第01講有理數(shù)（核心考點(diǎn)講與練）

聚焦考點(diǎn)

有理數(shù)

1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

'正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

2.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

3.任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示.

4.任何兩個(gè)有理數(shù)都可以比較大小.

正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù).

5.只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，零的相反

數(shù)是零.

6.一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；

零的絕對(duì)值是零.

7.兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的那個(gè)數(shù)反而小.

I名師點(diǎn)睛

考點(diǎn)一：正數(shù)和負(fù)數(shù)

【例題1】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）向東行進(jìn)-30米表示的意義是（）

A.向東行進(jìn)30米B.向東行進(jìn)-30米

C.向西行進(jìn)30米D.向西行進(jìn)-30米

【答案】C

【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答.

【詳解】根據(jù)題意規(guī)定：向東走為“+”，向西走為“”，

...向東行進(jìn)30米表示的意義是向西行進(jìn)30米.

故選c

【變式訓(xùn)練1】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.零是正數(shù)不是負(fù)數(shù)

B.零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

C.零既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)

D.不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)的數(shù)一定是正數(shù)

【答案】B

【詳解】本題考查的是正、負(fù)數(shù)的意義

根據(jù)正、負(fù)數(shù)的定義即可解答，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故A、C錯(cuò)誤，B正確，而不是正數(shù)的數(shù)是。和

負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)的數(shù)是0和正數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選B.

【變式訓(xùn)練2】（2018?上海市婁山中學(xué)七年級(jí)單元測(cè)試）把收入100記作+100元，則70元表示.

【答案】虧損70元

【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量:盈利記為正,則虧損就記為負(fù),直接得出結(jié)論

即可.

【詳解】商店把盈利100元記作+100元,那么70元表示:虧損70元.

故答案為:虧損70元.

【點(diǎn)睛】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義,正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量,看清規(guī)定哪一個(gè)為正,則和它

意義相反的就為負(fù).

462

【變式訓(xùn)練3】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）-1,0,25+}-1.732,-314,106,-I,-「中，正

數(shù)有，負(fù)數(shù)有.

,462

【答案】2.5,+—,106—1,—1-732,-3.14,—y,—l—

【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義得：T0,2.5,+}4-1.732,-3.14,106,-；6,-「2中，正數(shù)有2.5,+41106,負(fù)數(shù)有

-1,-1.732,-3.14,,0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

462

故答案為：正數(shù)有2.5,+于106；負(fù)數(shù)有-1,-1.732,-3.14,-于

【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟記定義判斷即可.

考點(diǎn)二：有理數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

【例題2】（2018?上海普陀?期中）下列說法正確的是（）

A.整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)B.負(fù)整數(shù)的相反數(shù)就是非負(fù)整數(shù)

C.有理數(shù)不是負(fù)數(shù)就是正數(shù)D.零是自然數(shù)，但不是正整數(shù)

【答案】D

試題分析：整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，故A錯(cuò)誤；負(fù)整數(shù)的相反數(shù)是正整數(shù)，故B錯(cuò)誤；有理數(shù)除了

負(fù)數(shù)、正數(shù)外，還有零，故C錯(cuò)誤；

故選D.

考點(diǎn)：1.有理數(shù)的分類；2.相反數(shù).

【變式訓(xùn)練1】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的有（）

①-2^是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤0是最小的有理

數(shù)；⑥1是最小的負(fù)整數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題根據(jù)有理數(shù)的基本定義，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判定即可求得答案.

【詳解】①-2（是負(fù)分?jǐn)?shù)；正確；

②1.5不是整數(shù)；正確，是分?jǐn)?shù)；

③非負(fù)有理數(shù)不包括0;錯(cuò)誤，0也為有理數(shù)且為非負(fù)；

④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；正確；

⑤0是最小的有理數(shù)；錯(cuò)誤，負(fù)數(shù)也為有理數(shù)；

⑥1是最小的負(fù)整數(shù)，錯(cuò)誤，1為最大的負(fù)整數(shù)；

,③⑤⑥三項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，注意沒有最小的有理數(shù).

【變式訓(xùn)練2】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.正數(shù)、0、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B.分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

C.正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.以上都不對(duì)

【答案】B

【解析】本題考查的是有理數(shù)的分類

根據(jù)有理數(shù)的定義即可得到結(jié)果，正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故A、C錯(cuò)誤，分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)

稱為有理數(shù)，正確，故選B.

