專題04解三角形綜合題

1.（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度.某

校“綜合與實(shí)踐”活動小組的同學(xué)要測量4?,CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方

案：無人機(jī)在AB,8兩樓之間上方的點(diǎn)。處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60機(jī)，此時觀測到樓AB底部點(diǎn)A

處的俯角為70。，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30。，沿水平方向由點(diǎn)。飛行24根到達(dá)點(diǎn)尸，測得點(diǎn)E處俯角為

60°,其中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,O均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓M與CD之間的

距離AC的長（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,A/3?1.73）.

【答案】樓AB與CD之間的距離AC的長約為58〃？

【詳解】延長四，CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)

則AG=60〃z,GH^AC,ZAGO=ZEHO=90°,

在RtAAGO中，ZAOG=70°,

AG60

:.OG=21.8(/72),

tan70°255

ZHFE是NOFE的一個外角,

/LOEF=ZHFE-ZFOE=30°,

:.ZFOE=ZOEF=30°,

OF=EF—24m,

在RtAEFH中，ZHFE=60°,

:.FH=EF-cos60。=24x；=12(〃?)，

AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+n?58(m),

二.樓M與CD之間的距離AC的長約為58m.

-譚力。加書

：：

r-/、'r

B//E

AC

2.（2021?山西）某公園為引導(dǎo)游客觀光游覽公園的景點(diǎn)，在主要路口設(shè)置了導(dǎo)覽指示牌，某?！熬C合與實(shí)

踐”活動小組想要測量此指示牌的高度，他們繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測得

AB=100cm,BC=80cm,ZABC=120°,/BCD=75。,四邊形D￡FG為矩形，且。石=5皿.請幫助該

小組求出指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離（結(jié)果精確到（Mon.參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.97,cos75°?0.26,

tan75。。3.73,后比1.41).

【答案】指示牌最I(lǐng)WJ點(diǎn)A到地面EF的距禺約為153.1cm

【詳解】過點(diǎn)A作AH_LEF于點(diǎn)〃，交直線DG于點(diǎn)過點(diǎn)8作5N_LOG于點(diǎn)N,BP上AH于點(diǎn)P,

則四邊形和四邊形均為矩形，如圖所示：

:.PM=BN,MH=DE=5cm,

:.BP//DG,

:.ZCBP=ZBCD=75°f

/.ZABP=ZABC-ZCBP=120°-75°=45°,

Ap

在RtAABP中，ZAPB=90°sin45°=—,

fAB

r-

AP=AB?sin45°=lOOx—=50V2cm，

2

在RtABCN中，ZBNC=90°,sin75°=—,

BC

...BN=5。sin75。?80x0.97=77.6cm,

/.PM=BN=77.6cm,

:.AH=AP+PM+MH=50底+77.6+5a153.1cm.

答：指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離約為153.kvw.

3.(2020?山西)圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時智能閘機(jī)會自動識別行人身份，識別成

功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇

形ABC和￡＞跖是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，和印均垂直于地面，扇形的圓心角

ZABC=ZDEF=28°,半徑54=ED=60cm,點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.

(1)求閘機(jī)通道的寬度，即3C與EF之間的距離(參考數(shù)據(jù):sin28。20.47,cos28。Q0.88,tan28°?0.53)；

(2)經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團(tuán)隊(duì)通

過一個智能閘機(jī)口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù).

【答案】(1)與EF之間的距離為66.4。“；(2)一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人

【詳解】(1)連接4),并向兩方延長，分別交3C,EF于M,N,

由點(diǎn)A,。在同一條水平線上，BC,EF均垂直于地面可知，MN±BC,MN1EF,

所以MN的長度就是BC與EF之間的距離，

同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得，AM=DN,

在RtAABM中，ZAMB=9Q°,ZABM=28°,AB=60cm,

.AM

sinZABM=-----,

AB

/.AM=AB-sinAABM=60-sin28°?60x0.47=28.2(cm),

:.MN=AM^-DN^AD=2AM^AD=28.2x2^10=66A(cm),

BC與EF之間的距離為66.4cm；

(2)設(shè)一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人,

根據(jù)題意得，—-3=—,

x2x

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的根，

當(dāng)x=30時，2x=60,

答：一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

4.（2019?山西）某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動.他們制訂了測量方案，并利

用課余時間完成了實(shí)地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點(diǎn)，分別測量了該旗桿頂

端的仰角以及這兩個測點(diǎn)之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點(diǎn)之間的距

離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）.

