專題19等腰三角形

【專題目錄】

技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

技巧2：巧用特殊角構造含30。角的直角三角形

技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用

【題型】一、等腰三角形的定義

【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度

【題型】三、根據(jù)三線合一求解

【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長

【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合

【題型】七、等邊三角形的性質

【題型】八、含30°角的直角三角形

【考綱要求】

1.了解等腰三角形的有關概念，掌握其性質及判定.

2.了解等邊三角形的有關概念，掌握其性質及判定.

3.掌握線段中垂線的性質及判定.

【考點總結】一、等腰三角形

有兩邊相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形概念

等腰1:等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

等腰三角形性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線

三角

合一）

形如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角

等腰三角形的判定

對等邊”）.

【考點總結】二、等邊三角形

三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。

等邊三角形概念

(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60。。

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。

等邊(3)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

(4)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜

三角等邊三角形性質和判

邊的一半。

定

形(補充：

(1)三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。

(2)三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

(3)常用輔助線：①三線合一；②過中點做平行線

【考點總結】三、直角三角形

①直角三角形的兩銳角互余；

直角三角形性質②直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；

直角

③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.

三角直角三角形判定有一個角是直角的三角形是直角三角形.

①勾股定理:直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

形

勾股定理及其逆定理②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則

這個三角形是直角三角形.

【技巧歸納】

技巧1:等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

【類型】一、作“三線”中的“一線”

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，過點A作EF〃:BC,且AE=AF.求證:

DE=DF.

【類型】二'作平行線法

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)

沿線段AC的延長線移動，點P,Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.

(1),如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD=QD.

(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E,當P,Q在移動的過程中，線段BE,

ED,CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由..

【類型】三、截長補短法

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一點，且NABD=60。，NACD=60。.求證:

【類型】四、加倍折半法

4.如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,ADLBC于D,且AB+BD=DC,求NC的度數(shù).

5.如圖，CE,CB分別是AABC,△ADC的中線，且AB=AC.求證：CD=2CE.

技巧2：巧用特殊角構造含30。角的直角三角形

【類型】一,直接運用含30。角的直角三角形的性質

c

AEB

1.如圖，在.△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD是△ABC的角平分線，DELAB,垂足為

E,DE=1,則BC=()

A.小B.2C.3D.y[3+2

2.如圖，已知△ABC中，AB=AC,ZC=30°,AB±AD,AD=4cm.求BC的長.

A

BDC

【類型】二、連線段構造含30。角的直角三角形

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D為BC的中點，DELAC于E,AE=8,

求CE的長.

BDC

4.如圖，已知在AABC中，AB-AC,ZA=120°,DE垂直平分AB于點D,交BC于點E.

求證：CE=2BE.

【類型】三'延長兩邊構造含30。角的直角三角形

5.如圖，四邊形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=30°,ZB=90°,ZADC=120°,求CD

的長.

D

A^-------------------------

【類型】四'作垂線構造含30。角的直角三角形

6.如圖，四邊形ABCD中，ZB=90°,DC〃A.B,AC平分NDAB,NDAB=30。.求證：AD

=2BC.

D_______

-----------------\B

技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用

【類型】一'當頂角或底角不確定時，分類討論

1.若等一腰三角形中有一個角等于40。，則這個等腰三角形,的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.100°C.40°或70°D.40°或100°

2.已知等腰三角形ABC中，AD_LBC于D,且AD=；BC,則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為（）

A.45°B.75°C.45°或75°D.65°

3.若等腰三角形的一個外角為64。，則底角的度數(shù)為.

【類型】二'當?shù)缀脱淮_定時，分類討論

4.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4,則該等腰三角形的周長為（）

A.8或10B.8C.10D6或12

5.等腰三角形的兩邊長分別為7和9,則其周長為.

6.若實數(shù)x,y滿足|x—4|+（y—8）2=0,則以x,y的值，為邊長的等腰三角形的周長為.

【類型】三'當高的位置關系不確定時，分類討論

7.等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25。，求這個三角形的各個內角的度數(shù).

【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論

8.在三角形ABC中，AB=AC,AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40。，求底角

ZB的度數(shù).