【變式訓(xùn)練3】（2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）在-42,+0.01,Ji,0,120這5個(gè)數(shù)中，正有理數(shù)是

【答案】+0.01,120.

【分析】根據(jù)正有理數(shù)的定義解答即可.

【詳解】正有理數(shù)有：+0.01,120.

故答案為+0.01,120.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).

【變式訓(xùn)練4】（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi):

1314

-7,3.5,-3.1415,0,—,0.03,-3-,10,一一

1722

自然數(shù)集合{…};

整數(shù)集合{…};

正分?jǐn)?shù)集合{…};

非正數(shù)集合{…};

【答案】0,10；

4

-7,0,10,-］；

13

3.5,—,0.03；

14

-7,-3.1415,0,-3-,——.

22

【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)自然數(shù)，整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，非正數(shù)的定義可得出答案.

【詳解】自然數(shù)集合：0,10；

4

整數(shù)集合：一7,0,10,

13

正分?jǐn)?shù)集合：3.5,—,0.03；

.14

非正數(shù)集合：一7,—3.1415,0,-3-,

故答案為0,10；

4

-7,0,10,

13

3.5,—,0.03；

17

14

-7,-3.1415,0,-3-,——.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，認(rèn)真掌握正數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、非正數(shù)的定義

與特點(diǎn)，注意整數(shù)和自然數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).

考點(diǎn)三：數(shù)軸的畫法

【例題3】如圖，將數(shù)軸上-6與6兩點(diǎn)間的線段六等分，這五個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)依次為ai,az,a3,

as，則下列正確的是（）

a\G

---1--1--1--i--1--i--1---

^66

A.紇>0B.|當(dāng)||綺|

C.囪+己2+石3+&+劉5^0D.及+85Vo

【完整解答】-6與6兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度=6-（-6）=12,

六等分后每個(gè)等分的線段的長(zhǎng)度=12+6=2,

??團(tuán)，3,29，&，as表示的數(shù)為：-4,-2,0,2,4,

/選項(xiàng)，a3=-6+2X3=0,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6選項(xiàng)，|-4|W2,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

潴項(xiàng)，-4+（-2）+0+2+4=0,故該選項(xiàng)正確；

〃選項(xiàng)，-2+4=2>0,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式訓(xùn)練】（2021春?金山區(qū)期末）數(shù)軸上點(diǎn)/在點(diǎn)瞅右側(cè)，點(diǎn)/所表示的數(shù)是5,A8=6,則點(diǎn)晰表

示的數(shù)是.

【完整解答】???數(shù)軸上點(diǎn)4在點(diǎn)顏右側(cè)，點(diǎn)4所表示的數(shù)是5,

二點(diǎn)糜示的數(shù)小于5.

V5-6=-1,

...點(diǎn)8所表示的數(shù)是：-1.

故答案為：-1.

考點(diǎn)四：數(shù)軸的實(shí)際應(yīng)用

【例題4］如圖，已知數(shù)軸上三點(diǎn)〃，0,八對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-1,0,3,點(diǎn)/為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的

數(shù)為x.如果點(diǎn)尸以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)而左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)廨口點(diǎn)粉別以每分鐘2個(gè)單位長(zhǎng)

度和每分鐘3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)力分鐘時(shí)點(diǎn)走I點(diǎn)4點(diǎn)湎）距離相等，貝I力的值為2或

-3-

4.

,MQ,.N.

-5-4-3-2-1612345,

【完整解答】設(shè)運(yùn)動(dòng)力分鐘時(shí)，點(diǎn)4I］點(diǎn)弘點(diǎn)嫡距離相等，即昨網(wǎng)

點(diǎn)兩應(yīng)的數(shù)是-力，點(diǎn)附應(yīng)的數(shù)是-1-2力，點(diǎn)M寸應(yīng)的數(shù)是3-3t.

①當(dāng)點(diǎn)癱口點(diǎn)旅點(diǎn)/伺側(cè)時(shí)，點(diǎn)廨口點(diǎn)懂合，

所以-1-2A3-33解得方=4,符合題意.

