第

二節(jié)

一階微分方程

二、一、可分離變量的方程二、二、一階線性微分方程高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程一、可分離變量的方程

對(duì)于微分方程

，如果函數(shù)

可以表示成一個(gè)

的函數(shù)和一個(gè)

的函數(shù)的乘積，即微分方程可寫成的形式,則稱該方程為可分離變量的微分方程.例如

是可分離變量的微分方程.如何求解該微分方程呢？顯然

是該方程的一個(gè)特解，

時(shí)，有兩邊積分，得故通解為另外

也是一個(gè)解.高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程一般的可分離變量的微分方程

，求解方法：步驟1分離變量時(shí)，分離變量，得步驟2兩邊積分兩邊積分，得設(shè)

和

分別是

和

的原函數(shù)，則微分方程的通解為另外，若存在

使

，則

也是方程的一個(gè)解.注意

微分方程除了通解之外,還可能有一些常數(shù)解．高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程分離變量，得兩邊積分，得即

從而

，解例１求微分方程

的通解.又

也是方程的解，故方程的通解為

高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程例2

求微分方程

的通解.解分離變量，得兩邊積分，得故原方程的通解為即令

，則

，

代入原方程，得（或

）高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程一般地，如果一階微分方程

可寫成的形式，則稱此方程為齊次方程.對(duì)于齊次方程，可通過(guò)變量代換

化為可分離變量的微分方程來(lái)求解.令

，則

齊次方程

可化為

可分離變量的方程高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程求解微分方程兩邊積分并還原為變量x,y,可得原方程的通解為代入上述方程并分離變量，得解

原方程可化為例3

變形為高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程例4

求解微分方程解令

，則于是原方程可化為分離變量，得兩邊積分，得把

代入上式，得方程的通解為

說(shuō)明:

利用變量代換將一個(gè)微分方程化為可分離變量的方程，或化為求解方法已知的方程，是解微分方程最常用的方法之一.高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程練習(xí)

求方程的

通解.解代入原方程，得分離變量，得兩邊積分，得

把

代入，得方程的通解為如果方程變形為

呢？高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程二、一階線性微分方程形如

（1）

的方程稱為一階線性微分方程.（它是關(guān)于未知函數(shù)

及其導(dǎo)數(shù)

的一次方程），其中

稱為方程(1)的自由項(xiàng)或非齊次項(xiàng)．當(dāng)

恒等于零時(shí)，方程(1)成為

稱為方程（1）所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程.當(dāng)

不恒等于零時(shí)，方程(1)稱為非齊次線性微分方程.例如為一階齊次線性微分方程.為一階非齊次線性微分方程.1、定義高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程2、解法步驟1

先求解齊次線性方程（它為可分離變量的方程）分離變量，得兩邊積分，得于是一階齊次線性微分方程

的通解為

注意

這里記號(hào)

表示

某個(gè)確定的原函數(shù).可作為公式用問(wèn)題非齊次線性微分方程

的解呢？高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程步驟2

再求解非齊次線性方程設(shè)該非齊次線性方程解的為其中

為待定函數(shù).把

代入方程

有即兩邊積分，得高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程所以非齊次線性微分方程

的通解為

也可以寫成

通解公式齊次線性方程通解非齊次線性方程特解

從上述求解過(guò)程可以看到，一階非齊次線性方程的通解可以通過(guò)將相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解中的任意常數(shù)換成

x的函數(shù)C(x)得到，這種方法稱為常數(shù)變易法.高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程先求相應(yīng)的齊次線性方程

的通解.代入所給非齊次方程，得兩邊積分,得于是所求方程的通解為解例5求一階非齊次線性微分方程

的通解.分離變量，得兩邊積分，可得相應(yīng)的齊次方程的通解為令則即高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程也可以用公式法求解微分方程解該方程為一階非齊次線性微分方程，這里所以由非齊次線性微分方程通解公式，得這里只考慮

x＞0是一種簡(jiǎn)化計(jì)算的方式，x<0時(shí)結(jié)果形式上是一樣的.高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程三、一階微分方程應(yīng)用舉例（選講）指數(shù)變化率問(wèn)題

假定量

（人口、放射性元素、貨幣等）以正比于當(dāng)前量的速度而增加或減少，即量

增加或較少的速度與當(dāng)前量成正比.下列初值問(wèn)題求

：并知道時(shí)刻

的量

，則可以通過(guò)解其中當(dāng)

增加時(shí)，

當(dāng)

減少時(shí)，

解得上述初值問(wèn)題的解為高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程（1）連續(xù)復(fù)利

假定以固定的年利率

投資

元，一年內(nèi)

次將利息加入賬目，則

年后賬目資金總額為

如果連續(xù)地以正比于賬戶現(xiàn)金的速率將利息加入賬目，則由指數(shù)變化率可知

年后賬目資金總額為此時(shí)就是解初值問(wèn)題.或理解成此時(shí)高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程（2）放射性

當(dāng)一個(gè)原子在放射中失去一些質(zhì)量時(shí)，原子的剩下部分就重組成某種新元素的原子.這個(gè)放射過(guò)程和變化稱為放射性衰減，其原子自然經(jīng)過(guò)這一過(guò)程的元素，則是放射性元素.

實(shí)驗(yàn)指出：在任何給定的時(shí)間，放射性元素衰減的速率（單位時(shí)間改變的原子核數(shù)目）近似正比于現(xiàn)存放射性原子核的數(shù)目.于是放射性元素的衰減可以用方程來(lái)描述.這里

為常數(shù)，稱為衰減常數(shù).

如果時(shí)刻

存有放射性原子核數(shù)目為

，則時(shí)刻

仍存有的原子核數(shù)目為此時(shí)就是解初值問(wèn)題令

，得（這里算出的t叫半衰期）高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程（2）混合問(wèn)題

含有某種化學(xué)品的液體（或氣體）流入容器中，容器中原已裝有一定量的含該化學(xué)品的液體.將混合物攪拌均勻并以一個(gè)已知的速度流出容器.

設(shè)

表示在時(shí)刻

容器中液體的總量，

表示在時(shí)刻

容器中化學(xué)品的總量，則在時(shí)間間隔

內(nèi)，有化學(xué)品的改變量=化學(xué)品流入量-化學(xué)品流出量，高等數(shù)學(xué)第7.2節(jié)一階微分方程解例某湖泊的水量為

V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為

流入湖泊內(nèi)不含污染物A的水量為

流出湖泊的水量為

已知1999年底湖泊中A的含量為

超過(guò)國(guó)家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn).為治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過(guò)

問(wèn)至少需要經(jīng)過(guò)多少年，湖泊中污染物A的含量降至

以內(nèi)?(假設(shè)湖水中污染物A的濃度是均為的).設(shè)2000年初

，

年后湖泊中污染