專題02與特殊四邊形有關(guān)問題的壓軸題之四大題型

目錄

【題型一與矩形有關(guān)問題的壓軸題】.........................................................1

【題型二與菱形有關(guān)問題的壓軸題】.........................................................3

【題型三與正方形形有關(guān)問題的壓軸題】.....................................................4

【題型四與特殊平行四邊形中新定義探究問題壓軸題1.............................................................7

【題型一與矩形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：(2023?浙江衢州?統(tǒng)考一模)如圖，已知菱形ABC。，E為對角線AC上一點.

［建立模型］

(1)如圖1,連結(jié)BE,DE.求證：NEBC=NEDC.

［模型應(yīng)用］

(2)如圖2,P是。E延長線上一點，ZEBF=ZABC,EF交AB于點G.

①判斷△EBG的形狀，并說明理由.

②若G為AB的中點，且AB=4,ZABC=60°,求AF的長.

［模型遷移］

4AR

(3)尸是。E延長線上一點，ZEBF=ZABC,E尸交射線A3于點G,J.sinZBAC=-,BF//AC.求行

5D(J

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?一模）如圖1,菱形ABCD中，Z5=60°,AB=2,E是邊BC上一動點（不與點8、C重合）

連結(jié)DE,點、C關(guān)于直線DE的對稱點為C,連結(jié)AC并延長交直線DE于點P、尸是AC的中點,連結(jié)DC'、

DF.

⑵如圖2,將題中條件"/8=60。"改成"？390?”,其余條件均不變，連結(jié)3尸，猜想AP、BP、DP這三條

線段間的數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明.

⑶在（2）的條件下，連結(jié)AC.

①若動點E運動到邊BC的中點處時，求△ACC'的面積；

②在動點E的整個運動過程中，求△ACC'面積的最大值.

2.（2023?浙江金華?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，其中NABC=60。，點E在對角線AC上，點產(chǎn)

在射線CB上運動，連接所，作NFEG=60。，交直線0c于點G.

⑴在線段上取一點T,使CE=CT,求證：FT=CG；

（2）圖中AB=7,AE=1.

①點尸在線段3C上，求AEFG周長的最大值和最小值；

②記點F關(guān)于直線AB的軸對稱點為點N.若點N不能落在/EDC的內(nèi)部（不含邊界），求CF的取值范圍.

【題型二與菱形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：(2023,浙江金華?統(tǒng)考三模)如圖，在矩形A3CD中，點E是AD上的一個動點，連接3E,將AABE沿

AD

---=n.

AE

⑴求證：NCBE=NFEB.

AD

⑵當(dāng)4F,C三點共線時，用含〃的代數(shù)式表示花的值.

⑶若AB=5AE,△BCF能否是等腰三角形？若能，求"的值；若不能，試說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江金華?校聯(lián)考三模)如圖，在矩形A8CD中，AB=4,AD=2,動點尸從點A開始以每秒2

個單位長度沿A3向終點8運動，同時，動點。從點C開始沿A以每秒3個單位長度向終點A運動,

它們同時到達(dá)終點.連接P2交AC于點E.過點E作跖，尸Q,交直線CD于點?

⑴當(dāng)點。在線段。上時，求證：三CF=[3.

AE2

(2)當(dāng)。。=1時，求VAPE的面積.

(3)在P,。的運動過程中，是否存在某一位置，使得以點E,F,。為頂點的三角形與AABC相似？若存在,

求3P的長；若不存在，請說明理由.

2.(2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模)已知，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點E在邊CO上，且CE=4,

過點E作的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點￡使即=3,連接AF,BE,將ACEF繞點C按順時針方

向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.AF=n,BE=m.

備用圖

⑴如圖(1),當(dāng)a=0。,求己的值.

m

⑵如圖2,^0°<a<90°,求相關(guān)于"的數(shù)量關(guān)系.

(3)若4CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,尸三點共線，求相的值.

【題型三與正方形形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：(2023,浙江杭州?校聯(lián)考二模)在正方形ABC。中，E為對角線上的一點.

⑴如圖1,過點E作EGLCD,EFJ.BC,連接AE,FG,請猜想AE與FG的關(guān)系，并證明.

