第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區(qū)高二下學期學業(yè)水平調(diào)研數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=?2A.?16 B.16 C.?32 D.322.已知函數(shù)fx=cosxxA.xcosx?sinxx2 B.?x3.已知1?2x5=a0+A.?10 B.?40 C.10 D.404.某學校組織高二學生參加社會實踐研學活動，研學路線有成都、南京、西安共3條．學校安排3名男教師和3名女教師一起負責研學活動，若每條路線安排男、女教師各1名，則不同的分配方案種數(shù)為(

)A.36 B.72 C.108 D.2165.已知函數(shù)fx的導函數(shù)f′x=ax+2x?12A.函數(shù)fx有2個極值點

B.函數(shù)fx在區(qū)間1,3上沒有零點

C.函數(shù)fx在區(qū)間?2,3上單調(diào)遞減

D.曲線y=f6.已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn，a1=b1=?4,A.有且僅有1個值 B.有且僅有2個值 C.有且僅有3個值 D.有無數(shù)多個值7.甲、乙兩名運動員進行某項比賽并約定：若其中一人連續(xù)贏兩局，則此人獲勝，比賽結束．已知每局比賽結果相互獨立，且每局甲贏的概率為35(沒有平局).則在第三局結束比賽的條件下，運動員甲獲勝的概率是(

)A.18125 B.36125 C.358.設an是所有項都不為0的無窮等差數(shù)列，則“1an為遞減數(shù)列”是“anA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)fx的定義域為D，若對任意的x1∈D，都存在唯一的x2∈D，使得f′x1=?f′x2A.fx=sinx B.fx=x10.已知函數(shù)fx=x3?3x,x≤a,?x+a,x>a,A.當a=0時，函數(shù)fx在?1,+∞單調(diào)遞減

B.當?1≤a≤2時，函數(shù)fx有最大值2

C.當a≥3時，函數(shù)fx有3個極值點

D.當a>0時，直線y=x?a二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知數(shù)列an的通項公式為an=2n?1，則a3=

；記an的前n項和為Sn，則12.已知函數(shù)fx=ln2x+2，則其定義域為

，f′x13.現(xiàn)有甲、乙、丙三個人，需要執(zhí)行某項試驗任務，每個人至多執(zhí)行一次．如果規(guī)定時間內(nèi)某人完成任務，則試驗成功，結束該任務；如果規(guī)定時間內(nèi)某人不能完成任務，則撤回再由下一個人執(zhí)行任務．若該項試驗任務按照甲、乙、丙的順序執(zhí)行且甲、乙、丙三人在規(guī)定時間內(nèi)完成任務的概率分別為45,34,14.已知函數(shù)fx=x3+ax2+4在區(qū)間15.已知無窮數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=12①實數(shù)k>0；②數(shù)列Sn③當a1=1時，對任意M>0，存在n0>0，當④當an>0恒成立時，其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點0,f(2)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間．17.(本小題12分)AI幻覺，是指AI模型生成看似合理但實際不正確或毫無事實依據(jù)的信息的現(xiàn)象．AI幻覺率是指AI模型產(chǎn)生AI幻覺的概率．現(xiàn)抽取了由甲、乙、丙、丁四個公司研發(fā)的14個使用率較高的AI模型，其幻覺率如下表所示：公司甲乙丙丁AI模型1234567891011121314幻覺率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%(1)從表中提供的AI模型中任取一個，求該模型幻覺率低于2%的概率；(2)從表中提供的幻覺率低于2%的AI模型中任取3個，用隨機變量X表示其中幻覺率低于1.3%的模型個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(3)已知某同學向表中乙或丙公司的某個AI模型進行了一次提問，經(jīng)查證，該模型產(chǎn)生了AI幻覺，則該模型來自哪個公司的可能性更大?(結論不要求證明)18.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)當a=1時，直線l是曲線y=fx的一條切線，求l的斜率的最小值(2)當a<0時，求證：函數(shù)fx(3)若存在實數(shù)m，使得關于x的不等式fx<1的解集為{x∣0<x<m}，直接寫出a19.(本小題12分)給定正整數(shù)nn≥3，若數(shù)列An:a1,a2,?,an同時滿足下列兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列An為Pn數(shù)列：(1)寫出兩個P3數(shù)列A(2)若An為Pn數(shù)列，求(3)求bn+1bn答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式計算可得結果．【詳解】由an+1=?2a則an是首項為1，公比為?2則a5故選：B．2.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)除法的求導法則求導即可．【詳解】因為f′x故選：B3.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)二項式定理性質(zhì)運算．【詳解】a2故選：D4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)全排列即可求解．【詳解】每條路線安排一男一女，故總的分配方法有A3故選：A5.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象判斷原函數(shù)單調(diào)性判斷ABC，根據(jù)導數(shù)在某點處幾何意義可判斷D．【詳解】由圖可知：函數(shù)fx在?∞,?2單調(diào)遞增，在?2,+∞對A，函數(shù)fx只有1個極大值點x=?2對B，函數(shù)fx在1,3對C，數(shù)fx在區(qū)間?2,3對D，曲線y=fx在點?2,f?2處的切線斜率為故選：C6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應用，數(shù)列與不等式，數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．

