2023-2024學(xué)年安徽省合肥市廬江縣九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分．每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的．）1.剪紙藝術(shù)是中國(guó)最具特色的民間藝術(shù)之一，其中蘊(yùn)含著極致的數(shù)學(xué)美．下列剪紙圖案是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，再根據(jù)概念逐一判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形．選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2.下列成語(yǔ)描述的事件是必然事件的是（）A.守株待兔 B.畫(huà)餅充饑 C.水中撈月 D.旭日東升【答案】D【解析】【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，即可區(qū)別各類(lèi)事件．【詳解】解：A.守株待兔是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B.畫(huà)餅充饑是不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；C.水中撈月是不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；D.旭日東升是必然事件，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3.已知矩形中，，下面四個(gè)矩形中與矩形相似是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】驗(yàn)證對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可判斷．【詳解】解：A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．熟記定理內(nèi)容即可．4.如圖，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，垂直于y軸，垂足為點(diǎn)A，的面積為2，則k的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：|k|=2∴|k|=4∵k＞0∴k=4故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，掌握k的幾何意義是關(guān)鍵.5.如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A.10 B.12 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，∵，∴，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．6.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.k＞﹣1 B.k＞﹣1且k≠0 C.k＜﹣1 D.k＜﹣1或k=0【答案】B【解析】【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7.把一拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為，則原拋物線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，此題實(shí)際上是求將拋物線先向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線的解析式．解題的關(guān)鍵掌握函數(shù)圖像平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．【詳解】解：∵拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為，∴向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到原拋物線，∴原拋物線的函數(shù)解析式為．故選：D．8.已知點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴圖象在一三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．9.如圖，直徑AB為3的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′處，則圖中陰影部分的面積是（）A.3π B. C.6π D.24π【答案】B【解析】【分析】根據(jù)陰影部分的面積=以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積-以AB為直徑的半圓的面積．即陰影部分的面積就等于扇形ABB′的面積．【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：以AB′為直徑的半圓的面積=以AB為直徑的半圓的面積，再根據(jù)陰影部分的面積=以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積-以AB為直徑的半圓的面積=扇形ABB′的面積．

則陰影部分的面積是：π．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力，運(yùn)用面積的和差求不規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.10.如圖，邊長(zhǎng)為的正六邊形在足夠長(zhǎng)的桌面上滾動(dòng)（沒(méi)有滑動(dòng)）一周，則它的中心點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查正多邊形和弧長(zhǎng)、軌跡，根據(jù)弧長(zhǎng)公式先求一段弧的長(zhǎng)，再根據(jù)滾動(dòng)一周等于一段弧長(zhǎng)乘以即可得中心點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，∵正六邊形的內(nèi)角為，∴，又∵邊長(zhǎng)為的正六邊形在足夠長(zhǎng)的桌面上滾動(dòng)（沒(méi)有滑動(dòng)）一周，∴，∴，，∴，∴邊長(zhǎng)為的正六邊形在足夠長(zhǎng)的桌面上滾動(dòng)（沒(méi)有滑動(dòng)）一周，則它的中心點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：．故選：B．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.已知1是一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是________．【答案】3【解析】【分析】把代入，得到關(guān)于c的一元一次方程，解之求得c的值，將c代入原方程，求解后即可得到答案．【詳解】解：把代入得：，解得：，即原方程為：，解得：，即方程的另一個(gè)根為：，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正確掌握代入法求得c的值是解題的關(guān)鍵．12.如圖，從一個(gè)直徑為的圓形鐵片中剪出一個(gè)圓心角為的扇形，再將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了求圓錐底面圓半徑，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑．連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得為的直徑，即，所以，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到方程即可求得．【詳解】解：連接，如圖，，為的直徑，即，，設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，∴，解得，即該圓錐的底面圓的半徑為．故答案為：．13.如圖，在矩形和正方形中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊上，，．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，根據(jù)，，得到，根據(jù)矩形對(duì)邊相等得到，推出，根據(jù)點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，得到，得到，推出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，∴，∵，∴，∴，，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∴，解得或（不合題意，舍去），∴，∴，∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，k的幾何意義．14.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，交于點(diǎn)．（1）連接，則線段的最小值是____________；（2）取的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值是____________．【答案】①.②.【解析】【分析】以所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸，作正方形的對(duì)稱(chēng)正方形，可得，證明可得°，即點(diǎn)在以為直徑的圓上，從而可得最短時(shí)點(diǎn)在上，利用勾股定理求得，繼而求出和，的值．【詳解】解：以所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸，作正方形的對(duì)稱(chēng)正方形，連接，∴，，，∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴當(dāng)最短時(shí)，最短，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最短，，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴的最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，確定出最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．