【類型】五、由腰上的中線引起的分類討論

9.等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm,一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩部分.求腰長.

【類型】六、點的位置不確定引起的分類討論

10.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,AB=2BC,在直線BC或AC上取一點P,使得△PAB為等腰三

角形，則符合條件的點P共有（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

11.如圖，在△ABC中，BC>AB>AC,ZACB=40°,如果D,E是直線AB上的兩點，且AD=AC,BE

=BC,求/DCE的度數(shù).

A

【題型講解】

【題型】一、等腰三角形的定義

例1、已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為（）

A.9B.17或22C.17D.22

【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度

例2、如圖，在△ABC中，NA=40。，AB=AC,點D在AC邊上，以CB,CD為邊作口BCDE,則/E的

度數(shù)為（）

二

/DC

A.40°B.50°C.60°D.70°

【題型】三、根據(jù)三線合一求解

例3、如圖，已知AB=AC,BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出B￡>=（)

A

BDC

A.2B.3C.4D.5

【題型】四.根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）

A.ZA=40°,ZB=50°B.ZA=2ZB=70°

C.ZA=40°,ZB=70°D.AB=3,BC=6,周長為14

【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長

例5、如圖,將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合,折痕為EF,EF與AC交于點。.若AE=5,6歹=3,

則A0的長為（）

C.2亞D.475

【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合

例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C,測得NC鉆=30°,ZABC=45°,AC=8

千米，求A、3兩點間的距離.（參考數(shù)據(jù)：、回“1.4，出m,結果精確到1千米）.

【題型】七、等邊三角形的性質

例7、如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，D,E,歹分別是A3,BC,C4的中點，則ADER的面積

1

C.一D.

34

【題型】八、含30。角的直角三角形

例8、如圖，在HhABC中，NC=90。,//3。=30。,47=1加,將火以45。繞點4逆時針旋轉得到

RtAAB'C,使點C落在AB邊上，連接BB'，則BB'的長度是（）

B’

B

A.1cmB.2cmC.y/3cmD.2y(3cm

等腰三角形（達標訓練）

一、單選題

1.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交42、BC于點。、E,連接AE,若AE=4,EC=2,則BC

的長是（）

C.6D.8

2.如圖，在aWC中，AC=5,BC=1,AB=9,用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊AB上確定一點￡>.貝必ACD

的周長為（）.

A.12B.14C.16D.21

3.下列命題，錯誤的是（）

A.有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等

B.如果/A和NB是對頂角，那么

C.等腰三角形兩腰上的高相等

D.三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三邊的距離相等

4.如圖，點尸，E在AC上，AD=CB,ZD=ZB.添加一個條件，不一定能證明VADE絲VCB/的是（）

A.AD//BCB.DE//FBC.DE=BFD.AE=CF

5.如圖，矩形A8CO的對角線AC的垂直平分線分別交40、AC,BC于點E、。、F,若A8=12,3c=16,

則EF的長為（）

A.8B.15C.16D.24

二、填空題

6.如圖，在AABC中，ZC=90°,AO平分NC43,比＞=2co，點。至lj48的距離為5.6,貝|BC=_cm.

7.如圖，在AABC中，ZACB=90°,3ELCE于點E,ADLCE于點。，請你添加一個條件

使ABEC咨ACZM（填一個即可）.

三、解答題

8.如圖，E、F分別是矩形ABC。對角線上的兩點，且BE=DF.求證：AE=CF.

等腰三角形（提升測評）

一、單選題

1.如圖，點、D、E分別為AABC的邊48、AC的中點，點廠在DE的延長線上，CF〃8A,若AAOE的面積

為2,則四邊形3CED的面積為（）

A.10B.8C.6D.4

2.如圖，RdABC中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于點。，點E為A8的中點，若AB=12,CD=3,

則△O8E的面積為（）

C

A.10B.12C.9D.6

3.如圖，RtAABC中，ZC=90°,用尺規(guī)作圖法作出射線AE,AE交BC于點。，CD=5,尸為AB上一動點,

則尸。的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，在正方形ABC。中，E,尸分別為BC,CD的中點，點G在CD邊上，NGAE=/BAE,AG交BF

于點“，連接EH,EG,CH.下列結論：①LAHEdBCF；②)GE"BF?,@sinZABF=^；④

5

14s的⑦=S^ABH，其中正確的結論有()

A.4個B.3個C.2個D.1個.