課題測量旗桿的高度

成員組長：XXX組員：XXX,XXX,XXX

測量測量角度的儀器，皮尺等

工具

測量C說明：線段G”表示學(xué)校旗桿，測量角度的儀器的高度

示意AC=BD=15〃，測點(diǎn)A,3與H在同一條水平直線上，A,B

圖￡之間的距離可以直接測得，且點(diǎn)G,H,A,B,C,。都在

3A

同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)C,。，E在同一條直線上，點(diǎn)E在上.

測量測量項(xiàng)目第一次第二次平均值

數(shù)據(jù)NGCE的度數(shù)25.6°25.8°25.7°

ZGDE的度數(shù)31.2°30.8°31°

A,3之間的距離5.4m5.6m

任務(wù)一：兩次測量A,3之間的距離的平均值是—m.

任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿G”的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin25.7°?0.43,cos25.7°-0.90,tan25.7。。0.48,sin31°?0.52,cos31°?0.86,tan31°~0.60）

任務(wù)三：該“綜合與實(shí)踐”小組在制定方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方

案，但未被采納.你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可）

【答案】見解析

【詳解】任務(wù)一：1（5.4+5.6）=5.5,

故答案為：5.5；

任務(wù)二：設(shè)&7=初1,

在RtADEG中，NDEG=90。，NGD石=31。，

FG

tan31°=——

DE

x

...DE=

tan31°

在RtACEG中，ZCEG=90°ZGCE=25.7°,

FGx

tan25.7°=——，CE=----

CEtan25.7°

CD=CE—DE,

...%%=5.5,

tan25.7°tan31°

/.%=13.2,

GW=EG+EH=13.2+1.5=14.7（米），

答：旗桿的高度為14.7米；

任務(wù)三：沒有太陽光或旗桿底部不可能到達(dá).

5.（2018?山西）祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成，全橋共設(shè)13對直線型

斜拉索，造型新穎，是“三晉大地”的一種象征.某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂

端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實(shí)

地測量.測量結(jié)果如下表.

項(xiàng)目內(nèi)容

課題測量斜拉索頂端到橋面的距離

測量示意圖說明：兩

側(cè)最

AB

長斜

拉索

AC,

BC

相交

于點(diǎn)

C,

分別

與橋

面交

于

A,

3兩

點(diǎn)，

且點(diǎn)

A,

B,

C在

同一

豎直

平面

內(nèi).

測量數(shù)據(jù)N4的度數(shù)ZBAB

&&

5

婁

38°28°234

（1）請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求斜拉索頂端點(diǎn)。到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin38°?0.6,

cos38°?0.8,tan38°?0.8，sin28°?0.5,cos28°?0.9，tan28°?0.5)

（2）該小組要寫出一份完整的課題活動報(bào)告，除上表的項(xiàng)目外，你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目（寫出一個即

可）.

【答案】（1）斜拉索頂端點(diǎn)C到AB的距離為72米；（2）見解析

【詳解】（1）過點(diǎn)C作。。，45于點(diǎn)￡）.

設(shè)CD=x米，在RtAADC中，ZADC=90°,ZA=38°.

…CD…CDx5

tan38=-----,..AZ)=----------=—=-x?

ADtan38°0.84

在RtABDC中，ZBDC=90°,ZB=28°.

CD-'-BD=^=^5=2X-

tan28°=而'

AD+BD^AB^234,-%+2x=234.

4

解得x=72.

答：斜拉索頂端點(diǎn)C到4?的距離為72米.