三、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解方程：【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，先將等號(hào)右邊的代數(shù)式移到左邊，然后分解因式，從而將方程化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得：，．16.如圖，在中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，，，求和的長(zhǎng)．【答案】，【解析】【分析】此題考查平行線分線段成比例，利用得到，求出，，根據(jù)得到，由此求出．【詳解】∵∴∵∴，，∵∴∴．四、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在中，直徑垂直弦，垂足是點(diǎn)M，，求弦的長(zhǎng)．【答案】CD=24．【解析】【分析】連接OC，求出半徑OC和OM，根據(jù)勾股定理求出CM，根據(jù)垂徑定理得出，即可求出答案．【詳解】解：連接，則，，在中，，∵于點(diǎn)M，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能構(gòu)造直角三角形、求出CM長(zhǎng)和得出CD＝2CM．18.如圖，在直角梯形中，，，點(diǎn)A、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】##【解析】【分析】作軸于M，軸于N，利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得到，，證明，利用相似比可計(jì)算出，，則，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入中求出k的值即可得到反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：作軸于M，軸于N，如圖，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，∴，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入得，∴反比例函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求反比例函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．五、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.在下列網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位，在．（1）在圖中畫(huà)出ΔABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后的圖形；（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，在圖中建立直接坐標(biāo)系，并畫(huà)出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形A2B2【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1、C1的位置，順次連接即可；（2）首先根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，然后分別找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2的位置，順次連接即可．【詳解】解：（1）如圖所示；（2）直角坐標(biāo)系和如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換和中心對(duì)稱(chēng)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．20.北京冬奧會(huì)在2022年2月4日至20日舉行，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．小亮是個(gè)集郵愛(ài)好者，他收集了如圖所示的5張紀(jì)念郵票（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將5張郵票背面朝上，洗勻放好．（1）小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；（2）小亮決定將其中兩張郵票送給好朋友小明，若冬奧會(huì)會(huì)徽郵票記作A類(lèi)郵票，吉祥物冰墩墩郵票記作B類(lèi)郵票，吉祥物雪容融郵票記作C類(lèi)郵票，將5張郵票背面朝上洗勻后，讓小明從中隨機(jī)抽取2張郵票，抽得的郵票就送給小明，求小明抽取兩張郵票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求解）【答案】（1）小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是（2）P（抽取兩張郵票都是吉祥物冰墩墩）＝【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）利用列表法列出所有等可能的結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果，求出概率即可；【小問(wèn)1詳解】小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“吉祥物雪容融”的概率是；【小問(wèn)2詳解】列表如下：AA由表知，共有20種等可能結(jié)果，其中抽取兩張郵票都是冰墩墩的有2種結(jié)果∴P（抽取兩張郵票都是吉祥物冰墩墩）．【點(diǎn)睛】該題主要考查了概率計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟悉概率計(jì)算公式以及列表法或者樹(shù)狀圖法求概率．六、（本題滿分12分）21.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，B4,0兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)位于軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線，為垂足．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，（1）將點(diǎn)，B4,0的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于、的二元一次方程組，求解即可；（2）由函數(shù)解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到為等腰直角三角形，故此當(dāng)F時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．設(shè)，則，構(gòu)建方程從而可求得的值，于是可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)題意列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，B4,0兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；【小問(wèn)2詳解】∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得：，∴，∴，∴B4,0，，∴，∴為等腰直角三角形，∵以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴為等腰直角三角形，又直線，∴，設(shè)，∴，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，解得：（舍去），；當(dāng)時(shí)，解得：（舍去），，綜上所述，或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．七、（本題滿分12分）22.某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛(ài)，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷(xiāo)售，設(shè)每天銷(xiāo)售量為y個(gè)，銷(xiāo)售單價(jià)為x元．（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）將紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？（3）該商戶從每天的利潤(rùn)中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，求銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍．【答案】（1）；（2）將紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元最大，最大利潤(rùn)是2640元；（3）．【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．（1）根據(jù)題意直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售量（售價(jià)進(jìn)價(jià)），列出平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)（元與銷(xiāo)售價(jià)（元箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)；（3）根據(jù)題意得剩余利潤(rùn)為，利用函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)的的取值范圍即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大