海淀第一次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(1,0)的距離等于到點(diǎn)B(-1,0)的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

A.x^2+y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.y^2=4x

D.x^2=4y

5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，且周期為π，則φ的可能取值是（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.kπ+π/4

D.kπ+π/6

6.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長度等于（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

7.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z^2+z+1=0，則z的值是（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y,z)到平面x+y+z=1的距離等于（）

A.|x+y+z-1|

B.√(x^2+y^2+z^2)

C.√(x^2+y^2+z^2-1)

D.1/(√(x^2+y^2+z^2))

9.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是（）

A.-1

B.2

C.3

D.5

10.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面，且PA=AD，則二面角P-AD-C的余弦值是（）

A.1/2

B.√2/2

C.√3/2

D.1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=3^x

C.y=log_2(x)

D.y=-x+1

2.已知等比數(shù)列{b_n}中，b_1=1，b_4=16，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和S_4等于（）

A.15

B.31

C.63

D.127

3.在三角形ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，則角C的可能取值有（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,π)上是奇函數(shù)的有（）

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=cot(x)

5.在空間幾何體中，下列命題正確的有（）

A.過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直

B.過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行

C.過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.過空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^2-2ax+3在x=1時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)a的值為______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_3+a_9=24，則該數(shù)列的公差d等于______。

3.計(jì)算：lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)=______。

4.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是______。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度等于______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2x^2-3x-5=0。

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+1)dx。

4.在直角坐標(biāo)系中，求過點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的直線方程。

5.已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2,6,18，求該數(shù)列的第四項(xiàng)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}，即{x|1<x<3且x>2}，得{x|2<x<3}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)單調(diào)遞增需底數(shù)a>1。

3.B

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)a_5=a_1+4d，得9=3+4d，解得d=2。

4.A

解析：點(diǎn)P到A距離等于到B距離，即|PA|=|PB|，根據(jù)距離公式(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2，化簡得x^2+y^2=1。

5.B

解析：f(x)關(guān)于y軸對稱即f(-x)=f(x)，得sin(ω(-x)+φ)=sin(ωx+φ)，利用sin(-α)=-sinα，得ω(-x)+φ=ωx+φ+2kπ，化簡得ωx=ωx+2kπ，故φ=kπ+π/2。

6.C

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得BC=b=AC*sinB/.sinA=2*sin45°/sin60°=√2。

7.D

解析：由|z|=1得z=1/cisθ，代入z^2+z+1=0得cis2θ+cisθ+1=0，利用cisθ=cosθ+isinθ，得(cos2θ+cosθ)+i(sin2θ+sinθ)=0，得cos2θ+cosθ=-1，sin2θ+sinθ=0，解得θ=2π/3，故z=cis(2π/3)=-1/2-√3/2i，但z^2+z+1=0的解應(yīng)為單位根的另外兩個(gè)值，即z=-1或z=√3/2+i，但√3/2+i不在單位圓上，故唯一解為z=-i。

8.C

解析：點(diǎn)到平面距離公式d=|Ax+By+Cz+D|/√(A^2+B^2+C^2)，此處平面為x+y+z=1即1x+1y+1z-1=0，故d=|x+y+z-1|/√3=√(x^2+y^2+z^2-1)/√3，但題目要求距離本身，故應(yīng)為√(x^2+y^2+z^2-1)。

9.D

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=0，f(-1)=-4，f(3)=0，故最大值為max{2,0,-4,0}=5。

10.A

解析：取AD中點(diǎn)E，連接PE，EF⊥AD，EF⊥PC，故∠PEF為二面角P-AD-C的平面角，設(shè)AD=1，PA=1，則PE=√2/2，EF=√2/4，cos∠PEF=EF/PE=(√2/4)/(√2/2)=1/2。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：y=x^2在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；y=3^x單調(diào)遞增；y=log_2(x)單調(diào)遞增；y=-x+1單調(diào)遞減。

2.A,B

解析：b_4=b_1*q^3=16，得q=2，S_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15。

3.A,C

解析：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，得3=b^2+1-2b*cos60°，即b^2-b-2=0，解得b=2或b=-1（舍），故cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(4+1-1)/(2*2*1)=3/4，C=30°。當(dāng)a=2，b=√3，c=1時(shí)，最大角為A，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(3+1-4)/(2√3*1)=0，A=90°，故角C可能為30°或60°或90°。

4.A,C,D

解析：sin(-x)=-sinx，故sinx為奇函數(shù)；tan(-x)=-tanx，故tanx為奇函數(shù)；cot(-x)=-cotx，故cotx為奇函數(shù)；cos(-x)=cosx，故cosx為偶函數(shù)。

5.A,C

解析：過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線垂直；過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線平行；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(x)在x=1時(shí)取得最小值，故x=1為對稱軸，即-2a/2=1，解得a=-1。

2.2

解析：a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d，由a_3+a_9=24得(a_1+2d)+(a_1+8d)=24，即2a_1+10d=24，又a_5=a_1+4d=12，故(a_1+4d)+(a_1+4d)=24，即2a_1+8d=24，聯(lián)立2a_1+10d=24和2a_1+8d=24，得2d=24-24=0，故d=2。

3.3/5

解析：lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)=lim(x→∞)[(3-2/x+1/x^2)/(5+4/x-3/x^2)]=3/5。

4.x+y-3=0

解析：AB中點(diǎn)為(2,1)，斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1，故垂直平分線斜率為1，方程為y-1=1*(x-2)，即x-y-1=0。

5.√6

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a*sinB/sinA=√3*sin45°/sin60°=√3*√2/2*2/√3=√2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=-1/2或x=5

解析：因式分解2x^2-3x-5=(2x+1)(x-5)=0，解得x=-1/2或x=5。

2.最大值為3，最小值為-1

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-1，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=3，故最大值為max{2,3}=3，最小值為min{-1,-2}=-2。

3.x^3/3+x^2+x+C

解析：∫(x^2+2x+1)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫1dx=x^3/3+x^2+x+C。

4.2x-y-2=0

解析：斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1，故方程為y-2=-1*(x-1)，即x+y-3=0。

5.54

解析：由等比數(shù)列性質(zhì)b_2/b_1=b_3/b_2，得q=b_3/b_2=6/2=3，故b_4=b_3*q=18*3=54。

知識點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋的主要知識點(diǎn)包括：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；方程的解法；數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；向量與幾何；積分與微分；平面與空間幾何等。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例

選擇題：主要考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和運(yùn)用能力，如函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幾何中的距離公式等。示例：已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，且周期為π，則φ的可能取值是（）

多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對多個(gè)知識點(diǎn)綜合運(yùn)用能力，如函數(shù)