（2）還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為：測量工具，計(jì)算過程，人員分工，指導(dǎo)教師，活動感受等.（答案不唯一）

6.（2022?山西模擬）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展綜合實(shí)踐活動一測量校園內(nèi)旗桿的高度.如圖，已知測傾器

的高度為1.5米，在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得旗桿頂部點(diǎn)M的仰角NMBC=33。，在與點(diǎn)A相距4.5米的

點(diǎn)。處安置測傾器，測得點(diǎn)〃的仰角NMEC=45。（點(diǎn)A,D,N在同一條水平線上，且點(diǎn)Af,N,D,

A,B,E,C都在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)、B,E,C在同一直線上），求旗桿頂部離地面的高度.（精

確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin33°?0.54,cos33°?0.84,tan33°?0.65）

【答案】旗桿頂部離地面的高度MN約為9.9米

【詳解】如圖，延長BE交MN于■H,

設(shè)Afff=x米，

在RtAMEH中，NMEH=45。,

:.EH=MH=x米,

.,.3"=（x+4.5）米，

在RtAMBH中，ZMBH=33。，

八…丁MH

「.tan/MBH-.........,

BH

X

二.小0.65,

x+4.5

解得：x~8.36,

:.MN=MH+HN=8.36+1.5^9.9（米），

答：旗桿頂部離地面的高度約為9.9米.

7.（2022?山西模擬）2021年是中北大學(xué)建校80周年，某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)來到中北大學(xué)參觀

學(xué)習(xí)，他們在德懷樓前的廣場上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖1）,并計(jì)劃測量“彭德懷元帥雕像”的高

度.他們制定了測量方案并完成了實(shí)地測量.如圖2,該小組同學(xué)在點(diǎn)C處用測角儀（高度不計(jì)）測得該

雕像頂端A的仰角ZAEM=61°,向雕像的另一側(cè)前進(jìn)95〃到達(dá)點(diǎn)D處,再次測得該雕像頂端A的仰角

NAGV=45。.已知該同學(xué)的眼睛到地面的距離為1.5m,請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，求彭德懷元帥雕像的高

度.(結(jié)果精確到0.1〃2；參考數(shù)據(jù)：sin61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80)

【答案】彭德懷元帥雕像的高度為7.6m

【詳解】連接MN,過點(diǎn)A作ABLEG,垂足為8,

則四邊形ECDG是矩形,

.-.EG=CD=9.5(m),

設(shè)AB=xm,

在RtAABG中，Z4GB=45。，

ABx

BG==—=xm

tan45°1

在RtAABE中，ZAEB=61°,

ABx5

:.EB=——=—xm

tan61°1.89

EB+BG=EG,

5cu

..—x+x=9.5,

9

解得：x~6.11,

AB=6.11(/??),

:.AB+EC=6.11+1.5,

彭德懷元帥雕像的高度為7.6帆.

8.（2022?山西一模）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，

其中槍柄3c與手臂始終在同一直線上，槍身54與額頭保持垂直.量得胳膊肱V=28cm,MB=42cm,

肘關(guān)節(jié)〃與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身54=8.50〃.

（1）求NABC的度數(shù)；

（2）測溫時規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得=68.6。，小紅與測溫員

之間距離為50a”.問此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由.（結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位）

(參考數(shù)據(jù)：sin66.4°?0.92,cos66.4。。0.40,sin23.6°?0.40,A/2?1.414)

【答案】（1）ZABC=113.6°；（2）此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi)

【詳解】（1）過點(diǎn)3作垂足為"，過點(diǎn)M作必，F(xiàn)G,垂足為/,過點(diǎn)尸作尸KLDE,垂足

為K,

MP=25.3cm,BA=HP=8.5cm,

MH=MP-HP=253-8.5=16.8(cm),

在RtABMH中,

…MH-0.4

cosNBMH=----

BM42

.\ZBMH=66A°,

AB//MP,

.-.ZBMH+ZABC=180°,

/.ZABC=180?！?6.4°=113.6°；

(2)ZBMN=68.6°9ZBMH=66A°,

ZNMI=180°-ZBMN-ZBMH=180?！?8.6°-66.4°=45°,

MN=28cm,

-MIMl

.,.COS45°=---=—,

MN28

19.80cm,

KI=50cm,

.\PK=KI-MI-MP=50-19.80-25.3=4.90?4.9(cm),

此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi).