②當(dāng)點(diǎn)廨口點(diǎn)幃點(diǎn)小側(cè)時(shí)，點(diǎn)啦于點(diǎn)用左側(cè)，點(diǎn)M立于點(diǎn)用右側(cè)(因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)都向左運(yùn)動(dòng)，出發(fā)

時(shí)點(diǎn)麻點(diǎn)反側(cè)，且點(diǎn)睡動(dòng)的速度大于點(diǎn)雁速度，所以點(diǎn)即遠(yuǎn)位于點(diǎn)庠勺左側(cè))，

^LPM=-t-(-1-21)=什1.PN=(3-31)-(-t)=3-21.

所以什1=3-21,解得t=2,符合題意.

3

綜上所述，力的值為2或4.

3

故答案為：2或4.

3

【變式訓(xùn)練】某天檢修小組乘坐新能源電動(dòng)汽車從/地出發(fā)，沿一條東西方向的公路檢修線路，如果規(guī)

定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，到收工時(shí)10次運(yùn)動(dòng)所走的路程(單位：加)如下：

+10-4+3+2+3-8-2-12-8+5

Ilf問收工時(shí)檢修小組在4地的東面還是西面？距離/地多小千米？

(2)若電動(dòng)汽車每千米耗電0.2度，問這天共耗電多少度？

【完整解答】(1)+10+(-4)+3+2+3+(-8)+(-2)+(-12)+(-8)+5=-11(.km),

:?收工時(shí)檢修小組在/地的西面，距離4地11千米；

(2)(10+4+3+2+3+8+2+12+8+5)X0.2=11.4(度),

.??這天共耗電11.4度.

考點(diǎn)五：相反數(shù)

【例題5］若a、6互為相反數(shù)，則a+(6-2)的值為一.

【完整解答】：a,6互為相反數(shù)，...a+b=0,

當(dāng)a+6=0時(shí)，

原式=a+6-2=-2.

故答案為：-2.

【變式訓(xùn)練】如圖所示，已知4B,C,2四個(gè)點(diǎn)在一條沒有標(biāo)明原點(diǎn)的數(shù)軸上.

(1)若點(diǎn)/和點(diǎn)栗示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為;

(2)若點(diǎn)褥口點(diǎn)糜示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為一；

(3)若點(diǎn)4和點(diǎn)糜示的數(shù)互為相反數(shù)，則在數(shù)軸上表示出原點(diǎn)徽位置.

［IIIIIIi、

-A5c75〉

【完整解答］(1)若點(diǎn)力和點(diǎn)榮示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為民

(2)若點(diǎn)班口點(diǎn)碳示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為a

（3）如圖所示：

—J__I___11I___I___I___

~BoCD>

故答案為：民a

考點(diǎn)六：絕對(duì)值

【例題6］（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知|a|+a=0,|助|=助，］c|-c=0,化簡(jiǎn)|引-|-|

b\+\a-c\.

【完整解答】,??Ia|+a=0,|ab\=ab,\c\-c=0,

.?.aWO,6W0,。20,

a+b^O,c-620,a-c^O,

???原式=-b^a\b-c^-b-a^c=b.

【變式訓(xùn)練1】已知尸|2x+6|+|x-l|+4|x+l|,求淵最小值.

【完整解答】令2x+6=0,￡-1=0,x+l=0,

解得：x=-3,x=l,x=-1.

當(dāng)xV-3時(shí)，則〃=-2x-6-x+1-4x-4=-lx-9,則沒有最小值；

當(dāng)-3Wx〈-l時(shí)，貝（Jy=2x+6-x+l-4x-4=-3x+3,則最小值為6；

當(dāng)-IWxVl時(shí)，貝！Jy=2x+6-x+l+4x+4=5x+ll,則最小值為6；當(dāng)時(shí)，則y=2x+6+x-l+4x+4二

7x+9,則最小值為16；

故y的最小值為6.

【變式訓(xùn)練2】若交-3|+|6-2|=0,求a和6的值.

【完整解答】V|a-3|+|A-2|=0,

.\a-3=0,b-2=0,

a=3,6=2.

