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文檔簡(jiǎn)介

《勾股定理的逆定理(第1課時(shí))》按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎?古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3個(gè)結(jié),4個(gè)結(jié),5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng),用木樁釘成一個(gè)三角形,其中一個(gè)角便是直角.導(dǎo)入新知1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、互逆定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).

2.能證明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形.學(xué)習(xí)目標(biāo)

據(jù)說,古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角.這種方法對(duì)嗎?探究新知知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的逆定理345三邊分別為3,4,5,滿足關(guān)系:32+42=52,則該三角形是直角三角形.探究新知問題1

用量角器量一量,它們都是直角三角形嗎?是做一做:下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方,分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫出三角形(單位:cm).①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.探究新知下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;

②7,24,25;

③8,15,17.問題2

這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)?①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3

古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個(gè)等式嗎?∵32+42=52,∴滿足.a2+b2=c2探究新知問題4

據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子,我們猜想:命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.探究新知我覺得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確,因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn),前面我們只取了幾組數(shù)據(jù),不能由部分代表整體.已知:如圖,在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,并且

.ABbcab證明:作?A1B1C1,

在△ABC和△A1B1C

1中,

Ca求證:∠C=90°.使∠C1=90°,根據(jù)勾股定理,則有∠C=∠

C1

=90°.探究新知BAB1C1=a,C1A1=b.A1B12=B1C12+C1A12=a2+b2.∵a2+b2=c2,∴A1B1=c,∴AB=A1B1.≌∴?ABC

?A1B1C1.A1C1B1AB=A1B1.CA=C1A1,BC=B1C1,符號(hào)語言:在△ABC中,若a2

+b2=c2則△ABC是直角三角形.探究新知

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理:bcCaBA探究新知方法點(diǎn)撥勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三邊長(zhǎng),且滿足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方,即可判斷此三角形為直角三角形,最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角.下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一個(gè)角是直角?(1)

a=15,

b=8,c=17;解:(1)∵152+82=289,172=289,(2)a=13,b=14,c=15.

(2)∵132+142=365,152=225,總結(jié):根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形,只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.探究新知利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形∴152+82=172,根據(jù)勾股定理的逆定理,這個(gè)三角形是直角三角形,且∠C是直角.∴132+142≠152,不符合勾股定理的逆定理,∴這個(gè)三角形不是直角三角形.考點(diǎn)1DCDC鞏固練習(xí)下列各組線段中,能夠組成直角三角形的一組是()A.1,2,3

B.2,3,4 C.4,5,6

D.滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三個(gè)內(nèi)角比為1:2:1

B.三邊之比為1:2:

C.三邊之比為

D.三個(gè)內(nèi)角比為1:2:3若△ABC的三邊a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=

,試說明△ABC是直角三角形.解:∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.探究新知勾股定理的逆定理和乘法公式判斷三角形考點(diǎn)2若△ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.

試判斷△ABC的形狀.解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,∴

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0.

(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∴a=3,b=4,c=5,

a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.鞏固練習(xí)探究新知知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).常見勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì):

一組勾股數(shù),都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù)),得到一組新數(shù),這組數(shù)同樣是勾股數(shù).

下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是

(

)

A.3,4,6

B.6,7,8C.0.3,0.4,0.5D.5,12,13D

鞏固練習(xí)方法點(diǎn)撥:根據(jù)勾股數(shù)的定義,勾股數(shù)必須為正整數(shù),先排除小數(shù),再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.命題2

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.看下面的兩個(gè)命題:探究新知知識(shí)點(diǎn)3互逆命題和互逆定理你發(fā)現(xiàn)了什么?命題1:直角三角形a2+b2=c2命題2:直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論

它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題.發(fā)現(xiàn)1

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論如下所示:發(fā)現(xiàn)2

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論有如下聯(lián)系:探究新知?dú)w納總結(jié):一般地,原命題成立時(shí),它的逆命題可能成立,也可能不成立.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,我們稱這兩個(gè)定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題,叫做互逆命題,其中一個(gè)叫做原命題,另一個(gè)叫做原命題的逆命題.探究新知說出下列命題的逆命題.這些命題的逆命題是真命題嗎?(1)兩條直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;

逆命題:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.真命題.(2)對(duì)頂角相等;

逆命題:相等的角是對(duì)頂角.假命題.(3)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

逆命題:到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.真命題.

