單元檢測卷（四）三角函數(shù)、解三角形

（分值:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分堆每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

a

“2025?邯鄲模擬］已知tana=j,a為第一象限角，則sina的值為（）

2.［2024?北京順義區(qū)三模］已知函數(shù)八x）=cos2j—si吟則（）

A^x）為偶函數(shù)且周期為4兀

B/x）為奇函數(shù)且在1一7可上有最小值

C/x）為偶函數(shù)且在（°，T上單調(diào)遞減

D/）為奇函數(shù)且0）為一個對稱中心

3.［2025?九江模擬］在△48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2c一

a=2bcosA,則8=（）

A.-B.-

63

C."D-

36

4J2024?青島三模］為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=/cos2x的圖

象上所有的點（）

A.向右平行移動《個單位長度

B.向左平行移動：個單位長度

C.向右平行移動3個單位長度

4

JT

D.向左平行移動J個單位長度

7T4

5.[2025?南通模擬]已知0<￡<0<5，sin(a—^)=-,tana—tan則sinasinp=

()

A-B.-

25

CD.也

-t2

6.[2025?泉州模擬]數(shù)學家泰勒給出如下公式:

357246

?XIXXvvv

sinx=x-------十--------------十----------t---

3!5!7!2!4!6!

這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.

若根據(jù)以上公式估算sin（；—0.1）的值，則以下數(shù)值中最精確的是（）

A.0.952B.0.994

C.0.995D.0.996

7.[2025，濟寧模擬]已知函數(shù)"￥）=“35M》+（：05%）（：05%-5，若穴x）在區(qū)間_4'、

一—也1

上的值域為12'J,則實數(shù)機的取值范圍是（）

n￡|恒磯

A16，2）B16，2」

區(qū)Zzfl區(qū)7￡1

C16，12jD.Z12J

8.[2025?咸陽模擬]為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，

2024年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公

園”。尸0中，準備修一條三角形健身步道045,已知扇形的半徑。尸=3,圓心

角/尸。0=$Z是扇形弧上的動點，8是半徑。。上的動點，AB//OP,則△048

面積的最大值為（）

Q

B/--

OP

A及B

4-1

A

C3/3D

51

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.［2025?邵陽模擬］下列說法正確的有()

。=四+2左兀

A.若角a的終邊過點則角a的集合是la3,左?Zj

a+-33

B.若cosl6J=,則si

55

C.若tana=2,貝|sin2a+sinacos?=^

D.若扇形的周長為8cm,圓心角為2rad,則此扇形的半徑是4cm

10J2024?衡陽模擬］在△4BC中，角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知(a

+b)：(b+c)：(c+a)=5：6：7,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinZ:sin5:sinC=2：3：4

B.44BC為鈍角三角形

C.若a=6,則△4BC的面積是6石

D.若△ZBC外接圓半徑為凡內(nèi)切圓半徑為八則6=￥

r5

11.［2025?金華模擬］已知函數(shù)於)=5出2Gxeos夕+cos2Gxsin夕(①>0,的部分

圖象如圖所示，貝M

A兀

A.69=-

+6

B.（z）=2

為偶函數(shù)

D^x）在區(qū)間10，R的最小值為一；

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12J2024?海淀區(qū)模擬］若點尸（cos。，sin8）與點0（cos（8+；）,sin（6+；））關(guān)于y軸對

稱，寫出一個符合題意的。=.

13J2025?西安模擬］在100m高的樓頂/處，測得正西方向地面上8,C兩點（5,

C與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則瓦C兩點之間的距離為

14.［2025,重慶模擬］若l<coW2兀,則關(guān)于x的方程sincox=x的解的個數(shù)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）［2025,北京西城區(qū)模擬］已知函數(shù)兀r）=sin2x+2sinxcosx—cos2x.

（1）求“X）的最小正周期；

（2）從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知條件，求機的取值范圍.

①/（x）在（0,⑼上恰有兩個極值點；

②/（X）在（0,切）上單調(diào)遞減；

③/⑴在（0,優(yōu)）上恰好有兩個零點.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

16.（15分）［2025?滄州模擬］在△48C中，角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a1=c(c+b).

(1)求證：5+3C=兀；

(2)若N48C的角平分線交4。于點。，且。=12,b=7,求的長.