二、填空題

5.如圖，在邊長為4的正方形A3CD中，點E、尸分別是邊BC、上的動點.且BE=CF,連接3八DE,

則M+DE的最小值為.

6.正方形A3C。的邊長為4,E為AD的中點，連接CE,過點8作37UCE交。于點八垂足為G,則EG=

三、解答題

7.如圖，在矩形ABCD中，44。的平分線交于點E,交。C的延長線于點尸，點G為所的中點,

連接8。、DG.

⑴試判斷的形狀，并說明理由;

(2)求N3DG的度數(shù).

8.如圖，在四邊形A8CD中，點E在邊A3上，AD=DE,CE//AD,DE//BC,作8尸〃CD交線段OE于

點尸，連接AF,求證：ADAF三AEDC.

AEB

專題19等腰三角形

【專題目錄】

技巧1:等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

技巧2：巧用特殊角構造含30。角的直角三角形

技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用

【題型】一、等腰三角形的定義

【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度

【題型】三、根據(jù)三線合一求解

【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長

【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合

【題型】七、等邊三角形的性質

【題型】八、含30。角的直角三角形

【考綱要求】

1.了解等腰三角形的有關概念，掌握其性質及判定.

2.了解等邊三角形的有關概念，掌握其性質及判定.

3.掌握線段中垂線的性質及判定.

【考點總結】一、等腰三角形

等腰三角形概念有兩邊相等的三角形角等腰三角形。

1:等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

等腰

等腰三角形性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線

三角

合一）

形

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角

等腰三角形的判定

對等邊”）.

【考點總結】二、等邊三角形

12/43

等邊三角形概念三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。

(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60。。

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。

等邊(3)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

(4)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜

三角等邊三角形性質和判

邊的一半。

定

形(補充：

(1)三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。

(2)三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

(3)常用輔助線：①三線合一；②過中點做平行線

【考點總結】三、直角三角形

①直角三角形的兩銳角互余；

直角三角形性質②直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；

直角③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.

二角

直角三角形判定有一個角是直角的三角形是直角三角形.

形①勾股定理:直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

勾股定理及其逆定理②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則

這個三角形是直角三角形.

【技巧歸納】

技巧1:等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

【類型】一、作“三線”中的“一線”

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，過點A作EF〃:BC,且AE

=AF.求證：DE=DF.

【類型】二、作平行線法

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點

Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P,Q移動的速度相同，PQ與直線

BC相交于點D.

13/43

(1),如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD=QD.

(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E,當P,Q在移動的過程中,

線段BE,ED,CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由..

【類型】三、截長補短法

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一點，且NABD=60。，ZACD

=60。.求證：BD+DC=AB.

【類型】四'加倍折半法

4.如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,ADLBC于D,且AB+BD=DC,求

ZC的度數(shù).

5.如圖，CE,CB分別是AABC,△ADC的中線，且AB=AC.求證：CD=2CE.

參考答案

VAB=AC,BD=CD,

AADIBC.

14/43

VEF//BC,.*.AD±EE

：AE=AF,

/.AD垂直平分EF.

.*.DE=DF.

2.⑴證明：如圖①，過點P作PF〃AC交BC于F；,點P和點Q同時出發(fā)，且

速度相同，/.BP=CQ.VPF//AQ,.*.ZPFB=ZACB,NDPF=NDQC.又,；AB

=AC,.*.ZB=ZACB,.*.ZB=ZPFB,；.BP=FP,.?.FP=CQ.在△PFD和

△QCD中，NDPF=NDQC,NPDF=NQDC,FP=CQ,.?.△PFDdQCD(AAS),

APD=QD.

⑵解：線段ED的長度保持不變.理由如下：如圖②，過點P作PF〃AC交

BC于F.由(1)知PB=PF.：PE，BF,，：8￡=￡工由(1)知4PFD^AQCD,.*.FD=

CD,，ED=EF+FD=BE+CD=；BC,...線段ED的長度保持不變.

3.證明：如圖，延長BD至E,使BE=AB,連接CE,AE.