根據(jù)題意求公差和公比，令cm【解答】解：設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為因為a1=b1=?4則?4+3d=2?4+4d=8×?4令cm可得c1=16,c2=?4,若m≥4，則m?3>0，(1)若m為奇數(shù)，則cm=16m?3(2)若m為偶數(shù)，則cm,c即cm+2<cm，可得綜上所述：滿足am?bm>1的數(shù)值m故選：A．7.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可求解．【詳解】第三局結束比賽的概率為35則在第三局結束比賽的條件下甲獲勝的概率為1?3故選：C8.【答案】A

【解析】【分析】作差法得到1an+1?1a【詳解】若{1a因此需要滿足：d>0且an若a1>0，d>0，則an

若a1<0，，d>0則存在n使得an{1an}遞減的充要條件是即若{1an若an為遞增數(shù)列，則a1a由于不知道an+1an故不能得到1a例如an為以下數(shù)列：?1,1,3,5,?則1an為所以“1an為遞減數(shù)列”是“故選：A．9.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)題意逐項驗證函數(shù)具有性質(zhì)P，即可求解．【詳解】A：由fx=sinx的定義域為R，f′x此時x2=π2+kπ，k∈Z，f′x2=cosB：fx=x當x≥0時，f′x=2x?1，當x<0時，f′當f′x1=?f′x2時，x2不唯一，故C：由fx=x3?2x的定義域為R則f′x1=3x12?2=?f′x2=?3D：由fx=x?3lnx由y=lnx為增函數(shù)，y=?3x也為增函數(shù)，所以則對任意的x1∈0,+∞時，都存在唯一的x2∈故選：D．10.【答案】D

【解析】【分析】先判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，然后對a【詳解】由fx=x令f′x>0，則x<?1或x>1；令f′x所以函數(shù)fx=x3?3xy=?x+a在R上單調(diào)遞減．對于A，當a=0時，f函數(shù)fx在?1,+∞單調(diào)遞減，故A對于B，當a=2時，f?1=2f?1所以當?1≤a≤2時，根據(jù)上面對函數(shù)單調(diào)性的判斷可知函數(shù)fx有最大值2，故B對于C，當a≥3時，函數(shù)fx在?1,1單調(diào)遞減，在?∞,?1則函數(shù)fx有3個極值點，故C對于D，當a=3時，函數(shù)fx在?1,1單調(diào)遞減，在?∞,?1,1,所以函數(shù)直線y=x?a與曲線y=fx恰有3個交點，則D故選：D．11.【答案】5

；100

【解析】【分析】將n=3代入an=2n?1即可求出a3；先根據(jù)等差數(shù)列的定義證明數(shù)列an是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式求出Sn【詳解】因為an=2n?1，所以又因為an+1所以an+1?a所以數(shù)列an是以a1=1所以Sn所以S10故答案為：5；10012.【答案】?1,+∞

；

；

；

；

；

；1【解析】【分析】要使函數(shù)fx=ln2x+2有意義，只須讓真數(shù)2x+2>0，求解不等式即可得到函數(shù)f(x)的定義域；令u=2x+2，則【詳解】要使函數(shù)fx=ln2x+2有意義，須滿足所以函數(shù)f(x)的定義域為?1,+∞；令u=2x+2，則fx所以f′x故答案為：?1,+∞；113.【答案】5960【解析】【分析】分析出試驗成功有以下三種情況：①甲成功，②甲不成功乙成功，③甲乙都不成功丙成功，分別求出三種情況的概率，再求和即可得解．【詳解】試驗成功有以下三種情況：①甲成功，概率為P甲②甲不成功乙成功，概率為P乙③甲乙都不成功丙成功，概率為P丙所以試驗成功的概率P=P故答案為：5914.【答案】?3,+∞

【解析】【分析】本題可以求f′(x)并討論其在0,+∞上的正負，根據(jù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，從而求出f(x)在0,+∞上沒有零點時a的取值范圍．【詳解】由題得f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)，令f′(x)=0解得x1=0或x2=?2a(1)當?2a3≤0，即a≥0時，在區(qū)間0,+∞所以f(x)在0,+∞上單調(diào)遞增，又f(0)=4>0，所以f(x)在上沒有零點，滿足條件；(2)當?2a3>0，即a<0時，在0,?2a3在?2a3,+∞上，f′(x)>0所以f(x)在x=?2a3處取得極小值，也即是區(qū)間因為f(x)在0,+∞上沒有零點，所以f(?2a又f(?2a3)=解得a>?3，結合a<0，此時?3<a<0．綜上所述a>?3．故答案為：?3,+∞．15.【答案】①②③④

