貴州安順數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作________。

A.A=B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是拋物線，當(dāng)________時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4)的值是________。

A.3

B.-2

C.1

D.0

4.在三角函數(shù)中，sin(π/6)的值是________。

A.1/2

B.1/3

C.√2/2

D.√3/2

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值是________。

A.-2

B.2

C.-5

D.5

6.在概率論中，事件A和事件B互斥的意思是________。

A.P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.P(A∩B)=0

C.P(A|B)=P(A)

D.P(B|A)=P(B)

7.在微積分中，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)的充分條件是________。

A.f(x)在x=a處連續(xù)

B.f(x)在x=a處的左極限和右極限存在且相等

C.f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)存在

D.以上都是

8.在線性代數(shù)中，向量空間R^n的維數(shù)是________。

A.n

B.1

C.0

D.無(wú)窮大

9.在復(fù)變函數(shù)中，函數(shù)f(z)=1/z在z=0處的奇點(diǎn)是________。

A.可去奇點(diǎn)

B.極點(diǎn)

C.本性奇點(diǎn)

D.解析點(diǎn)

10.在數(shù)論中，一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身外沒(méi)有其他因數(shù)，稱為_(kāi)_______。

A.合數(shù)

B.質(zhì)數(shù)

C.素?cái)?shù)

D.完全數(shù)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的有________。

A.f(x)=x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=sin(x)

2.在空間解析幾何中，下列方程表示球面的是________。

A.x^2+y^2+z^2=1

B.x^2+y^2=1

C.x^2+y^2+z^2=4z

D.x^2+y^2-z^2=1

3.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，下列分布是連續(xù)型分布的有________。

A.二項(xiàng)分布

B.泊松分布

C.正態(tài)分布

D.超幾何分布

4.在線性代數(shù)中，下列說(shuō)法正確的有________。

A.階梯形矩陣的行向量線性無(wú)關(guān)

B.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)

C.齊次線性方程組Ax=0一定有解

D.若向量組A線性無(wú)關(guān)，則向量組A的任何部分組也線性無(wú)關(guān)

5.在數(shù)學(xué)分析中，下列說(shuō)法正確的有________。

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f(x)在I上連續(xù)

B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處連續(xù)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處取得極值，且f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f'(a)=0

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可積，則f(x)在I上連續(xù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______。

2.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)/(2n-1)的和等于________（結(jié)果用π表示）。

3.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,3)，則向量a與向量b的夾角余弦值是________。

4.在線性回歸分析中，若變量y與變量x之間的回歸方程為y=3+2x，則當(dāng)x=5時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為_(kāi)_______。

5.設(shè)A為三階矩陣，且|A|=2，則矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式|A*|的值是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求極限lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2。

3.計(jì)算二重積分?_D(x^2+y^2)dA，其中D是由拋物線y=x^2和直線y=x圍成的區(qū)域。

4.解線性方程組：

2x+y-z=1

3x-2y+2z=5

x+4y-3z=6

5.將函數(shù)f(x)=sin(2x)在區(qū)間[-π,π]上展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C(A表示集合相等，B表示A真包含于B，C表示A子集于B，D表示A真包含B于)

2.A(二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線開(kāi)口方向，a>0開(kāi)口向上，a<0開(kāi)口向下)

3.A(分子分母同除以x^2，得極限lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(1+4/x^2)=3/1=3)

4.A(特殊角三角函數(shù)值，sin(π/6)=1/2)

5.A(det([[1,2],[3,4]])=1×4-2×3=4-6=-2)

6.B(事件A和B互斥的定義是P(A∩B)=0，即兩事件不可能同時(shí)發(fā)生)

7.D(函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是該點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)且左右導(dǎo)數(shù)存在且相等)

8.A(R^n是n維歐幾里得空間，其維數(shù)為n)

9.B(1/z在z=0處有奇點(diǎn)，且lim(z→0)(1/z)不存在，屬于極點(diǎn)類型)

10.C(質(zhì)數(shù)定義：大于1的自然數(shù)，除了1和自身外沒(méi)有其他約數(shù)，數(shù)學(xué)上稱為素?cái)?shù))

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ACD(B在x=0處無(wú)定義不連續(xù)；A是連續(xù)多項(xiàng)式；C是連續(xù)絕對(duì)值函數(shù)；D是連續(xù)三角函數(shù))

2.AC(A是球面方程標(biāo)準(zhǔn)形式；B是圓柱面方程；C可化簡(jiǎn)為(x-2)^2+y^2+z^2=4為球面；D是雙曲面方程)

3.BC(A和D是離散型分布，B泊松分布和C正態(tài)分布都是連續(xù)型分布)

4.ABD(C錯(cuò)誤，齊次方程Ax=0未必有非零解，只有當(dāng)矩陣A秩小于n時(shí)才有非零解)

5.BCD(A錯(cuò)誤，單調(diào)函數(shù)不一定是連續(xù)的，如階梯函數(shù)；B正確，可導(dǎo)必連續(xù)；C正確，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0)

6.ABD(C錯(cuò)誤，部分組線性無(wú)關(guān)不能推出整體線性無(wú)關(guān)，如向量組{e1,e2,e3}中去除e3的{e1,e2}線性無(wú)關(guān))

三、填空題答案及解析

1.-3(f'(x)=3x^2-2x，x=1處極值需滿足f'(1)=0得3-2a=0即a=3，再驗(yàn)證f''(1)=6-2=4>0為極小值，所以a=3)