VZABE=60°,BE=AB,

.'.△ABE為等邊三角形.

.*.ZAEB=60o,AB=AE.

又,.,NACD=60。，

.\ZACD=ZAEB.

VAB=AC,AB=AE,

，AC=AE.

...NACE=NAEC.

ZDCE=ZDEC.ADC=DE.

15/43

.,.AB=BE=BD+DE=BD+DC,即BD+DC=AB.

4.解：在DC上截取DE=BD,.連接AE,VAD±BC,BD=DE,，AD是線

段BE的垂直平分線，，AB=AE,.,.NB=NAEB.：AB+BD=DC,DE=BD,

，AB+DE=CD.而CD=DE+EC,AAB=EC,AE=EC.ZEAC=ZC,可

設NEAC=NC=x,,；NAEB為4AEC的外角，,NAEB=NEAC+NC=2x,

/.ZB=2x,/.ZBAE=180°-2x-2x=180°~4x.ZBAC=120°,AZBAE+

ZEAC=120°,即180°—4x+x=120。，解得x=20。，貝！jNC=20。.

5.證明：如圖，延長CE到點F,使EF=CE,連接FB,則CF=2CE.是

[BE=AE,

△ABC的中線，.?.人￡=8￡.在4BEF和△AEC中，，NBEF=NAEC,

[EF=EC,

ABEF^AAEC(SAS).

，NEBF=NA,BF=AC.

又VAB=AC,NABC=NACB.NCBD=NA+ZACB=ZEBF+

ZABC=ZCBF.

VCB是4.ADC的中線，

，AB=BD,又：AB=AC,AC=BF,，BF=BD.

fCB=CB,

在△CBF與△CBD中，，NCBF=NCBD,/.ACBF^ACBD(SAS).CF

IBF=BD,

=CD.ACD=2CE.

技巧2：巧用特殊角構造含30。角的直角三角形

【類型】一、直接運用含30。角的直角三角形的性質

1.如圖，在公ABC中，/?=90。，/8=30。,人口是^ABC的角平分線,DELAB,

16/43

垂足為E,DE=1,則BC=()

A.小B.2C.3D幣+2

2.如圖，已知△ABC中，AB=AC,ZC=30°,AB±AD,AD=4cm.求BC的

長.

A

BDC

【類型】二、連線段構造含30。角的直角三角形

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D為BC的中點，DELAC

于E,AE=8,求CE的長.

BDC

4.如圖，已知在AABC中，AB=AC,ZA=120°,DE垂直平分AB于點D,

交BC于點E.求證：CE=2BE.

B

【類型】三、延長兩邊構造含30。角的直角三角形

5.如圖，四邊形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=30°,Z,B=90°,ZADC

=120°,求CD的長.

D

【類型】四、作垂線構造含30。角的直角三角形

6.如圖，四邊形ABCD中，ZB=90°,DC〃A.B,AC平分NDAB,ZDAB=

30°.求證：AD=2BC.

參考答案

1.C

2.解：VAB=AC,ZC=30°,AZB=ZC=30°.

XVAB1AD,.*.ZADB=60o.

17/43

又ZADB=ZC+ZCAD,

ZCAD=30°=NC.，CD=AD=4cm.

VABIAD,NB=30。，

BD=2AD=8cm.BC=B,D+CD=12cm.

3.解：連接AD,VAB=AC,D為BC的中點，

/.AD±BC,ZBAD=ZCAD=|zBAC=|x_120°=60°.

在ROADE中，ZEAD=60°,/.ZADE=30°,，AD=2AE=16.在△ABC

中，AB=AC,ZBAC=120°.

.*.ZB=ZC=30°,，AC=2AD=2xl6=32.

，CE=AC—AE=32—8=24.

4.證明：如圖，連接AE.

：AB=AC,ZBAC=120°,

/.ZB=ZC=30°.

VDE垂直平分AB,.*.BE=AE.ANBAE=NB=30。.

NEAC=120。一30°=90°.

又,.?NC=30°,ACE=2AE.XVBE=AE,

.*.CE=2BE,

5.解：延長AD,BC交于點E.

VZA=30°,ZB=90°,AZE=60°.