9.（2022?臨汾二模）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，己知門的寬度45=2米，且兩扇門的大小相同（即

AB=CD）,將左邊的門MBH繞門軸的向里面旋轉(zhuǎn)35。，將右邊的門CDD￡繞門軸向外面旋轉(zhuǎn)45。，

其示意圖如圖2,求此時B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin35Oa0.6,cos35O?0.8,

72?1.4）

【答案】3與C之間的距離約為L4米

【詳解】作郎_LAD于點(diǎn)石，作于點(diǎn)尸，延長尸。到點(diǎn)使得破=CM,

AB=CD,AB+CD=AD=2,

,\AB=CD=1.

在RtAABE中，ZA=35°,AB=l,

/.BE=AB?sinA=1xsin35°?0.6,

/.AE=AB?cosA=lxcos35°?0.8,

在RtACDF中，ZD=45°,CD=1,

.?.C7^=CDsinD=lxsin45o?0.7,

/.DF=CD-cos￡>=lxcos45°?0.7,

BEYAD,CF±AD,

:.BE//CM,

X-BE=CM,

：.四邊形BEMC是平行四邊形，

:.BC=EM,

在RtAMEF中，F(xiàn)M=CF+CM=13,EF=AD-AE-FD=0.5,

EM=4EF2+FM2=VL94"4,

答：3與C之間的距離約為1.4米.

10.（2022?榆次區(qū)一模）一款被稱作“小蠻驢”的智能送快遞機(jī)器人本學(xué)期在我省某高校投入使用，據(jù)悉

“小蠻驢”兼具人工智能和自動駕駛技術(shù).如圖，點(diǎn)A為該?？爝f收納站點(diǎn)，點(diǎn)8,C分別為兩處宿舍樓,

“小蠻驢”將會從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A-3-C-A的路徑派送快遞.已知點(diǎn)3在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)C在點(diǎn)

A的北偏東20。方向，在點(diǎn)3的北偏東60。方向，點(diǎn)3與點(diǎn)C相距1000米，求點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離.（結(jié)果

精確到加，參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36,A/3-1.73）

【答案】點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離大約為1903米

【詳解】如圖，作交的延長線于

在RtABCH中，NBHC=90°,ZCBH=60°,8C=1000米，

,3"=500米，C/f=500西米,

在RtAAHC中，NOW=20。，

AH=CH^tan20°?500百+0.36。2403（米）,

=2403-500=1903（米）.

故點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離大約為1903米.

11.（2022?交城縣模擬）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm,固定支點(diǎn)O

到水平桌面的距離為7.5CM,當(dāng)支架。4、AB拉直時所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時測得3

到底座的距離為31.64皿（線段AB,AO,的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NQ4B=115。，NAOM=160。時,

臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到3的水平距離為10aw,求此時點(diǎn)3到桌面的距離.（參考數(shù)

據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36,0^1.414）

【答案】點(diǎn)3到桌面得距離為28.78°〃

【詳解】過點(diǎn)A作AC平行于水平桌面，過點(diǎn)3作3CLAC于點(diǎn)C,再延長交AC于點(diǎn)O,

B

由題意可知：OD±AC,AC=10cm,OM=7.5—2=5.5cm,

ZAOM=160°,

ZAOD=180°-ZAOM=20°,

ODLAC,

.\ZADO=9Q°,

/.ZOAD=90°-ZAOD=70°,

ZOAB=115°,

NH4C=NQ4B—NQ4D=115?！?0。=45。，

ZABC=ZBAC=45°.

AC=BC=10cm,

Ar

在RtAABC中，cosZBAC=——，

AB

…AC10

/.AB=-------------=----------?14.14cm,

cosABACcos45°

,AB+AO+OM=31.64cm,

/.AO=12cm,

在RtAAOD中，cosZAO￡>=—,

AO

/.OD=AO?cosZAOD=12xcos20°?11.28cm，

5C+8+7.5=11.28+10+7.5=28.78cm,

.,.點(diǎn)B到桌面得距離為28.78cm.