(2)如圖2,連結(jié)EC,過點￡作EC的垂線交AB于點尸，在BC上找到一點Q,使得=

①求證：AEQC為等腰三角形;

②連結(jié)PC,若鬻=：，且。E=近，求PC的長（用上表示）.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模）在正方形ABCD中，E、尸分別是邊BC、8上一點，且BE=CF,連

圖①圖②

⑴判斷線段AE、所的位置關(guān)系并說明理由.

⑵連接AC交卸于點H,連接EH,如圖②；

①若點E是BC的中點，當(dāng)即=5時，求線段AE的長；

②設(shè)正方形ABCD的面積為航，四邊形CEHF的面積為邑，當(dāng)黑=1時，求S/S?的值.

CE4

2.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）如圖1,正方形ABCD中，點E,F為邊AD,CD上的點，若DE=DF,點、G

為BE中點,連結(jié)AG.

⑴探索并證明AG與郎有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系;

⑵轉(zhuǎn)動ADEF至如圖2位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由.

⑶若DE=；Ar>=2,ADEF繞著點。旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出CG的取值范圍.

3.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考二模）如圖1,在正方形A3CD中，點E在線段上，連接AE,將AABE沿著AE

折疊得到A4FE,延長E尸交8于點G.

圖1圖3

⑴求證：DG=FG.

⑵如圖2,當(dāng)點E是BC中點時，求tan/CGE的值.

（3）如圖3,當(dāng)B黑F=12時，連接5并延長交A3于點H,求C法F的值.

DGJCH

【題型四與特殊平行四邊形中新定義探究問題壓軸題】

例題：(2023?浙江?校聯(lián)考三模)【特殊發(fā)現(xiàn)工

⑴如圖1,正方形3EFG與正方形ABCD的頂點B重合，BE、3G分別在3C、A4邊上，則有:

①需；②直線。尸與直線AG所夾的銳角等于.度;

【類比探究工

(2)將圖1中的正方形麻尸G繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DRAG,如圖2,貝U(1)中的結(jié)論是否成立，請說

明理由;

圖2圖3

【解決問題】:

(3)如圖3,點P是正方形ABCD的AB邊上一動點(不與A、8重合)，連接尸C,沿PC將翻折到/EC

—r)P

位置，連接以并延長，與CP的延長線交于點孔連接AF,若AB=邛PB,求育的值.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題)定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰

等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

圖3

⑴如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,對角線3。平分.求證：四邊形ABCD為鄰等

四邊形.

(2)如圖2,在6x5的方格紙中，4,B,C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符

合條件的格點。.

(3)如圖3,四邊形ABCD是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC=90°,/BCD為鄰等角，連接AC,過8作3E〃AC

交DA的延長線于點E.若AC=8,￡>E=10,求四邊形班CD的周長.

2.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分

線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段.

問題探究：

⑴如圖1,等邊AABC邊長為3,垂直于BC邊的等積垂分線段長度為；

⑵如圖2,在"RC中，AB=8,5C=6A/3,ZB=30°,求垂直于8C邊的等積垂分線段長度；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,AB=BC=6,AD=3,求出它的等積垂分線段長.

專題02與特殊四邊形有關(guān)問題的壓軸題之四大題型

目錄

【題型一與矩形有關(guān)問題的壓軸題】............................................................1

【題型二與菱形有關(guān)問題的壓軸題】............................................................3

【題型二與正方形形有關(guān)問題的壓軸題】.......................................................4

【題型四與特殊平行四邊形中新定義探究問題壓軸題】..........................................7

【題型一與矩形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：(2023,浙江衢州?統(tǒng)考一模)如圖，已知菱形ABCD,E為對角線AC上一點.

［建立模型］

(1)如圖1,連結(jié)3EDE.求證：NEBC=NEDC.

［模型應(yīng)用］

(2)如圖2,尸是延長線上一點，NEBF=ZABC,所交于點G.

①判斷AEBG的形狀，并說明理由.

②若G為A3的中點，且AB=4,ZABC=60。，求AF的長.