又,.,NADC=120。，AZEDC=180°-120°=60°.

.?.△DCE是等邊三角形.

設CD=CE=DE=a,則有2(l+a)=4+a,解得a=2.

/.CD的長為2.

6.證明：過點C作CELAD交AD的延長線于E.

VDC/7AB,ZDAB=30°,.,.ZCDE=30°,

在放z\CDE中，NCDE=30°,，CD=2CE.

XVAC平分NDAB,

.?.NDAC=NBAC,

18/43

又：DC〃AB,.,.ZBAC=ZDCA,

.*.ZDAC=ZDCA,.\AD=CD.

又：CE，AE,CB1AB,AC平分NDAB,

.".BC=CE,.\AD=2BC.

7.證明：過點B作BELAD交AD的延長線于點E,則NDEB=90。.

VZBAD=30°,.?.BE*AB.

VADXAC,.,.ZDAC=90°,

NDEB=NDAC.又：BD=CD,NBDE=NCDA,

,/.△BED^ACAD,

ABE=AC,，AC=TAB.

點撥：由結論AC=^AB和條件NBAD=30。，就想到能否找到或構造直角

三角形，而顯然圖中沒有含30。角的直角三角形，所以過點B作BELAD交AD

的延長線于點E,這樣就得到了直角三角形ABE,這是解決本題的關鍵.

技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用

【類型】一'當頂角或底角不確定時，分類討論

1.若等‘腰三角形中有一個角等于40。，則這個等腰三角形.的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.100°C.40°或70°D.40。或100°

2.已知等腰三角形ABC中，ADLBC于D,且AD=；BC,則等腰三角形ABC的底角的

度數(shù)為（）

A.45°B.75°C.45°或75°D.65°

3.若等腰三角形的一個外角為64。，則底角的度數(shù)為.

【類型】二、當?shù)缀脱淮_定時，分類討論

4.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4,則該等腰三角形的周長為（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

5.等腰三角形的兩邊長分別為7和9,則其周長為.

6.若實數(shù)x,y滿足|x—4|+（y—8）2=0,則以x,y的值.為邊長的等腰三角形的周長為.

【類型】三、當高的位置關系不確定時，分類討論

7.等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25。，求這個三角形的各個內角的度數(shù).

【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論

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8.在三角形ABC中，AB=AC,AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角

為40。，求底角/B的度數(shù).

【類型】五'由腰上的中線引起的分類討論

9.等腰三角形ABC的底邊BC長為5。九，一腰上的中線BD把其分為周長差為3的兩

部分.求腰長.

【類型】六、點的位置不確定引起的分類討論

10.如圖，在RdABC中，NACB=90。，AB=2BC,在直線BC或AC上取一點P,使得

△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()

B|C

A.7個B.6個C.5個D.4個

11.如圖，在△ABC中，BC>AB>AC,ZACB=40°,如果D,E是直線AB上的兩點,

且AD=AC,BE=BC,求NDCE的度數(shù).

參考答案

1.D2.C3.32°4,C5.23或2.56.20

7.解：設AB=AC,BD±AC；

(1)高與底邊的夾角為25。時，高一定在AABC的內部，如圖①，：NDBC=25。，；.NC

=90°—NDBC=90°-25°=65°,/.ZABC=ZC=65°,ZA=180°-2x65°=50°.

(2)當高與另一腰的夾角為25。時，

如圖②，高在△ABC的內部時，

VZABD=25°,AZA=90°-ZABD=65°,

ZC=ZABC=(180°-ZA)4-2=57.5°；

如圖③，高在△ABC的外部時，VZABD=25°,

.,.ZBAD=90o-ZABD=900-25o=65°,/BAC=180°—65°=115°,

ZABC=ZC=(180°-115°)^2=32.5°,

故三角形各個內角的度數(shù)為：65°,65°,50。或65。，57.5°,57.5?；?15。，32.5°,32.5°.

點撥：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進行分類討論，另

外，還要結合圖形，分高在三角形內還是在三角形外.

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8.解：此題分兩種.情況:

(1)如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D,/ADE=40。，則/A=50。,

VAB=AC,NB=(180°-50°H2=65°.

