2025屆河北省昌黎第一中學高三上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(★★)1.已知集合，，則（）

A．B．C．D．(★★)2.若，則對應復平面內(nèi)的點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(★★★)3.已知向量，且在上的投影為，則（）

A．B．C．D．(★★★)4.已知，且，則（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知圓柱的底面半徑等于球的半徑，圓柱的側(cè)面積與球的表面積之比為，則圓柱外接球的體積與球的體積之比為（）

A．B．C．D．(★★★)6.已知定義在上的函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（）

A．0B．2C．4D．6(★★★)7.已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知函數(shù)恰好有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知且為偶數(shù)，則（）

A．B．C．D．(★★★)10.已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列的前項和為，則（）

A．B．C．D．(★★★)11.由坐標原點O向雙曲線的各條切線作垂線，垂足對應的軌跡曲線C如下圖所示，若，點在曲線C上，則（）

A．C的方程為B．曲線C關(guān)于直線對稱C．點P到兩坐標軸距離之積的最大值為2D．若的斜率為2，則三、填空題(★★)12.曲線在處的切線被圓截得的弦長為______．(★★★)13.已知P是橢圓上第一象限內(nèi)的點，M在y軸的正半軸上，連接PM，并延長與x軸交于點N，且M恰好為PN的中點，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，連接QM，設直線PM，QM的斜率分別為，，若，則橢圓E的離心率為______．(★★★★)14.2024年6月中專生姜萍以93分全球第12名的成績?nèi)雵驍?shù)學競賽決賽，成為社交媒體上的熱門話題，也使數(shù)學競賽成為各大高校關(guān)注的焦點．某高校借此熱度在數(shù)學系舉行了模擬數(shù)學競賽，經(jīng)過選拔之后組織了甲、乙兩個競賽隊進行冠亞軍爭奪賽．比賽時，主持人先展示出一道題目，再從標有1，2，3，4的四張卡片中隨機抽取一張，若數(shù)字為奇數(shù)，則由甲隊答題，若數(shù)字為偶數(shù)，則由乙隊答題，在規(guī)定時間內(nèi)，若答對本題，則本隊得10分，否則對手得10分．按照這種方式依次進行下一題的答題，直到其中一個隊的得分超過另一個隊30分，比賽結(jié)束，分高者為冠軍．已知甲、乙答對每道題的概率分別為、，且互不影響，前3道題，甲隊獲得20分的概率為______，若第一個問題甲隊得分，恰好回答完第道題后決出冠軍，則乙隊獲得冠軍的概率為______．四、解答題(★★★)15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且．(1)求；(2)若，記的角平分線與BC交于點D，求AD．(★★★)16.如圖，在三棱錐中，O為AC的中點，D在線段PC上．已知，．(1)求證：平面平面；(2)是否存在點D，使二面角的正切值為？若存在，求出的長；否則，請說明理由．(★★★)17.已知函數(shù)(1)若，求證：；(2)當時，不等式恒成立，求m的取值范圍．(★★★★)18.已知雙曲線(其中)的離心率為，且E上的點到焦點距離的最小值為．(1)求E的方程；(2)過直線上一點P，作雙曲線E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB．（i）求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標；（ⅱ）已知點P在第一象限，A，B分別在第一、四象限，若的面積為，求直線AB的方程．(★★★★★)19.若對，都有，則稱與為“k級相鄰數(shù)列”．(1)設的前n項和，且，試判斷與是否為“2級相鄰數(shù)列”，并說明理