任何一個(gè)命題都有逆命題;原命題是真命題,其逆命題不一定是真命題.鞏固練習(xí)已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn),AM=MN=2,NB=1,以點(diǎn)A為圓心,AN長(zhǎng)為半徑畫弧;再以點(diǎn)B為圓心,BM長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則△ABC一定是(

)A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形B鏈接中考1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.3,4,7

B.5,12,13C.1.5,2,2.5D.1,3,52.將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形

B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形

D.不可能是直角三角形BA課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3.寫出下列命題的逆命題,并判斷其逆命題的真假性.(1)如果兩個(gè)角是直角,那么它們相等.(2)在角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(3)如果,那么a≥0.解:(1)如果兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角是直角.假命題.(2)在角的內(nèi)部,角的平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等.真命題.(3)如果a≥0,那么

.真命題.課堂檢測(cè)4.若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5,試判斷△ABC的形狀.解:設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k>0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形,且∠C是直角.課堂檢測(cè)A,B,C三地的兩兩距離如圖所示,A地在B地的正東方向,C地在B地的什么方向?解:∵AB2+BC2=122+52

=144+25=169,

AC2=132=169,∴AB2+BC2=AC2,

∴△ABC為直角三角形,且∠B=90°,由于A地在B地的正東方向,所以C地在B地的正北方向.課堂檢測(cè)能力提升題解:AF⊥EF.理由如下:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,則EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中,得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中,得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中,AE2=EF2+AF2,∴△AEF為直角三角形,且AE為斜邊.如圖,在正方形ABCD中,F(xiàn)是CD的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),且CE=CB,試判斷AF與EF的位置關(guān)系,并說明理由.課堂檢測(cè)拓廣探索題∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.勾股定理的逆定理內(nèi)容作用從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個(gè)三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意最長(zhǎng)邊不一定是c,∠C也不一定是直角.勾股數(shù)一定是正整數(shù)課堂小結(jié)勾股數(shù)互逆命題和互逆定理利用勾股定理判斷三角形的形狀1.下列各組數(shù)中,可以構(gòu)成直角三角形的一組是(

)A.3,5,6

B.2,3,4C.6,7,9

D.3.4,5

D基礎(chǔ)過關(guān)765432182.下列三角形中,是直角三角形的是(

)A.三角形的三邊滿足關(guān)系a+b=cB.三角形的三邊長(zhǎng)分別為32,42,52C.三角形的一邊等于另一邊的一半D.三角形的三邊長(zhǎng)為7,24,25D765432183.測(cè)得一個(gè)三角形花壇的三邊長(zhǎng)分別為6m,8m,10m,這組數(shù)_____(填“是”或“不是”)勾股數(shù),這個(gè)花壇的面積是________.

是24m276543218

解:∵a2+b2=1.52+22=6.25,c2=2.52=6.25,∴1.52+22=2.52.根據(jù)勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,且∠C=90°.

76543218網(wǎng)格中判斷直角三角形5.在如圖所示的5×5的方格圖中,點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn).點(diǎn)C也在格點(diǎn)上,滿足△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,這樣的點(diǎn)C有(

)

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)D765432186.如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)).(1)AB的長(zhǎng)為____________;

(2)在網(wǎng)格中找到一格點(diǎn)C,使得BC=5,在圖中畫出△ABC,并通過計(jì)算判斷△ABC的形狀.

76543218勾股定理與逆定理的綜合應(yīng)用7.如圖,在△ABC中,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AD,BD,且AD⊥BD.已知AD=4,BD=3,AC=13,BC=12.則圖中陰影部分的面積為_______.

24765432188.已知△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm,求證:AB=AC.證明:∵AD為中線,∴BD=DC=5cm.在△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169,∴AD

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