(2)如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長線交于點D,ZADE=40°,則/DAE=

50°,AZBAC=130°.

,/AB=AC,NB=(180°—130°)+2.=25°.

故NB的大小為65。或25°.

9.分析：由于題目中沒有指明是“(AB+AD)-(BC+CD)”為3a",還是"(BC+CD)—(AB

+人口)”為3°加，因此必須分兩種情況討論.

解：：BD為AC邊上的中線，；.AD=CD,(1)當(AB+AD)—(BC+CD)=3cm時，有

AB—BC=3cm,*.,BC=5cm,AB=5+3=8(cm)；

(2)當(BC+CD)-(AB+AD)=3。"時，有BC-AB=3c機，VBC=5cm,.\AB=5-3

=2(cm),

但是當AB=2cm時，三邊長分別為2cw,2cm,52+2<5,不能構成三角形，

舍去.故腰長為8aw.

10.B

11.解：(1)當點D、E在點A的同側，且都在BA的.延長線上時，如圖①，

：BE=BC,.*.ZBEC=(180°-ZABC)4-2,

：AD=AC,ZADC=(180°-ZDAC)^2=ZBAC-?2,VZDCE=ZBEC-ZADC,

/DCE=(180。-NABC)+2-NBAC+2=(180。-ZABC-/BAC)+2=NACB+2=

40°+2=20°.

(2)當點D、E在點A的同側，且點D在D，的位置，E在E，的位置時，如圖②，

與(1)類似地也可以求得NDCE，=ZACB^2=20°.

(3)當點D、E在點A的兩側，且E點在日的位置時，如圖③，

BE'=BC,

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/BE'C=(180°—/CBE')-2=/ABC+2,

：AD=AC,

ZADC=(180°-ZDAC)-2=ZBAC-.2,

又/DCE'=180°-(ZBE,C+ZADC),

NDCE'=180°—(NABC+/BAC)+2=180°—(180°—/ACB)+2=90°+NACB+2=

90o+40°^2=110°.

(4)當點D、.E在點A的兩側，且點D在D，的位置時，如圖④，

；AD'=AC,/./AD'C=(180°-NBAC)+2,

：BE=BC,.*.ZBEC=(180°-ZABC)4-2,

二/D'CE=180°-(/D'EC+NED'C)=180°-(/BEC+NAD'C)

=180°—[(1800-ZABQ+2+(180°-ZBAQ4-.2]

=(ZBAC+/ABC)+2=(180。一/ACB)+2

=(180。-40。)-2=70。.綜上所述，ZDCE的度數(shù)為20?；?10。或70°.

【題型講解】

【題型】一、等腰三角形的定義

例1、已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為（）

A.9B.17或22C.17D.22

【答案】D

【提示】分類討論腰為4和腰為9,再應用三角形的三邊關系進行取舍即可.

【詳解】解：分兩種情況：

當腰為4時，4+4<9,所以不能構成三角形；

當腰為9時，9+9>4,9—9<4,所以能構成三角形，周長是：9+9+4=22.

故選：D.

【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度

例2、如圖，在△ABC中，NA=40。,AB=AC,點D在AC邊上，以CB,CD為邊作口BCDE,

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【答案】D

【提示】先根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求出NC的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊

形的性質解答即可.

【詳解】解：???/A=40。，AB=AC,

：.NABC=NC=7Q°,

,??四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZE=ZC=10°.

故選：D.

【題型】三、根據(jù)三線合一求解

例3、如圖，已知A8=AC,BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出8。=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【提示】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可.

【詳解】由作圖痕跡可知AD為NBAC的角平分線，而AB=AC,

由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，」.BD=3,故選B

【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是()

A.ZA=40°,NB=50。B.ZA=2ZB=70°

C.ZA=40°,ZB=70°D.AB=3,BC=6,周長為14

【答案】C

【提示】根據(jù)三角形內角和計算角的度數(shù)，判斷三角形中是否有相等的角；根據(jù)三角形的周

長計算是否有相等的邊即可判斷.