【解析】【分析】①利用首項條件，推導出k與首項的關系，判斷k的符號；②通過遞推關系或數(shù)學歸納法，驗證其是否為等差數(shù)列；③結合等差數(shù)列的通項，分析當n趨近于無窮時Sn④根據(jù)等差數(shù)列的通項，判斷an+1【詳解】對于①，當n=1時，S1=a1=12a1+ka1故①正確．對于②，當n≥2時，an=Sn?等式兩邊同乘2Sn?Sn?1得2SnSn?Sn?1=故②正確．對于③，當a1=1時，則k=a12=1，由②可知數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列通項公式可得Sn2=當n≥2時，an=Sn?∴對任意M>0，存在n0>0，當n>n故③正確．對于④，由②可知數(shù)列Sn2是以k為首項，k為公差的等差數(shù)列，∴S∵an>0，∴Sn則an+1=∴an+1<故④正確．故答案為：①②③④16.【答案】(1)因為fx=e因為f′=e所以f′(0)=e所以y=fx在點0,f0處的切線方程為即2x?y+1=0；(2)函數(shù)f(x)的定義域為R，因為ex>0恒成立，所以令f′(x)>0，解得x>2或x<1，令f′(x)<0，解得1<x<2，所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為?∞,1和2,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為1,2

【解析】【分析】(1)由fx先求出f(0)，再求導數(shù)f′(x)，進而求出f′(0)(2)先求函數(shù)fx的定義域，再解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，即可求出f17.【答案】(1)14個AI模型，幻覺率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5個，所以幻覺率低于2%的概率為1?(2)幻覺率低于2%的AI模型中共有9個，其中幻覺率低于1.3%的模型有3個，故X=0,1,2,3，PX=0X0123P2045181，故E(3)來自于乙公式的概率大，理由如下：M=“模型來自于乙公司”，N=

“模型來自于丙公司”，Mi=“AI模型的編號為i”，i=4,5,6，Nj=“AI模型的編號為B=“AI模型產(chǎn)生了AI幻覺”

則PM則PP則PB由于M=所以P(M|B)=P(N|B)=由于917

【解析】【分析】(1)根據(jù)古典概型的計算公式即可求解，(2)根據(jù)超幾何概率的計算公式求解分布列，即可由期望公式求解，(3)根據(jù)貝葉斯公式計算大小，比較即可作答．18.【答案】(1)函數(shù)f(x)的定義域為0,+∞．當a=1時，fxf′x設g(x)=2x?ln則g′令g′(x)=0，因為x>0，所以解得x=1所以當0<x<12時，g′(x)<0，g(x)在當x>12時，g′(x)>0，g(x)在所以當x=12時，g(x)取到最小值即切線l的斜率的最小值為ln2(2)函數(shù)f(x)的定義域為0,+∞．f′x令?(x)=2x?alnx?ax>0因為a<0，所以?a>0，又因為x>0，所以?′(x)=2x?a所以?(x)在0,+∞上單調(diào)遞增．又因為?(1)=2×1?aln當x→0+時，?aln又因為?(x)=2x?alnx?a在所以存在x0∈0,1，使得?(所以當0<x<x0時，?(x)<0，即f′(x0)<0當x>x0時，?(x)>0，即f′(x0)>0所以x=x0是f(x)的極小值點，函數(shù)(3)fx<1等價于x2令p(x)=x?1若存在實數(shù)m，使得關于x的不等式fx<1，即p(x)<0的解集為p′(x)=1+1x2(i)當a≤2時，m(x)=x2?ax+1所以m(x)≥0在x>0時恒成立，即p′(x)≥0在x>0時恒成立，即p(x)在0,+∞上單調(diào)遞增．因為p(1)=1?1?aln1=0，所以當0<x<1時，p(x)<0；當x>1時，p(x)>0，能滿足使p(x)<0的解集為{x∣0<x<1}，符合題意；(ii)當a>2時，m(x)=x2?ax+1故m(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，x1+x則可知p(x)在0,x1上單調(diào)遞增，在x1所以p(x)在x=x1時取到極大值，在又因為p(1)=1?1?aln1=0，所以p(x又當x→0+時，p(x)→?∞，所以在0,x在x2,+∞上存在另外一個零點所以p(x)<0的解集為0,x與p(x)<0的解集為{x∣0<x<m}相矛盾，故不符合題意．綜上可知，a的取值范圍為a≤2．

【解析】【分析】(1)當a=1時，fx=x2?xlnx，求出導數(shù)f′(x)(2)先求出導數(shù)f′x=2x?alnx?a，令?(x)=2x?alnx?ax>0，借助研究導數(shù)?′(x)得到?(x)在0,+∞(3)令p(x)=x?1x?alnxx>