12.（2022?晉中一模）“滑塊錢鏈”是一種用于連接窗扇和窗框，使窗戶能夠開啟和關(guān)閉的連桿式活動鏈接

裝置（如圖1）.圖2是“滑塊錢鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，懸臂QE安裝在窗扇上，支

點(diǎn)、B、C、。始終在一條直線上，已知托臂AC=20厘米，托臂比）=40厘米，支點(diǎn)C,。之間的距離是

10厘米，張角NC4B=60。.

（1）求支點(diǎn)。到滑軌MN的距離（精確到1厘米）；

（2）將滑塊A向左側(cè)移動到A,（在移動過程中，托臂長度不變，即AC=AC,3c=3。）當(dāng)張角

NC42=45。時，求滑塊A向左側(cè)移動的距離（精確到1厘米）.（備用數(shù)據(jù)：A/2?1.41,百BL73,

土2.45,~2.65）

圖1圖2

【答案】（1）支點(diǎn)。到滑軌的距離為23厘米；（2）滑塊A向左側(cè)移動的距離是6厘米

【詳解】（1）過C作CG_LAB于G,過D作。于

AC=20,ZC4B=6O°,

AG=-AC=10,CG=A/3AG=10A/3,

2

BC=BD-CD=3O,

CG±AB,DHLAB,

:.CG//DH,

;.NBCG^NBDH,

,BCCG

HD~15H'

,3010退

,'40"DH

DH=^^~x23（厘米）；

3

支點(diǎn)D到滑軌腦V的距離為23厘米；

（2）過C作。S_LM?V于S,

AC=AC=20,ZCAS=45°,

A!S=C'S=10底,

BS=yjBC'2-C'S2=10幣,

43=100+10夕，

BG=yJBC2-CG2=10A/6，

AB=10+10^6,

:.AA^AB-AB?6（厘米）,

滑塊A向左側(cè)移動的距離是6厘米.

圖2

13.（2022?云岡區(qū)一模）如圖1是太原市新?lián)Q的一批新能源公交車，圖2,圖3分別是該公交車雙開門關(guān)

閉、打開時的俯視示意圖.ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，4=4=90。，兩門AB,CD的門軸A,

B,C,。都在涓動軌道上，兩門關(guān)閉時（圖2）,A,。分別在E,F處，門縫忽略不計(jì)（即5,C重

合），兩門同時開啟，點(diǎn)A,D分別沿Efb-N的方向同時勻速滑動（如圖3）,當(dāng)3到達(dá)E時，C

恰好到達(dá)F,此時兩門完全開啟，在門開啟的過程中，3C=￡B+CF時，求/4BE的度數(shù).

【答案】ZABE的度數(shù)為60。

【詳解】由題意得，AB=CD=-EF,ZE=NF=90°,BE=CF,

2

BC=EB+CF,

BC=-EF,

2

:.BE=CF^-BC=-AB,

22

:.ZBAE=3O°,

:.ZABE=60°,

故4BE的度數(shù)為60。.

14.（2022?山西模擬）2022年春節(jié)假期正逢北京冬奧會，使滑雪這項(xiàng)“冷運(yùn)動”成了“熱時尚”.某地計(jì)

劃將一個山坡改造成一個滑雪場的滑道，滑道由4?和BC兩段組成，4?的坡角NA=15。，3c的坡角

a=20°,已知山坡的水平距離AD=1500加，鉛直高度CD=450m,求滑道AB的鉛直高度班的長.（結(jié)

果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.26,tan15°?0.27,sin20°~0.34,tan200-0.36）

【答案】滑道腦的鉛直高度班的長約為270加

【詳解】如圖所示：過點(diǎn)3作B尸，CD于點(diǎn)尸，

由題意可得：BELAD,CDLAD,則四邊形跳爰F是矩形,

設(shè)BE的長為xm,

FD=BE=xm,BF=ED,

:.FC=CD-FD=(450-x)m,

BE±AD,BF±CD,

:.ZBEA=90°,ZBFC=90°,

在RtAABE中，ZBEA=90°,

,BE門口-x

「.tanA=----,即AEx------,

AE0.27

在RtABCF中，ZBFC=90°,

tanZCBF=—,即當(dāng)二二,

BF0.36

AE+ED=AD,

解得：％=270,

答：滑道AB的鉛直高度BE的長約為270M.

