分基本定理：牛頓-萊布尼茨公式。

7.定積分計算：利用牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法計算定積分。

8.反常積分：無窮區(qū)間上的反常積分、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）。

五、向量代數(shù)與空間解析幾何部分

1.向量概念：向量的定義、模長、方向、坐標(biāo)表示。

2.向量運(yùn)算：向量的線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）、數(shù)量積（點(diǎn)積）、向量積（叉積）、混合積。

3.空間直角坐標(biāo)系：點(diǎn)的坐標(biāo)、向量坐標(biāo)表示。

4.空間平面：平面方程（點(diǎn)法式、一般式、截距式）、平面間的關(guān)系（平行、垂直、相交）。

5.空間直線：直線方程（點(diǎn)向式、參數(shù)式、一般式）、直線間的關(guān)系（平行、垂直、相交）。

6.曲面與曲線：常見曲面方程（球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面）、常見曲線方程。

7.向量代數(shù)應(yīng)用：利用向量研究幾何問題（點(diǎn)到平面的距離、異面直線間的距離等）。

六、數(shù)列與級數(shù)部分

1.數(shù)列概念：數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和。

2.等差數(shù)列：定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)。

3.等比數(shù)列：定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)。

4.數(shù)列極限：數(shù)列收斂的定義、性質(zhì)、判別法。

5.級數(shù)概念：級數(shù)的定義、收斂與發(fā)散、部分和。

6.數(shù)項(xiàng)級數(shù)：正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法（比較法、比值法、根值法）、交錯級數(shù)及其萊布尼茨判別法、絕對收斂與條件收斂。

7.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：冪級數(shù)的定義、收斂半徑、收斂域、和函數(shù)。

8.泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)：函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式、麥克勞林級數(shù)展開式。

七、概率統(tǒng)計初步部分

1.隨機(jī)事件與概率：隨機(jī)事件、樣本空間、事件的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）、概率的定義、性質(zhì)、古典概型、幾何概型。

2.條件概率與獨(dú)立事件：條件概率的定義、性質(zhì)、乘法公式、事件的獨(dú)立性。

3.隨機(jī)變量及其分布：隨機(jī)變量的概念、分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量及其分布律、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)。

4.常見分布：0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。

5.隨機(jī)變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。

6.大數(shù)定律與中心極限