考點(diǎn)七：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

【例題7】下列說法正確的是（）

A.|x|Vx

B.若|x-1|+2取最小值，則x=0

C.若-1,則|x|〈|p|

D.若|x+l|W0,則x=-1

【完整解答】人當(dāng)x=0時(shí)，|x|=x,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、9：\x-1|20,

???當(dāng)x=l時(shí)，lx-1|+2取最小值，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

au：x>i>y>-1,

/.|jr|>1,|y|<1,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、???|x+l|WO,|x+l|20,

.??x+l=O,

；.x=-L故此選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D,

【變式訓(xùn)練1】若|xT|+|y+2|=0,求(x-1)(y+2)的值.

【完整解答】???|x-l|+|p+2|=0,

J.x-1=0,y+2=0,

Cx-1)(p+2)

=0.

考點(diǎn)八：化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【例題8】數(shù)。和數(shù)6在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)I”-4的結(jié)果是()

1I-1-------------------->

aOh

A.u-bB.b—ciC.-a—bD?a+力

【答案】B

【分析】由數(shù)。和數(shù)。在數(shù)軸上的位置可知。(0,耳0,可得利用絕對(duì)值定義化去絕對(duì)值

符號(hào)，再去括號(hào)即可.

【詳解】解：數(shù)”和數(shù)匕在數(shù)軸上的位置可知?！?,40,

a-b<0,

—Z?|——(a—b)—b—a.

故選擇：B.

【變式訓(xùn)練1］若a<0,b>0,化簡(jiǎn)|a|+|2b|-|a-b|得()

A.bB.-bC.-3bD.2a+b

【答案】A

【解析】a<0,Z?>0,a-b〈O,

-e?|a|+12Z?|-/a-b\=吩2出=b,選A.

【變式訓(xùn)練2】化簡(jiǎn)：|萬-3|+|4-;r|=.

【答案】1

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義即可得出答案，去掉絕對(duì)值再計(jì)算.

【詳解】解：I?3|+|4"|="3+4"=1,

故答案為：1.

【變式訓(xùn)練3】有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：|b|—|c+b|+|b—a|=.

II___IIh

ch0a

【答案】a—b+c

【詳解】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷出其符號(hào)，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可，即可由圖可

知，c<b<O<a,可求c+b<0,ba<0,因此原式=b+c+b+ab=a+cb.

故答案為a+cb.

【變式訓(xùn)練4】有理數(shù)。、b、。在數(shù)軸上的位置如圖：

HF10n

(1)判斷正負(fù)，用或填空：b-c0,a+b0,c—ao.

(2)化簡(jiǎn)：|b—c|+|?+b|—|c—a|

【答案】(1)<,<,>；(2)2b

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸得出a〈0〈b<c,即可求出答案；

(2)去掉絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】(1)：從數(shù)軸可知：a<0<b<c,|b|<|a|<|c|,

.,.b-c<0,a+b<0,c-a>0,

(2)Vb-c<0,a+b<0,c-a>0,

/.|b-c|+1a+b|-c-a|=c-b+(-a-b)-(c-a)=c-b-a-b-c+a=-2b.

考點(diǎn)七：有理數(shù)大小比較

24

【例題9】把(1),連接正確的是()

4224

A.0>(1)>--->-yB.0>(1)>

2442

C.(1)>0>——>---D.(1)>0>--->——

3553

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)各個(gè)式子，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可.

442044

【詳解】解：???⑴=1,

24

(1)>o>.

35

故選：c.

【變式訓(xùn)練1】如圖所示，a、b、c表示有理數(shù)，則。、b、c的大小順序是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上的各數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的大進(jìn)行比較即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)軸上的數(shù)右邊的總比左邊的大，

所以從左到右把各字母用“V”連接為：b<a<c.

故選C.

【變式訓(xùn)練2】a、b兩數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，將a、b、-a、-b用連接，其中正確的是

()

IIIII)

-1a01h

A.a<-a<b<-bB.-b<a<-a<bC.-a<b<-b<aD.-b<a<b<-a

【答案】B

【分析】根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，可對(duì)a、6賦值，然后即可用連接.

【詳解】解：令a=-0.8,b=l.5,則-a=0.8,-b=-1.5,

則可得：-b<a<-a<b.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，再用號(hào)把各數(shù)連接起來：-(+4),+

1),|-3.5|,-2.5.