［模型遷移］

4AR

(3)尸是OE延長線上一點，ZEBF=ZABC,E廠交射線A3于點G,>sinZBAC=-,BF//AC.求才;

5BG

【分析】(1)證明ABCE/ADCE&AS),進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)①由N￡B產(chǎn)=NABC,可得NFBG=NEBC,則NF3G=NEDC,由A3〃CD,可得NBGF=NEDC,

即NEBG=N3GV,進(jìn)而可判斷△EBG的形狀；②如圖2,過尸作我欣，至于M,過。作ZWL54的延

長線于N,>W=AD-cos60°=2,ON=A。sin60°=2石，GN^AG+AN=4,tmZDGN=—=—,

GN2

由NFGM=ZDGN,可得tan/FGM=也=且，求WVf的值，在中，由勾股定理得

GM2

AF=y/AM2+FM2<求解即可；

(3)解：如圖3,連接8。交AC于。，過E作于由題意，設(shè)AB=3C=5x,則O8=4x,

3

在RtZ\AOB中，由勾股定理得AO=3x,則cosNB4C=g,由菱形的性質(zhì)得，CO=AO=3xfAC=6x,

由NFBA=NEBC,AF〃AC,可得NEBC=N5C4,即5￡=C￡,設(shè)AE=〃，則5E=CE=6x—a,在

1111

中，由勾股定理得502=跖2—0石2,即(4x)92=(6x—4―9(3x—a)92,解得則AE=^x,由

o6

孚=cosNBAC,求解得AM的值，由AG=2AM求AG的值，根據(jù)8G=AB-AG求BG的值，進(jìn)而可得黑

AEBG

的值.

【詳解】(1)證明：由菱形的性質(zhì)可知，ZECB=/ECD,BC=CD,

在△3CE和△OCE中，

BC=CD

B<ZECB=ZECD9

CE=CE

I?]^BCE=^DCE(SAS^,

國NEBC=NEDC；

(2)①⑦/EBF=NFBG+NGBE,ZABC=NEBC+NGBE,NEBF=ZABC,

國/FBG=NEBC,

國NEBC=NEDC,

⑦NFBG=NEDC,

^\AB//CD,

⑦NBGF=/EDC,

aNFBG=NBGF,

團(tuán)△尸BG是等腰三角形.

②如圖2,過/作于過。作DN_LB4的延長線于N,

圖2

由題意知，ZDAN=60°,AD=AB=4,

BANAD-cos600=2,ON=A。?sin60°=2A,GN=AG+AN=4,

DN出

回tan4>GN=——=—,

GN2

回△EBG是等腰三角形，

SBM=GM=-BG=-AB=l,

24

1aAM=3,

0/FGM=NDGN,

0tanZFGM=—=—,WWFM=—,

GM22

在RtAAFM中，由勾股定理得AF=^AM'+FM2=—,

2

EIAF的長為迤；

2

(3)解：如圖3,連接5D交AC于。，過E作于

由題意，設(shè)AB=3C=5x,則O3=4x,

在Rt^AOB中，由勾股定理得AO=3x,

3

團(tuán)cosABAC=—,

5

由菱形的性質(zhì)得，CO=AO-3x,AC=6x,

國NFBA=NEBC,BF//AC,

⑦NFBA=NBAC=NBCA,

國NEBC=NBCA,

⑦BE=CE,

設(shè)=貝|5E=CE=6%一Q,

9°91111

在RtOOE中，由勾股定理得802=8爐_/2,即（4x）一=（6x-“）-（3x-a）,解得a=%■無，即AE=不尤,

AM=3

0—=cosZBAC,即II-―《，解得AM=Ux,

AER10

o

⑦/GAE=/GBF=/FGB=NEGA,

團(tuán)AE=GE,

^\AM=GM,

1114

^\AG=2AM=—xfBG=AB-AG=—x,

AB_5x25

團(tuán)茄一記―—五，

——x

5

「AB鉆/士在25

回?zé)岬闹禐镮T

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正切，余弦，全等三角形的判定

與性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?一模）如圖1,菱形ABCD中，Z5=60°,AB=2,E是邊BC上一動點（不與點8、C重合）

連結(jié)DE,點、C關(guān)于直線DE的對稱點為C,連結(jié)AC并延長交直線DE于點P、歹是AC'的中點,連結(jié)DC、

DF.