AED

15.（2022?呂梁模擬）圖1為太陽能路燈，其頂端是太陽能電池板，白天吸收太陽光向燈桿中的蓄電池組

充電，晚上蓄電池組提供電力給燈光源供電，實(shí)現(xiàn)照明功能.圖2是該路燈上部的平面示意圖，燈臂

AD,支架3c與立柱分別交于A,3兩點(diǎn)，燈臂與支架3C交于點(diǎn)C.已知NM4C=75。，ZACB=15°,

BC=60cm,CD80cm,點(diǎn)3到地面的距離為5.14機(jī)，求路燈最高點(diǎn)。到地面的距離.（結(jié)果精確到

O.Obn.參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,tanl5°~0.27,sin750~0.97,cos75°?0.26,tan75。a3.73,

班"73）

【答案】路燈最高點(diǎn)。到地面的距離約為5.65加

【詳解】過點(diǎn)C作垂足為尸，過點(diǎn)。作垂足為E,過點(diǎn)C作CGLDE,垂足為G,

則CG=EF,CF//DE,

ZMAC=15°,ZACB=15°,

ZABC=ZMAC-ZACB=60°,

在RtABCF中，BC=60cm,

s.BF^BC-cos60。=60xg=30(CT?I),

NAFC=90°,

ZACF=90°-ZMAC=15°,

CF//DE,

ZD=ZACF=15°,

在RtADCG中，DC=80cm,

GC=DC?sin15°y80x0.26=20.8(cm),

/.EF=GC=20.8cm,

/.BE-BF+EF=30+20.8=50.8(cm)=0.508m,

路燈最高點(diǎn)O到地面的距離=5.14+0.508?5.65(m),

路燈最高點(diǎn)D到地面的距離約為5.65m.

16.（2022?山西二模）某?！熬C合與實(shí)踐”小組來到太原文瀛公園進(jìn)行參觀研學(xué)，對人民革命烈士紀(jì)念碑

的高度進(jìn)行了實(shí)地測量.項(xiàng)目操作如下：如圖，測角儀的高度EC=GE>=1米，他們分別在點(diǎn)C和點(diǎn)。處

測得紀(jì)念碑頂端A的仰角分別為NAEF=30。，ZAGF=45°,且CD=8.4米，A,E,C,B,F,D,

G在同一豎直平面內(nèi)，且E,F,G在同一條水平線上，C,B,￡>在同一條水平線上，求紀(jì)念碑至的

高度.（結(jié)果精確到0.1米，621.73,72?1.41）

【答案】紀(jì)念碑的高度約為4.1米

【詳解】由題意得：

EC=FB=GD=1米,EG=CD=8.4米,

設(shè)AF=x米,

在RtAAEF中，N4EF=3O。,

EF=（米），

tan30°

3

在RtAAFG中,ZAGF=45°,

AFx

=—=x（米），

tan45°1

EF+FG=EG,

y/3x+X=8A,

.?n=4.26-4.2,

4尸=（4.2舁4.2）米,

AB=AF+BF=4.2A/3-3.2?4.1（米），

紀(jì)念碑AB的高度約為4.1米.

17.（2022?陽高縣校級一模）如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB,小穎在坡面。處測得條幅頂部A的仰角

為30。，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部3的仰角為

45°,此時小穎距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=l:石（即tanNOEM=1:若），

且。、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長度（結(jié)果精確

到1米）（參考數(shù)據(jù)：5^^1.73,必1.41）

【答案】條幅的長度是17米

【詳解】過點(diǎn)。作加_LAN于〃，過點(diǎn)E作正,于?！庇谑?，

.,坡面?！?20米，山坡的坡度i=l:招，

.?.所=10米，￡＞尸=10小米，

￡＞〃=￡＞尸+EC+CN=(10G+30)米，ZAD"=30°,

AH=^-xDH=(10+10^/3)米，

AN=AH+EF=(20+104)米，

ZBCN=45°,

：.CN=BN=2G米,

AB=AN-BN=10小)217米，

答：條幅的長度是17米.