【答案】-(+4)<-2.5<+(-1)<|-3.5|

試題分析：先把每個(gè)數(shù)化為最簡(jiǎn)，畫數(shù)軸，描點(diǎn)，比較大小.

試題解析：-(+4)=4,+(-1)=1,|-3.5|=3.5,-2.5.

在數(shù)軸上表示為：-―—二:之一，

-5-4-3-2-1012345

-(+4)<-2.5<+(-1)<|-3.5|.

I能力提升

【例1】-。表示的數(shù)一定是()

A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.正數(shù)或負(fù)數(shù)D.正數(shù)或負(fù)數(shù)或0

【難度】★★★

【答案】D

【解析】因?yàn)椤Ｓ锌赡転檎龜?shù)、負(fù)數(shù)、0,則一?？赡苁钦龜?shù)或負(fù)數(shù)或0.

【總結(jié)】考察正負(fù)數(shù)的意義.

【例2】按照一定的規(guī)律填數(shù)：

（1）L-2,4,-8,16,,,；

（2）1,-2,3,4,-5,6,7,一8,9,,,…，（第2017個(gè)數(shù)）.

【難度】★★★

【答案】（1）32,64,128；（2）10,11,2017.

【解析】（1）可找出規(guī)律：后面的數(shù)字是前面的數(shù)字的2倍，第奇數(shù)個(gè)數(shù)字為正數(shù)，第偶數(shù)

個(gè)數(shù)字為負(fù)數(shù).則可得答案.

（2）可找出規(guī)律：除了1之外，后面的符號(hào)規(guī)律是一負(fù)兩正.

（2017-1）+3=2016+3=672則第2017個(gè)數(shù)正數(shù)，為2017.

【總結(jié)】考察數(shù)字找規(guī)律.

【例3】已知數(shù)軸上有/、方兩點(diǎn)，/、6之間的距離為1,點(diǎn)力與原點(diǎn)。的距離為3,那么所有

滿足條件的點(diǎn)5與原點(diǎn)。的距離之和等于多少？

【難度】★★★

【答案】12.

【解析】設(shè)/點(diǎn)表示的有理數(shù)為x,6點(diǎn)表示的有理數(shù)為y.

因?yàn)?點(diǎn)與原點(diǎn)。的距離為3,則忖=3,x=3或3

又因?yàn)?8兩點(diǎn)之間的距離為1,則即y-x=±l,

因?yàn)閤=3或3,所以打點(diǎn)表示的有理數(shù)有四種情況：y=T或2或2或4.

所有滿足條件的點(diǎn)6與原點(diǎn)冰I距離之和為卜4|+12|+|-2|+|4|=12

【總結(jié)】考察數(shù)軸上有理數(shù)的表示和有理數(shù)的加法.

【例4】a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，M=a+b,N^-a+b,H=a—b,G=—a—b,

求它們的大小關(guān)系.（用“>”連接）

——?——?——1-^

*#氏

【難度】★★★

【答案】G>H>N>M.

【解析】由數(shù)軸可得：b<a<0,

貝!]G=-a-/?>0,M=a+b<0,N=-a+b<0,H=a-b>0

【總結(jié)】考察數(shù)軸上有理數(shù)的大小比較.

【例5】數(shù)軸上表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)

軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為2017厘米的線段AB,則線段位?蓋住的整點(diǎn)的有多少個(gè)？

【難度】★★★

【答案】2018個(gè)或2017個(gè)

【解析】當(dāng)48為整點(diǎn)時(shí)，線段49=2017蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是2018個(gè)；

當(dāng)48分別不是整點(diǎn)時(shí)，線段/戶2017蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是2017個(gè).

【總結(jié)】考察數(shù)軸上有理數(shù)的表示，綜合性較強(qiáng)，注意分類討論.

【例6】如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)4B、C,〃對(duì)應(yīng)的數(shù)分別

是整數(shù)a、b、c、d,且d-2a=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是哪個(gè)點(diǎn)？

___________________________________________IA

*1慶*A

【難度】★★★

【答案】B

【解析】若原點(diǎn)為4則a=O,1=7,止匕時(shí)d-2a=7,和已知不符，排除；

若原點(diǎn)為氏貝h=-3,d=4,此時(shí)d-2a=10,和已知相符，正確.