【詳解】A.NC=180。-40。-50。=90。，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

B、VZA=2ZB=70°,

.,.ZB=35°,

AZC=75°,沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

C、ZC=180o-40°-70°=70o,有相等的角，則是等腰三角形，本選項正確；

D、VAB=3,BC=6,周長為14,

.,.AC=14-6-3=5,沒有相等的邊，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

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故選c.

【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長

例5、如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為石尸，族與AC交于點。若

AE=5,BF=3,則AO的長為（）

3

A.75B.-V?C.275D.475

【答案】C

【提示】先證明AE=AF,再求解AB,AC,利用軸對稱可得答案.

【詳解】

解：由對折可得：ZAFO=ZCFO,AF=CF,

矩形ABCD,

:.AD//BC,NB=90。,

ZCFO=ZAEO,

ZAFO=ZAEO,

；.AE=AF=5=CF,

?：BF=3,

：.AB=y/AF--BF-=4,BC=8

AC=^AB2+BC2=716+64=4區(qū)

由對折得：0A=OC=，AC=2j?.

2

故選C.

【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合

例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C,測得NC鉆=30。，

ZABC=45。,AC=8千米，求A、3兩點間的距離.（參考數(shù)據(jù)：&R.4,6=1.7,

結果精確到1千米）.

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30°45^

【答案】A、5兩點間的距離約為n千米.

【提示】

如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直

角三角形的判定與性質可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得.

【詳解】

如圖，過點C作于點D

??,在中，ZCAD=30°,AC=8千米

2222

.-.CD=|AC=|X8=4（千米），=7AC-CD=V8-4=473（千米）

.,在RMBCD中,ZDBC=45°

.?.RfABCD是等腰直角三角形

，BD=CD=4千米

AB=AD+BD=473+4?4x1.7+4=10.8?11（千米）

答：A、3兩點間的距離約為11千米.

【題型】七、等邊三角形的性質

例7、如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，RE,尸分別是AB，BC,C4的中點，則

ADEF的面積是（）

D.

4

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【答案】D

【提示】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形，即可判斷一個的面積是,.

4

【詳解】分別是A3,BC,C4的中點，且△ABC是等邊三角形，

/.△ADF^ADBE^AFEC^ADFE,

.?.△DEF的面積是L

4

故選D.

【題型】八、含30。角的直角三角形

例8、如圖，在及△ABC中，NC=90。,//皿。=30。,4。=1。相,將火以45。繞點4逆

時針旋轉得到昭△AB'C',使點C落在A5邊上，連接88'，則血'的長度是（）

A.1cmB.2cmC.6cmD.2y[3cm

【答案】B

【提示】由旋轉的性質可知，ZC4B=ZBAB=60%進而得出A3A3'為等邊三角形，進

而求出BB=AB=2-

【詳解】解：：NC=90°,ZABC=30°,AC=1cm,

由直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，

AB-2AC=2cm,

又ZCAB=90°-ZABC=90°-30°=60°,

由旋轉的性質可知：ZCAB=ZBAB=60^且

???△A45'為等邊三角形，

BB=AB=2-

故選：B.

等腰三角形（達標訓練）

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一、單選題

1.如圖，在AABC中，的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E,連接AE,若AE=4,

EC=2,則BC的長是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到E2=EA=4,結合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：是AB的垂直平分線，AE=4,

.?.E2=EA=4,

：.BC=EB+EC=4+2=6,

故選：C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的

點到線段的兩個端點的距離相等.

2.如圖，在AABC中，AC=5,BC=1,AB=9,用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊48上確定

一點。.貝必ACD的周長為（）.

A.12B.14C.16D.21

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是8C的垂直平分線，可得CD=BD,

從而得到AACD的周長為47+=+〃，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是BC的垂直平分線，

:.CD=BD,

,：AB^9,

：.CD+AD=AD+BD=AB=^,

,/AC=5,

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，AACD的周長為NC+切+題=/。+的=5+9=14.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質，

熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵.

3.下列命題，錯誤的是()

A.有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等

B.如果NA和NB是對頂角，那么

C.等腰三角形兩腰上的高相等

D.三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三邊的距離相等

【答案】D

【分析】利用全等三角形的判定、對頂角的性質、等腰三角形的性質及垂直平分線的性質分

別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等，正確，不符合題意；

B、如果NA和N