⑵如圖2,將題中條件"48=60。"改成"？B90?",其余條件均不變，連結(jié)8尸，猜想AP、BP、DP這三條

線段間的數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明.

⑶在(2)的條件下，連結(jié)AC.

①若動點E運動到邊BC的中點處時，求△ACC'的面積；

②在動點E的整個運動過程中，求△ACC'面積的最大值.

【答案】⑴2,30°

⑵猜想：BP+DP=>/2AP,證明見詳解

⑶①|(zhì)■②20一2

【分析】(1)由C'是C關(guān)于。E的對稱點，可得8沿DE翻折后可得到C'。，可求。Z)=CD=2,

NCDP=ZC'DP=|zcr>c,,進(jìn)而可求解；

(2)過A作G4LPA,交PD的延長線于G,在RtAAGP中，可求PG=VL1P，再證ABAP9AD4G,即

可得證；

(3)連接交AC于O,連接PC,可證3、P、C、。四點共圓，。為圓心，A在。。上，再證ABPESADCE,

可求5P=36,PE=—,從而可求AP=勺匝，在RtzXAFD中，AF=^AD--DF1=—,即可求解;

5555

②過C'作CM，AC,交AC于M,C'的運動軌跡是以。為圓心，CZ>=2為半徑的AC，AC與交于。，

可得Lcc，=；x2卮當(dāng)c'M取最大時，S-cu最大，所以當(dāng)C'與。重合時，BPC'M=QO,

C'M最大，即可求解.

【詳解】(1)解：???四邊形ABCD是菱形，

ZADC=ZB=60°,AD^CD=AB=2,

???C是C關(guān)于DE的對稱點,

：.CD沿DE翻折后可得到CD,

:.C'D=CD=2,ZCDP=ZC'DP=-ZCDC,

2

:.AD=C'D,

?.?尸是AC'的中點,

:.ZC'DF=-ZADC,

2

:.ZFDP=ZC'DF+ZC'DP,

=-ZADC'+-ZCDC

22

=-ZADC=30°.

2

故答案：2,30°.

(2)結(jié)論：BP+DP=42AP,

證明：如圖，過A作交尸。的延長線于G,

:.ZGAP=90°,

???四邊形ABCD是菱形，?B90?,

..?四邊形ABCD是正方形，

ZADC=ZBAD=90°,

AB=AD,

由(1)得：ZFDP=^ZADC=45°,

AD=C'D,AF=C'F,

DF±AC,

ZDPF=ZFDP=45°,

/.ZG=ZDPF=45°,

/.AG=AP,

在RtZVlGP中，PG=6AP，

:.DP+DG=?AP;

vZZMG+ZZMP=90°,

ZBAP+ZZMP=90°,

.\ZBAP=ZDAGf

在△BAP和ADAG中

AB=AD

<ZBAP=ZDAG,

AG=AP

?.^BAP^DAG(SAS),

:.BP=DG,

BP+DP=^2AP.

(3)解：①如圖，連接3。交AC于。，連接PC,

二--C

P

由(2)得：ZAPB=ZG=45°,

ZBPD=ZBPA+ZDPF=90°

:.NBPD=NBCD=哪，

??B、P、C、Z)四點共圓，。為圓心,

四邊形ABCD是正方形，

:.OA=OC,

.?.A在。。上,

:.ZAPC=90°,

???￡是BC的中點，

:.CE=BE=-CD=X,

2

:.DE=^CE^+Clf=Vl12+22

???/BEP=/DEC,NBPE=NDCE=90°,

:公BPEs^DCE,

BEBPPE

,~DE~DC~^E"

1BPPE

一君一萬一丁‘

:.BP=^~,PE=—,

55

DG=BP=^~,

5

...4+國孚=何產(chǎn)，

晅

5

由（2）得：ZFPD=ZFDP=45°,

PD=亞DF=^2FP，

■：PD=PE+DE=^~

5

■,DF=FP=^-

5

在RtAAF。中,AF=yjAD2-DF2=--

.C'T

2>/10

C'P=FP-C'F

5

由（1）折疊得:

CP"普

:.S△ACC,=2-ACCP

12V102A/10

=-X------------X-------------

255

_4

-5,

②如圖，itC'^C'M±AC,交AC于M,C的運動軌跡是以。為圓心，CZ>=2為半徑的AC，AC與BD

交于Q,

S△rAiCc-Cc-r=2—AC,CM,

?：AC=0AB=2拒,

SAACC.=gx26cM=yf2C'M,

，當(dāng)C'M取最大時，％4cc，最大,

如圖，當(dāng)C'與。重合時，即CM=QO,c'M最大,

P

■：BD=AC=2V2，

:.DM,BD=3,

2

:CM=C'D-DM=2-6，

S?ACC'=（2-=2>/2—2,

故△ACC面積的最大值為2vl-2.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，對稱和折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，

勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江金華?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，其中NABC=60。，點E在對角線AC上，點尸

在射線CB上運動，連接所，作NFEG=60。，交直線。C于點G.

AD

⑴在線段BC上取一點T,使CE=CT,求證：FT=CG；

⑵圖中AB=7,AE^l.

①點尸在線段BC上，求AEFG周長的最大值和最小值；

②記點尸關(guān)于直線AB的軸對稱點為點N.若點N不能落在ZEDC的內(nèi)部（不含邊界），求CF的取值范圍.

【答案】⑴見解析

⑵①最小值為96，最大值為3西；②0<CF<2或CF>14

【分析】（1）根據(jù)ASA證AEFT=AEGC即可得證結(jié)論；

（2）①先證明點/在線段3c上時，AFEG是等邊三角形，確定A￡FG周長最大時和最小時點尸的位置,

從而可求出莊的長，進(jìn)而求出周長即可；

②找出點N落在。C上的位置，求出C尸的長，當(dāng)N落在。E上時，求出CF的長，從而確定CF的取值范

圍即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形，

AB\\CD,AB=BC,

ZABC=60°,

.\ZBCG=ZABC=60°,

AzABC是等邊三角形，

:.ZABC=ZACB=6Q°,

?;CE=CT,

ACET是等邊三角形，

/ETC=NTEC=60。,

:.ZFTE=180°-ZETC=180。-60。=120°,Z.GCE=ZGCT+ZTCE=600+60°=120°,

.\ZFTE=ZGCE,

???NFEG=60。，Z7EC=60°,

:.ZFET+ZTEG=Z.GEC+ZTEG,

:.ZFET=NGEC,

在AFET和AG石。中，

ZFET=ZGEC

<ET=CE,

/FTE=NGCE

:.\EFT^NEGC（ASA）,

..FT=CG；

(2)解：①如下圖，當(dāng)點尸與點5重合時,

???NFEG=60。,

AFEG是等邊三角形，

同理可得，當(dāng)點尸在3c邊上時，AFEG均是等邊三角形,

當(dāng)FELBC時，E尸最短，如下圖，

:.CE=AC-AE=7-l=6f

又丁ZACF=60°,

/.ZCEF=30°,

:.CF=-CE=-x6=3,

22

EF=ylCE2-CF2=V62-32=3百，

二等邊三角形FEG的周長最小值為：3FE=9A/3,

當(dāng)點P與點8重合時，如下圖，

則C〃=3,EH=34,

:.BH=BC-CH=7-3=4,

在MABHE中,BE=4BH。+EH。=6+(3舟=房>6，

,此時AFEG的周長最大，最大值為：3BE=3值,

??.AFEG的周長最小值為9石，最大值為3匹；

②當(dāng)點雙在8上時，如下圖，

作加于點/關(guān)于AB的對稱點N在。C上,

G7G

,\OF=ON=CM,CM=BCZABC=—BC=—,

22

述，

2

在b中，ZOBF=ZABC=60°,

述

，BF=-^—=-^-=7,

sin60°73

~T

.?.C尸=14；

當(dāng)點N在。石上時，如下圖，

連接BN,

???點N與點/關(guān)于A3對稱，

.\ZABN=ZABC=6O°,

?.，Z^4c=60。,

:.ZABN=ZBAC,

^\BN//AC,

,AE_AP

??麗一而‘

^\AD//BC,

^ADE^CME,MPD^ABPM,

,AD_AE_1APAD

,MC-ET-6?詬一標(biāo)’

?7-1

,MC"6，

.\MC=42f

.?.MB=MC—BC=42—7=35,

?71

,^P~35~5f

.11

,,=一,

BN5

:.BN=5,

：.BF=BN=5,

:.CF=BC-BF=2,

.-.0<CF<2^CF>14.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識,

解決問題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

【題型二與菱形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：(2023?浙江金華?統(tǒng)考三模)如圖，在矩形ABCD中，點E是")上的一個動點，連接3E,將AABE沿

AD

---=n.