【總結(jié)】考察數(shù)軸上有理數(shù)的表示.

【例7】若同+網(wǎng)=0,則a與6的關(guān)系是（）

A.不相等B.異號(hào)C.互為倒數(shù)D.a=b=0

【難度】★★★

【答案】D

【解析】?jī)蓚€(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0,則這兩個(gè)數(shù)都需為0.

【總結(jié)】考察絕對(duì)值的非負(fù)性.

【例8】數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，試把a(bǔ),a的相反數(shù)，a的倒數(shù)和a的倒數(shù)的絕對(duì)

值用聯(lián)結(jié)起來.

______I_______I_A

-140-

【難度】★★★

【答案】-<a<-a<--.

aa

【角軍析】**,—1vav0,?**0<—a<1,—<—1,—>1

aa

,11

??一<a<—a<--

aa

【總結(jié)】考察實(shí)數(shù)比較大小.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.關(guān)于-2.2,下面說法正確的是（)

A.是負(fù)數(shù)，不是有理數(shù)B.不是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)

C.是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù)D.是負(fù)數(shù)，不是分?jǐn)?shù)

【難度】★

【答案】C

【解析】有限小數(shù)屬于分?jǐn)?shù)，也屬于有理數(shù)

【總結(jié)】考察有理數(shù)分類.

2.（2022?黑龍江龍江?七年級(jí)期末）有理數(shù)-』的相反數(shù)是（）

2

A.--B.--C.-D.-

2552

【答案】D

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可；

【詳解】解：有理數(shù)的相反數(shù)是!■；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知概念是關(guān)鍵.

3.（四川省南充市20212022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列有理數(shù)中，最小的是（）

A.—B.0C.-0.12D.-2

100

【答案】D

【分析】正數(shù)>。>負(fù)數(shù)；其中心>°，而-0.12、-2為負(fù)值；并且卜0.12|=0.12,|-2|=2；2>0.12,故

有-0.12>-2；將四個(gè)有理數(shù)進(jìn)行排序，進(jìn)而可得最小值.

【詳解】解：由題意知+>0,-0.12、-2為負(fù)值；

|-0.12|=0.12,卜2|=2且2>0.12

.-.-0.12>-2

—>0>-0.12>-2

100

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考察了有理數(shù)的大小比較.解題的關(guān)鍵在于判斷有理數(shù)的正負(fù)、負(fù)數(shù)絕對(duì)值的大小.有理

數(shù)大小比較的法則：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

4.（2021?四川?成都新津?yàn)槊鲗W(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）在-弓，-|-4|-L2,-2,0,-（-1）,—60%

中，非正數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類以及正負(fù)數(shù)的意義判斷即可.

【詳解】-1；，-|7卜1-2,一2,0,—（―1）,—60%中

非正數(shù)有-|-4|,-2,0,—60%,共5個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的定義以及非正數(shù)的概念，將符號(hào)化為最簡(jiǎn)，即數(shù)字前最多只有一個(gè)符號(hào)

時(shí)，看是否有負(fù)號(hào)""，如果有就是負(fù)數(shù)，否則是正數(shù)；非正數(shù)指的是負(fù)數(shù)和0.

5.（2022?廣東汕尾?七年級(jí)期末）下表記錄了2021年12月份某一天東北地區(qū)四個(gè)城市的平均氣溫：

區(qū)縣大連哈爾濱長(zhǎng)春沈陽

氣溫（℃）+7-304

這四個(gè)城市中該天平;均氣溫最彳氐的是（）

A.哈爾濱B.大連C.長(zhǎng)春D.沈陽

【答案】A

【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)

數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得

+7℃>4℃>0℃>3℃,

平均氣溫最低的城市是哈爾濱.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)大小的比較，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③

正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的其值反而小.

二、填空題

6.3-萬的倒數(shù)是,相反數(shù)是,絕對(duì)值是.

【難度】★

【答案】---；7T—3；兀一3.

3一萬

【解析】考察倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的求法.

7.（2022?河南?無七年級(jí)期中）若㈤=2021,則勿=.

【答案】±2021

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解:因?yàn)棰?2021,

所以歷±2021.

故答案為：士2021.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)

的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；。的絕對(duì)值是0.