2.π/4(這是奇數(shù)項(xiàng)的萊布尼茨級(jí)數(shù)，相當(dāng)于sin(x)/x在x=π處的展開(kāi)，求和為π/4)

3.1/√30(cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×2+2×(-1)+(-1)×3)/(√6×√14)=-1/√30)

4.13(直接代入x=5到回歸方程y=3+2x得到y(tǒng)=3+2×5=13)

5.4(A*的行列式等于|A|^n-1，這里|A*|=|A|^3-1=2^2=4)

四、計(jì)算題解答過(guò)程

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2-2(x+1)+4]/(x+1)dx

=∫(x+1)dx-∫2dx+∫4/(x+1)dx

=(x^2)/2+x-2x+4ln|x+1|+C

=x^2/2-x+4ln|x+1|+C

2.lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2=lim(x→0)[1+x+x^2/2+o(x^2)-(1-x^2/2+o(x^2))]/x^2

=lim(x→0)[x+x^2/2+x^2/2]/x^2=lim(x→0)(2x^2/2x^2)=1

3.?_D(x^2+y^2)dA=∫_0^1∫_{x^2}^x(x^2+y^2)dydx

=∫_0^1[x^2y+y^3/3]_{x^2}^xdx

=∫_0^1(x^3+x^3/3-x^5-x^6/3)dx

=∫_0^1(4x^3/3-x^5-x^6/3)dx

=[x^4-x^6/6-x^7/21]_0^1=1-1/6-1/21=30/42-7/42-2/42=21/42=1/2

4.使用增廣矩陣行變換：

[[2,1,-1,1],[3,-2,2,5],[1,4,-3,6]]→[[-1,1,2,-3],[-1,2,-1,5],[1,4,-3,6]]

→[[-1,1,2,-3],[0,3,-3,8],[0,5,-1,9]]→[[-1,1,2,-3],[0,1,-1,8/3],[0,0,9/3,7/3]]

→[[-1,1,2,-3],[0,1,-1,8/3],[0,0,1,7/9]]→[[-1,1,0,-13/9],[0,1,-1,8/3],[0,0,1,7/9]]

→[[-1,0,0,-13/9+8/9],[0,1,0,8/3+7/9],[0,0,1,7/9]]→[[-1,0,0,-5/9],[0,1,0,31/9],[0,0,1,7/9]]

→[[-1,0,0,-5/9],[0,1,0,31/9],[0,0,1,7/9]]→[1,0,0,5/9][0,1,0,-31/9][0,0,1,-7/9]

解得x=5/9,y=-31/9,z=-7/9

5.傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：

f(x)=sin(2x)周期為π，展開(kāi)系數(shù)：

a_n=(1/π)∫_{-π}^πsin(2x)cos(nx)dx=0(奇函數(shù)乘偶函數(shù)積分為0)

b_n=(1/π)∫_{-π}^πsin(2x)sin(nx)dx

=(1/π)[(-1)^n/(4-n^2)-(-1)^n/(4+n^2)]

=(-1)^n(2/(4-n^2))(n≠2)

b_2=(1/π)∫_{-π}^πsin^2(2x)dx=(1/π)∫_{-π}^π(1-cos(4x))/2dx=π/2

所以f(x)=π/2sin(2x)+Σ_{n=1,3,...}(-1)^n(2/(4-n^2))sin(nx)

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)：

1.函數(shù)基礎(chǔ)

-函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)判定

-基本初等函數(shù)性質(zhì)（三角函數(shù)、指數(shù)對(duì)數(shù)）

-函數(shù)奇偶性周期性分析

2.極限與連續(xù)

-極限計(jì)算方法（洛必達(dá)法則、泰勒展開(kāi)）

-函數(shù)連續(xù)性判定與間斷點(diǎn)分類

-極限與連續(xù)的相互關(guān)系

3.一元函數(shù)微分學(xué)

-導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算

-微分中值定理（拉格朗日中值定理）

-函數(shù)單調(diào)性極值判定

-函數(shù)圖像性態(tài)分析

4.一元函數(shù)積分學(xué)

-不定積分計(jì)算（換元積分法）

-定積分計(jì)算（換元法分部積分法）

-定積分應(yīng)用（面積計(jì)算）

5.多元函數(shù)微積分

-偏導(dǎo)數(shù)與全微分

-多重積分計(jì)算（直角坐標(biāo)極坐標(biāo)）

-常見(jiàn)曲面方程與性質(zhì)

6.線性代數(shù)基礎(chǔ)

-矩陣運(yùn)算與行列式

-向量線性相關(guān)性

-線性方程組求解（高斯消元法）

-特征值與特征向量初步

7.概率統(tǒng)計(jì)初步

-基本概率概念與計(jì)算

-常見(jiàn)分布（二項(xiàng)泊松正態(tài)）

-隨機(jī)變量函數(shù)分布

-參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解：

選擇題：

-考察基礎(chǔ)概念理解（如集合關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)）

-考察計(jì)算能力（極限行列式積分）

-考察理論推導(dǎo)（如連續(xù)可導(dǎo)關(guān)系）

-考察特殊值計(jì)算（如三角函數(shù)值）

多項(xiàng)選擇題：

-考察綜合判斷能力

-考察概念辨析（如連續(xù)與可導(dǎo)關(guān)系）

-考察分布類型識(shí)別

-考察理