AE

⑴求證：ZCBE=ZFEB.

4n

⑵當(dāng)A,F,C三點共線時，用含〃的代數(shù)式表示花的值.

(3)若=△3CP能否是等腰三角形？若能，求”的值；若不能，試說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵著〃

(3)能，百或5或E

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可證明；

AffAp

(2)根據(jù)題意作出圖形，由對稱得班J_AC,再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出可=后，設(shè)=

將其代入求解即可；

(3)設(shè)EM=龍，AE=a,則鉆=3P=5a,過點廠作月VL8C于N,反向延長印交于利用相

似三角形的判定和性質(zhì)得出黑=M，再由勾股定理求解得出尸N==等，然后分三種情況分析:

NFBF1313

FB=FC,FB=BC,FC=BC,分別作出圖形求解即可.

【詳解】(1)證明：EIAABE沿跳浙疊得到AFBE,

國NAEB=NFEB,

團(tuán)四邊形ABC。是矩形,

^\AD//BC,

也NAEB=NCBE,

?NCBE=NFEB.

圖1

由對稱得班_LAC,

0ZABE+ZBAC=90°,

0ZZMC+ZBAC=9O°,

^\ZABE=ZDAC.

又回/BAE=/D=90。,

^AABE^ADAC,

ABAE

團(tuán)---=---.

DADC

設(shè)AE=a,

團(tuán)AB—DC,

團(tuán)AB2=AD-AE=na-a=no1.

團(tuán)AB〉0,

團(tuán)AB=y/na.

ADnar-

0-==.

ABsjna

(3)^EM=x,AE=a,貝!jAB=M=5a,

AD

團(tuán)---=n,

AE

團(tuán)AD=BC=na,

過點尸作RV_LBC于N,反向延長RV交AD于M.

則ZFEM+ZEFM=90°,

國/BFE=90°,

?ZBFN+/EFM=9伊,

?ZBFN=NFEM,

國NEMF=/BEN=90。,

團(tuán)/\BNF^/\FME.

EMEF

團(tuán)---=---.

NFBF

團(tuán)NF=5x,

^\BN=a+x,

團(tuán)（a+x）2+（5x）2_（5〃）2,

左力/口12a

（舍去）.

解得:玉-?。?x2=-a

“60a…25a

團(tuán)FN=----,BN=-----

1313

若FB=FC（如圖2）,則BN=CN,

25a25a

團(tuán)---=na-------

1313

50

回〃=——；

13

若FB=BC（如圖3）,貝！J5a=mz,

回〃=5,

若FC=BC（如圖4）,由NC2+PN2=FC2得:

目+8-哥W

解得〃=

2

回”的值為*或5或

圖4

【點睛】題目主要考查矩形及折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意,

進(jìn)行分類討論，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江金華?校聯(lián)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,動點P從點A開始以每秒2

個單位長度沿A3向終點8運動，同時，動點。從點C開始沿C-D-A以每秒3個單位長度向終點A運動,

它們同時到達(dá)終點.連接PQ交AC于點E.過點E作E/TPQ,交直線。于點兄

(1)當(dāng)點。在線段CD上時，求證：與CF=：3

AE2

(2)當(dāng)。。=1時，求VAPE的面積.

(3)在P,。的運動過程中，是否存在某一位置，使得以點E,F,。為頂點的三角形與AABC相似？若存在,

求3P的長；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵士4或￡25

524

(3)8尸的長為1或2或26-^/i^

【分析】(1)證明ACQESAAPE即可得到答案；

(2)①當(dāng)點。在8上時，如圖1,CQ=C￡)-OQ=3.過點E作的垂線交于點交8于點N.②

當(dāng)點。在AO上時，如圖2,作EMLAB于點設(shè)EM=h,再利用相似三角形的性質(zhì)求解三角形的高,

再利用面積公式計算即可；

(3)分三種情況討論：①當(dāng)點。在8上時，設(shè)CQ=3f,則”=2f,若點P在。的右側(cè)，如圖3,當(dāng)

