抽象代數(shù)的考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)G是群，a∈G，|a|=12，則|a^3|=（）A.12B.4C.3D.1答案：B2.在整數(shù)加群（Z，+）中，〈3〉+〈5〉=（）A.〈15〉B.〈8〉C.〈1〉D.〈3〉答案：C3.設(shè)R是環(huán)，a∈R，若存在b∈R使得ab=1，則稱a是（）A.左可逆元B.右可逆元C.可逆元D.零因子答案：A4.設(shè)F是域，x是F上的未定元，多項式f(x)=x2-1在F[x]中的根的個數(shù)最多為（）A.0B.1C.2D.無窮多答案：C5.設(shè)G是有限群，|G|=n，則對于任意a∈G，a^n=（）A.aB.1C.0D.不確定答案：B6.設(shè)H是群G的子群，a∈G，則aH=H的充要條件是（）A.a∈HB.a2∈HC.a3∈HD.a?1∈H答案：A7.設(shè)R是整環(huán)，p∈R，若p≠0且p不是單位，并且若p|ab則p|a或者p|b，則p稱為（）A.不可約元B.素元C.單位元D.零元答案：B8.設(shè)V是域F上的向量空間，dimV=n，若S是V的線性無關(guān)子集，則|S|（）A.>nB.=nC.≤nD.不確定答案：C9.設(shè)G是交換群，則G的所有子群都是（）A.正規(guī)子群B.循環(huán)子群C.有限子群D.無限子群答案：A10.設(shè)R是環(huán)，I是R的理想，R/I是（）A.環(huán)B.群C.域D.向量空間答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于群同態(tài)的說法正確的是（）A.群同態(tài)保持單位元B.群同態(tài)保持逆元C.群同態(tài)保持子群結(jié)構(gòu)D.群同態(tài)是雙射答案：ABC2.設(shè)R是環(huán)，則下列元素中屬于R的中心的有（）A.0B.1C.與所有元素可交換的元素D.可逆元答案：AC3.設(shè)G是群，a，b∈G，則下列等式成立的有（）A.(ab)?1=a?1b?1B.(ab)?1=b?1a?1C.a?1a=1D.aa?1=1答案：BCD4.設(shè)F是域，多項式f(x)，g(x)∈F[x]，則（）A.deg(f(x)+g(x))≤max{deg(f(x)),deg(g(x))}B.deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))C.如果f(x)≠0，g(x)≠0，則f(x)g(x)≠0D.F[x]是整環(huán)答案：ABCD5.設(shè)V是向量空間，W?，W?是V的子空間，則（）A.W?∩W?是V的子空間B.W?+W?是V的子空間C.dim(W?∩W?)≤min{dimW?,dimW?}D.dim(W?+W?)=dimW?+dimW?答案：ABC6.設(shè)G是有限群，|G|=p2（p為素數(shù)），則（）A.G是交換群B.G有p階子群C.G有p2階子群D.G的子群個數(shù)有限答案：BCD7.設(shè)R是環(huán)，I，J是R的理想，則（）A.I+J是R的理想B.I∩J是R的理想C.IJ是R的理想D.如果I?J，則J/I是R/I的理想答案：ABCD8.設(shè)G是群，H，K是G的子群，則（）A.H∩K是G的子群B.HK是G的子群當且僅當HK=KHC.如果H是正規(guī)子群，則HK是子群D.如果K是正規(guī)子群，則HK是子群答案：ABCD9.設(shè)F是有限域，|F|=q，則（）A.F的特征是素數(shù)B.F的非零元素構(gòu)成乘法群C.F[x]中不可約多項式的次數(shù)是有限的D.F是它的素域的擴域答案：ABCD10.設(shè)V是域F上的n維向量空間，線性變換T:V→V，則（）A.T的核是V的子空間B.T的值域是V的子空間C.dim(kerT)+dim(ImT)=nD.如果T是可逆的，則kerT={0}答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.群中每個元素的逆元是唯一的。（）答案：對2.環(huán)中的乘法一定滿足交換律。（）答案：錯3.有限群的子群一定是有限群。（）答案：對4.域是整環(huán)。（）答案：對5.向量空間的基是唯一的。（）答案：錯6.群同態(tài)的核是子群。（）答案：對7.環(huán)R的理想I一定是R的子環(huán)。（）答案：對8.設(shè)G是群，a∈G，|a|=m，|G|=n，如果m|n，則a?=1。（）答案：對9.設(shè)F是域，f(x)∈F[x]，如果f(x)是不可約多項式，則f(x)沒有根。（）答案：錯10.設(shè)V是向量空間，W是V的子空間，則V/W是向量空間。（）答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述群的定義。答案：群是一個非空集合G，在G上定義了一個二元運算“·”，滿足以下四個條件：（1）封閉性，即對于任意a,b∈G，a·b∈G；（2）結(jié)合律，即對于任意a,b,c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)；（3）存在單位元e∈G，使得對于任意a∈G，e·a=a·e=a；（4）對于任意a∈G，存在逆元a?1∈G，使得a·a?1=a?1·a=e。2.什么是環(huán)的理想？答案：設(shè)R是環(huán)，I是R的非空子集。如果I對加法構(gòu)成R的子群，并且對于任意r∈R和任意a∈I，有ra∈I和ar∈I，則I稱為R的理想。3.說明向量空間的維數(shù)的定義。答案：向量空間V的維數(shù)是V的基所含向量的個數(shù)。若存在有限個向量構(gòu)成的基，則V是有限維向量空間，其維數(shù)為基向量個數(shù)；若不存在有限基，則V是無限維向量空間。4.簡述域的特征的概念。答案：設(shè)F是域，1是F的乘法單位元。由1生成的加法子群〈1〉={n·1|n∈Z}，若存在最小正整數(shù)p使得p·1=0，則p稱為F的特征；若不存在這樣的正整數(shù)，則F的特征為0。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論群同態(tài)基本定理的內(nèi)容及其意義。答案：群同態(tài)基本定理：設(shè)φ:G→H是群同態(tài)，則G/kerφ?Imφ。意義在于它揭示了群同態(tài)下群結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，通過核與像的關(guān)系將一個群與它的商群和同態(tài)像聯(lián)系起來，有助于對群的結(jié)構(gòu)進行分析和分類。2.分析環(huán)的直和的性質(zhì)。答案：設(shè)R?和R?是環(huán)，R=R?⊕R?。其性質(zhì)有：R的加法群是R?和R?的加法群的直和；乘法滿足(a?,a?)(b?,b?)=(a?b?,a?b?)。它可將復(fù)雜環(huán)分解為較簡單的環(huán)來研究，也可通過簡單環(huán)構(gòu)造復(fù)雜環(huán)。3.闡述有限維向量空間的線性變換與矩陣的關(guān)系。答案：對于有限維向量空間V，選定一組基后，線性變換T:V→V可唯一確定一個矩陣。線性變換的運算（如加法、復(fù)合等