8.（2021?四川?成都新津?yàn)槊鲗W(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）的相反數(shù)是,的絕對(duì)值是

22

【答案】-j|

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反

數(shù)，可得一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值.

222222

【詳解】解：-弓的相反數(shù)是-，的絕對(duì)值是,?

22

故答案為（1）-y:（2）

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、絕對(duì)值的定義.〃的相反數(shù)是-。，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)

的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

9.（2021?江蘇如東?七年級(jí)期中）如果收入2元記為+2,那么支出3元記為.

【答案】3

【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的意義，可得收入記為“+”，則支出記為“”，所以支出3元記為3.

【詳解】解：如果收入2元記為+2,那么支出3元記為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)的意義及其應(yīng)用，要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是要明確：收入記為“+”，則支

出記為.

10.（2021?四川?成都新津?yàn)槊鲗W(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）絕對(duì)值小于3.14的所有整數(shù)是；若

a|=2,|引=5,則|a+6|=,

【答案】±3,±2,±1,03或7

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解：絕對(duì)值小于3.14的所有整數(shù)是：±3,±2,±1,0；

a|=2,A|=5,

；.a=±2,斤±5,

當(dāng)a=2,加5時(shí),|a+Z>|=|2+51=7,

當(dāng)a=2,Zr5時(shí),|a+6|=|2+(5)|=3,

當(dāng)a=2,左5時(shí)，|a+6|=12+5|=3,

當(dāng)a=2,當(dāng)5時(shí),—2+(5)|=7,

故答案為：土3,±2,±1,0；3或7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟知絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)

數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

三、解答題

11.(2022?甘肅西峰?七年級(jí)期末)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用符號(hào)將它們連結(jié)起來.

4,卜2.5|,-|3|,,-(-1),0

【答案】在數(shù)軸上表示各數(shù)見解析，-1<-|3|<-11<0<-(-1)<|-2.5|.

【分析】將有絕對(duì)值的數(shù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有多重符號(hào)的數(shù)化簡(jiǎn)符號(hào)，即可在數(shù)軸上表示出各數(shù)，最后從左

到右用連接起來即可.

【詳解】VI-2.51=2.5,-|3|=-3,-(-1)=1,

在數(shù)軸上表示如圖，

-5-4-3-2-I012345

-4<-|3|<-11<0<-(-1)<|-2.5|.

【點(diǎn)睛】本題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊

的大是解答此題的關(guān)鍵.

12.(2021?四川?成都新津?yàn)槊鲗W(xué)校七年級(jí)階段練習(xí))-5,-^3,0,-3.14,-2.4,—22,2018,-1.99,-(-6),

-1-121

(1)正數(shù)集合：{…};

(2)負(fù)數(shù)集合：{…};

(3)整數(shù)集合；{…};

(4)分?jǐn)?shù)集合：{…}.

22Q

【答案】(1)~,2018,一(—6)；(2)—5,——,—3.14,—2.4,—1.99,—|—12|；(3)-

322

5,0,2018,一(—6)，—1—12|；(4)---，—3.14,—2.4,—,—1.99

1147

【分析】根據(jù)正數(shù)集所有大于0的數(shù)、負(fù)數(shù)集所有小于0的數(shù)、整數(shù)集正整數(shù)0負(fù)整數(shù)的統(tǒng)稱、分?jǐn)?shù)集有

限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)為分式隊(duì)所添數(shù)一一分析填在相應(yīng)的集合中即可；

【詳解】解⑴正數(shù)集合與2018,-6)…｝;

3

(2)負(fù)數(shù)集合｛-5,-t,-3.14,-2.4,-1.99,-卜12卜“｝；

411

(3)整數(shù)集合；｛-5,0,2018,-(-6),-卜12|…｝;

322

(4)分?jǐn)?shù)集合：｛--,-3.14,-2.4,—,-1.99-｝.

47

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的分類，集合的寫法與要求，熟悉相關(guān)定義和集合的三要素集合符

號(hào)，被填數(shù)，省略號(hào)是解題的關(guān)鍵.

13.把下列各數(shù)分別填到相應(yīng)的橫線上：

-1,-0.3505,0,2,――，33.33%.

6

正數(shù)：;

負(fù)數(shù):;

非負(fù)數(shù)：;

非正有理數(shù)數(shù)：