△FEQsAABC,則Z1=N2,作PHLCD于點H,而=90°,

PHA5

回AABCSA/WQ,則==2,從而可得答案；若點尸在。的左側(cè)，如圖4,AFEQs乙ABC,點、F

EFBA

與點C重合，從而可得答案；②當(dāng)點。在上時，如圖5,乙FEQsAABC,—=-=2,

七QnC

NFEG=NB=90°,作ENLCD于點N,次7，仞于點6.,則NN￡Q=90。，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)建

立方程可得答案.

【詳解】(1)當(dāng)點。在線段CD上時，由題意可得：AB//CD,CQ=3t,AP=2t,

0ACQES^APE,

旦3

AEAP2

(2)①當(dāng)點。在CO上時，如圖1,CQ=CD-DQ=3.過點E作AB的垂線交AB于點M,交CD于點、N.

圖1

CQV^3

==得AP=2.

”一！「2

FNCE_3

由△CQEs\APE,得前

2~AE~2

24

^\EM=-MN=-

55f

團(tuán)^AAPE=-AP-EM=-x2x-=~.

2255

②當(dāng)點。在AD上時，如圖2,作EMJLAB于點M,設(shè)EM=h.

同理：△AMEs^ABC,

EMBC1

團(tuán)----=----

AMAB

^\AM=2EM=2h.

EMAQ_1_3

同理：△PMESXPAQ,PM-PA-To-10,

T

^PM=—EM=-h.

33

^\AP=PM+AM=—h+2h=—,解得〃=9,

338

c15…110525

AAP￡223824

425

團(tuán)VAPE的面積為二或T.

524

(3)①當(dāng)點。在CO上時，設(shè)CQ=3八則"=2"

圖3

若點尸在。的右側(cè)，如圖3,當(dāng)AFEQs^ABC,則/1=N2.

作PHLCD于點H,ZB=ZPHQ=90°,

PH

團(tuán)AABCS"HQ,則——=——=2,

\JrinC

團(tuán)HD=AP=2tj

^\CD=CQ+QH+HD=3t+l+2t=4,

3

解得，=1.

團(tuán)BP=4—2,=4—=—.

55

若點方在。的左側(cè)，如圖4,△EEQs/iABC,點尸與點。重合.

圖4

團(tuán)AC=VAF+BC7=A/42+22=2A/5,

立CE3

又回一=

AE2

0AE=-AC=^

55

團(tuán)由△F￡QS2\ABC結(jié)合對頂角可得：ZAEP=ZB=90°,l^ZPAE^ZBAC,

逑

AEAP

回一=即M=則AP=2,

ABAC

4~2A/5

^\BP=AB-AP=2.

EF5A

②當(dāng)點。在A。上時，如圖5,LFEQSAABC,—=—=2,NFEG=NB=90°,

乜QnC

作ENLCD于點、N,EGLAD于點G.,則NNEQ=90。,

圖5

由NF￡Q=NNEG=90°,得NFEN=NQEG,

0RtAFENsRt^QEG,

ENEF°

團(tuán)---=---=2

EGEQ

AGBC_1

同理可得:

EG-AB-2

設(shè)AG=左，貝！J￡G=2AG=2左，EN=2EG=4k.

?DG=EN=4k,AD=AG+DG=5k,

2

由AT>=2,得5k=2,k=~,

回AG=—,EG=—.

55

由題意，f瞑o26-3r3

4—2/2

設(shè)AQ=3x,貝!尸=2x,AP=4—2%,QG=AQ-AG=3x-|,

4

由△QGES/XQAP,得黑=襄,即3x--

W____5.

AlQA

4-2x3x

化簡，得15f—26x+4=0,

解=13+9（舍去），13一9

115215

回BP=2X=26-2阿.

15

綜上所述，2尸的長為［或2或型二M叵.

515

【點睛】本題考查的是動態(tài)幾何問題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，清

晰的分類討論，細(xì)心的計算是解本題的關(guān)鍵.

