一、根本概念和知識

L整除

例如:15+3=5,63+7=9

一般地,如a、b、c為整數(shù)，bwO,且a+b=c,即整數(shù)a除以整

除b〔b不等于0),除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)〔或者說余數(shù)

是0〕，我們就說，a能被b整除〔或者說b能整除a〕

7是63的約數(shù)。

2.數(shù)的整除性質(zhì)

性質(zhì)1:如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

例如：如果2門0,2|6,那么2|〔10+6〕，并且2|[10

一6〕0

性質(zhì)2:如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.

即：如果be|a,那么b|azc|a0

性質(zhì)3:如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能

整除a。

即：如果b|a,c|a,且〔b,c〕=1,那么be|au

例如：如果2|28,7|28,且〔2,7〕=1,

那么[2x7)|28e

性質(zhì)4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除ao

即：如果cIb,bIa,那么cIa。

例如：如果3|9,9|27,那么3|27。

3.數(shù)的整除特征

①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).

②能被3〔或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3〔或9）

整除。

③能被4〔或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4〔或25）整除。

④能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。

⑤能被8〔或125］整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8〔或125〕整

除。

⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與

偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差〔大減小〕是0或11的倍數(shù)。

⑦能被7（11或13〕整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與

末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差〔以大減小〕能被7〔11或13〕

整除。

練習(xí)及詳解

例題1.四位數(shù)"3AA1”是9的倍數(shù),那么A=______。〔小五奧數(shù)〕

解析：四位數(shù)3AA1正好是9的倍數(shù)，那么其各位數(shù)字之和3+A+A+1

一定是9的倍數(shù)，可能是9的1倍或2倍，可用試驗法試之。

練習(xí)〔1〕在“25口79這個數(shù)的□內(nèi)填上一個數(shù)字,使這個數(shù)能被11整

除，方格內(nèi)應(yīng)填____0

練習(xí)〔2〕一個五位數(shù)口691口能被55整除,所有符合題意的五位____。

例題2.1至100以內(nèi)所有不能被3整除的數(shù)的和是____o

解析：先求出1~100這100個數(shù)的和，再求100以內(nèi)所有能被3整除

的數(shù)的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的數(shù)的和。

(1+2+3+...+100)-〔3+6+9+12+...+99〕=(1+100)^2x100-(3+99)

+2x33=5050-1683=3367

練習(xí)所有能被3整除的兩位數(shù)的和是_____。

例題3.能同時被2、3、5整除的最大三位數(shù)是____。

練習(xí)能同時被2、5、7整除的最大五位數(shù)是____。

例題4.173□是個四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說：“我在這個口中先后填入3個

數(shù)字，

所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除。”問：數(shù)學(xué)老師先后填

入的3個數(shù)字的和是多少？

答案：二?能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，

1+7+3+口=11+口□內(nèi)只能填7O

二?能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的

數(shù)字和所得的差能被11整除。??.(7+口)-(1+3)=3+口能被n整除，.?.

口內(nèi)只能填8。

???能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和能被3整除，而1+7+3+口

=11+