18.(2022?平定縣模擬)2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會圓滿落下帷幕.北京冬奧會為綠色辦

奧、科技辦奧貢獻(xiàn)了中國樣本和中國智慧，讓奧運(yùn)精神點(diǎn)亮更多人的冰雪夢想，并以冰雪運(yùn)動和奧林匹克

精神為紐帶，凝聚更團(tuán)結(jié)的力量.圖1,圖2分別是一名滑雪運(yùn)動員在滑雪過程中某一時刻的實(shí)物圖與示

意圖，已知運(yùn)動員的小腿田與斜坡至垂直，大腿。與斜坡A3平行，G為頭部，假設(shè)G,E,D三點(diǎn)、

共線，若大腿彎曲處與滑雪板后端的距離初/長為09叫該運(yùn)動員大腿防長為0.4加，且其上半身GP長

為0.8力z,ZEMD=35°.

(1)求此刻滑雪運(yùn)動員的身體與大腿所成的夾角ZGFE的度數(shù)；

(2)求此刻運(yùn)動員頭部G到斜坡的高度.(結(jié)果精確到0.1%,參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.57,cos35°a0.82,

tan35°?0.70,6=1.73)

【答案】(1)ZGFE=60°；(2)此刻運(yùn)動員頭部G到斜坡AB的高度約為1.2m

【詳解】(1)連接GE,

EF//AB,EDYAB,G,E,。三點(diǎn)共線，

ZGEF=ZEDM=90°,

EF=0.4m,GF=0.8m,

,「LLEF1

cosNGFE==一，

GF2

:.ZGFE=&)°-,

(2)由⑴得NGFE=60°,

在RtAGFE中，GE=GF-sin2GFE=3x且=空?0.69(加)，

525

在RtAEDM中，ZEMD=35°,EM=0.9m,

:.ED=EM-sinNEMD=0.9xsin35°?0.5l(m),

GD=GE+ED?0.69+0.51=1.2(w),

答：此刻運(yùn)動員頭部G到斜坡"的高度約為L2m.

圖2

19.（2022?山西模擬）如圖是太原地鐵2號線某一個入站口扶梯設(shè)計(jì)的示意圖.起初工程師計(jì)劃修建一段

扶梯?1B,扶梯池總長為40米，點(diǎn)A到地面EB的距離為AF=32米.但這樣斜坡太陡、扶梯太長容易引

發(fā)安全事故.工程師修改方案：修建AC,DE兩段扶梯，并在扶梯的連接處修建5米的平臺C￡）,減緩各

扶梯的坡度.其中扶梯AC和平臺CD形成的NACD=135。，扶梯上與水平面的夾角NE=30。，扶梯AC

長14頂米.求此時，修建的入站路程從點(diǎn)A到點(diǎn)E的路程總長是多少米？（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):

忘"41,A/3?1.73）

【答案】修建的入站路程從點(diǎn)A到點(diǎn)E的路程總長約60.7米

【詳解】過點(diǎn)C作CGLEB于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，延長。C交AF于點(diǎn)M,

.AF//CG//DH,ZAFB=ZDHB=90°.

DC//EB,

：.四邊形是矩形,

ZAMC=ZDMF=90°,DH=MF,

ZACD=135°,

/.ZACM=180?！猌ACD=45°,

在RtAACM中，AC=14亞米，ZAMC=90°,sinZACM=—,

AC

AM=^X14A/2=14（米），

AF=32米，

=—=32-14=18米，

二.D"=MF=18米，

在RtAEDH中，NDHE=90。,NE=30。，

:.DE=2DH=36^i,

AC+C￡>+DE=14>/2+5+36?14xl.41+41?60.7（米）.

答：修建的入站路程從點(diǎn)A到點(diǎn)E的路程總長約60.7米.