2.(2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模)已知，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E在邊CO上，且CE=4,

過點后作。的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點凡使所=3,連接AF,BE,將ACEF繞點C按順時針方

向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.AF=n,BE=m.

備用圖

ri

⑴如圖(1),當(dāng)a=0。，求一的值.

m

⑵如圖2,若0。＜二＜90。，求M關(guān)于〃的數(shù)量關(guān)系.

⑶若△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,b三點共線，求機(jī)的值.

【答案】⑴:

c4

(2)m=—n

,.8721+12-^8^-12

55

【分析】(1)如圖1,過尸作/G1.AD,交AD的延長線于G,先證明四邊形DEFG是矩形，然后根據(jù)矩

形的性質(zhì)和勾股定理分別求出他、〃的值，即可求解；

(2)如圖2,連接AC,先后利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明AABCSA/雙入AACF^ABCE,利用相

似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=0。時，如圖1,過尸作尸G_LAD,交AD的延長線于G,

四邊形ABCD是矩形,

:.ZADC=ZBCE=90°,AD=3C=8,AB=CD=6,

???ZG=ZEDG=ZDEF=90°,

???四邊形OEFG是矩形，

.-.DG=EF=3,

.?.AG=8+3=11,

???CE=4,CD=6,

：.FG=DE=6—4=2,

在RtAAGN中，由勾股定理得：AF=>jAG2+FG2=Vll2+22=5^，

在RtABEC中，由勾股定理得：BE=7fiC2+CE2=A/82+42=4^，

n_AF_5y[5_5

故答案為：Y；

4

(2)如圖2,連接AC,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC=V62+82=10,

在RtACEF中，CE=4,EF=3,

/.CF=5,

.EF_3AB_6_3

'~CE~49BC-8-4?

.EF_AB

???NFEC=ZABC,

.-.AABC^AFEC,

:.ZACB=ZECFf

:.ZBCE=ZACFf

??AC_10_5_CF

?BC-T-4-CE?

:2CFs耶CE,

,_A___F___—__A____C__—__5__—__n___

BEBC4m

(3)當(dāng)ACEF旋轉(zhuǎn)至A,E,b三點共線時，存在兩種情況:

①如圖3,連接AC,

在RtAABC中，由勾股定理得：4。=后+82=0

在RtACE產(chǎn)中，CE=4,EF=3,

/.CF=5,

.EF_3AB_6_3

.?/Y，BC-8-4?

.EFAB

,~CE~~BC"

???/FEC=ZABC,

:.AABC^AFECf

ZACB=ZECFf

:"BCE=ZACF,

..ACiQ_5_CF

*BC-T-4-CE?

.?.AACFSABCE,

AF5

?.?_—―f

BE4

在RtMEC中，AE=y/AC2-CE2=V102-42-2721-

:.AF=AE+EF=2y/21+3,

BE=-AF=-(2^1+3)=8丐+12；

555

②如圖4,連接AC,

AD

F

圖4,

同理得：AAFCSABEC,

.AC_AF_5

綜上，陽叱+12或即叱-12.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握

相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形相似是解題關(guān)鍵.

【題型三與正方形形有關(guān)問題的壓軸題】

例題：（2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模）在正方形A8CD中，E為對角線上的一點.

A______________DA_______________D

⑴如圖1,過點E作EGLCD,EFJ.BC,連接AE,FG,請猜想AE與尸G的關(guān)系，并證明.

（2）如圖2,連結(jié)EC,過點E作EC的垂線交AB于點尸，在3c上找到一點Q,使得8尸=8。；

①求證：AEQC為等腰三角形；

②連結(jié)PC,若等=，，且DE=啦,求PC的長（用上表示）.

【答案】⑴結(jié)論：AE=FG,AE±FG.詳見解析

⑵①詳見解析；②也淳+4左+4

【分析】（1）結(jié)論：AE=FG,AELFG.連接EC,延長AE交FG與點J,交CD于點K.分別證明E4=EC,

FG=EC,可得結(jié)論；

(2)①過點￡作石于點M,ENJLBC千點、N,分別證明EP=￡C,EQ=EP,可得結(jié)論;

②延長ME交8與點K.則四邊形EKQV是矩形，證明CQ=2,BQ=k,利用勾股定理求解.

【詳解】(1)解：結(jié)論：AE