20.（2022?平遙縣一模）受新冠疫情影響，部分縣市課堂教學(xué)從“線下”轉(zhuǎn)到了“線上”，我市教育局承擔(dān)

組織全區(qū)“空中課堂”優(yōu)秀課例的錄制工作，手機(jī)成為學(xué)生線上學(xué)習(xí)的主要工具.如圖1是一臺手機(jī)支架,

圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點(diǎn)A,B轉(zhuǎn)動,測量知BC=8c〃z,AB=16cm.當(dāng)AB,BC轉(zhuǎn)

動到44E=60。，NABC=50。時，觀看比較適宜，試求此時點(diǎn)C到AE1的距離.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,

參考數(shù)據(jù)：sin50。。0.766,cos50°~0.64,sin70°~0.94,cos700~0.34,tan70°?2.75,若=1.73）

【答案】點(diǎn)C到AE的距離約為6.3?！?/p>

【詳解】過點(diǎn)5作風(fēng)0，短，過點(diǎn)C作CN，AE,垂足分別為〃、N,過點(diǎn)C作垂足為

B

貝!=ZBDC=90。,

在RtAABM中，ZBAE=60°,AB=16cm,

=AB-sin60°=16x—=873（cm）,ZABM=90°-ZBAE=30°,

2

ZABC=50°,

Z.CBD=ZABC-ZABM=20°，

ZBCD=90。-Z.CBD=70°,

在RtABCD中，BC=8cm,

BD=BC-sin70°x0.94x8=7.52（c〃z）,

.-.DM=BM-BD=8』-7.52?6.3（cm）,

CN=DM=6.3cm>

.?.點(diǎn)C到AE的距離約為6.3cm.

21.（2022?山西模擬）如圖1,2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知ABJ.3c于點(diǎn)3,底座3C的

長為1米，底座3C與支架AC所成的角NACB=60。，點(diǎn)X在支架AF上，籃球底部支架￡H/ABC,

EF_L￡H于點(diǎn)E,已知長J米，長為班米，HE長1米.

2

（1）求籃板底部支架HE與支架AF所成的角4HE的度數(shù)；

（2）求籃板底部點(diǎn)E到地面的距離（結(jié)果保留根號）.

【答案】（1）籃板底部支架HE與支架AF所成的角4HE的度數(shù)為45。；（2）籃板底部點(diǎn)E到地面的距離

為己+0）米

2

【詳解】（1）EF±EH,

:.ZHEF=90°,

在RtAHEF中，HF;近米,班：=1米,

??.cos〃*乳二=也

HF垃2

:.ZFHE=45°,

.-.籃板底部支架HE與支架AF所成的角NFHE的度數(shù)為45°；

(2)延長FE交直線3c與點(diǎn)Af,過點(diǎn)A作AG2,FN,垂足為G,

:.ZAGM=ZAGF=90°,

EH!IBC,EF工EH,

:.FM,LBC,

.\ZBMG=90°,

AB±BCf

:.ZABC=90°,

四邊形ABMG是矩形，

:.AB=GM,

HE11AG,

.\ZFHE=ZFAG=45°,

FG=AFsin45°=（72+^）=|（米），

EF=HEtan45°=l（米），

.\EG=FG-EF=-（米），

2

在RtAABC中，=ACtan60°=lxV3=73（米），

.?.AB=GM=6（米），

1L

:.EM=EG+GM=（-+^^,

2

籃板底部點(diǎn)E到地面的距離為d+班)米.

2

22.(2022?迎澤區(qū)校級模擬)某景區(qū)A、3兩個景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)3必須經(jīng)過C處

才能到達(dá).觀測得景點(diǎn)8在景點(diǎn)A的北偏東30。，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測得景

點(diǎn)3在C的北偏東75。方向.

(1)求景點(diǎn)3和C處之間的距離；(結(jié)果保留根號)

(2)當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)3的筆直的跨湖大橋.大橋修建后，從景

點(diǎn)A到景點(diǎn)3比原來少走多少米？(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：血。1.414,1.732)

【答案】(1)景點(diǎn)B和C處之間的距離為300y/2m；(2)大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走約205m

【詳解】(1)過點(diǎn)C作CD_LAB于點(diǎn)O,

由題意得，NA=30