17.(15分)[2025?濟寧模擬〕已知函數(shù)八工)=cos4x—sin4x+sin(2x--).

6

r0川

(1)求函數(shù)五X)在1'2」上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)五x)的圖象向左平移研0<9<：)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函

_匹—11

數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(；，0)成中心對稱，在1—7°」上的值域為1―2'J,求a的

取值范圍.

18.(17分)[2024?莆田三模]在△48C中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且

Z?(cosC+l)=c(2—cosB).

(1)證明：a+b=2c.

(2)若a=6,cosC=2,求△4SC的面積.

16

19.（17分）［2025?石家莊模擬］若△NBC內(nèi)一點P滿足NF45=ZPBC=ZPCA=0,

則稱點尸為△48C的布洛卡點，。為△45C的布洛卡角.如圖，已知△4BC中，BC

=a,AC=b,4B=c,點尸為△NBC的布洛卡點，。為△4BC的布洛卡角.

⑴若，一，且滿足魯7,求/用的大小.

（2）若△4BC為銳角三角形.

①證明:

tan0tanNA4ctanXABCtanN4cs

②若PB平分/ABC,證明：b2=ac.

單元檢測卷（四）三角函數(shù)、解三角形

1.A［因為tana=3,所以正a=3,又因為si/a+cos2a=1,

4cosa4

所以sir?。+也sin2a=1,sin2a=2.因為［為第一象限角，

925

所以sina=g.故選A.］

2.C［因為人x）=cos2<-sin2；=cosx,所以函數(shù)人x）為偶函數(shù)且周期為2兀，在（0,

，上單調(diào)遞減，所以ABD選項錯誤，C選項正確.故選C.]

3.B[因為2c—〃=2Z)cos/,由正弦定理，2sinC—sin/=2sinBcos4

A+B+C=TI,2sin(Z+5)—2sin5cos/=sin4,整理得2sinAcos5=sin4;sin

=?

A>0,/.cos^2又BG(0,兀)，.故選B.]

4.A[y=sin2x+cos2x=亞sin(2x+；),

由誘導公式可知：y=^cos2x=msinl

?2y)

sm

則即只需把圖象向右平移:個單位.故選A.]

4888

5.B[因為0于所以(Ka一.苫，因為sin(a一份=%

所以cos(a—J3)=^1—sin*2*,

h山c人/Asinasin￡

因為2=tana—tan￡=-------------匕=

cosacos0

sinacos/—sin￡cosa_sin(6一夕)

cosacos0cosacosB'

2

所以cosacos6=M

因為cos(?—^)=cosacos￡+sinasm/?=-+sinasinS=5，

則sinasin￡=g.故選B.]

0I20I4*0I6

6.C[由題意可得：sin《7r一0.1)=cos0.1=l—1+；—1"+…-0.995.故選C.]

7.D[依題意，函數(shù)危)=3sinxcosx+cos2x—l=^sin2x+-cos2x=sin(2x+-),

2226

兀兀個?兀

i,----,m),TT----,2mn~一

當4」時，2x~\-一36」，

6

.4兀.兀i

sm

322

且正弦函數(shù)y=sinx在5上單調(diào)遞減，由寅x)在區(qū)間14'祖」上的值域為

——也1

_2，I

兀7兀

得匹W2加工，解得加W〃，所以實數(shù)加的取值范圍是_6'12_?故選D.]

263612

8.A［設(shè)/尸。2=仇。?(0,令，由幺5〃00，得NCM5=e,ZOBA=^,

在△048中，由正弦定理得々^=「^=243,即O5=2d3sin。,

sm。sin—

3

則△CM8的面積S=^OBOAsinZAOB=3^sin6?sin(1-0

=3^3sin"cos6-gsin0=3^3(^sin2T.匕”當

=WBsin[6]一：，顯然20+三T],因此當如十三=三，即。=三時,Smax

26626

=3^3

—4'

所以△048面積的最大值為T.故選A.]

9.ABC[因為角a的終邊過點尸(；，；)，為第一象限角，

所以由三角函數(shù)的定義知tana=43,所以角a的終邊與;終邊相同，

_兀?Dk

.一"―3兀，J,故A選項正確；

因為sin(a+g)=sin(a+[+])=cos(a+：)=：,所以B選項正確；

e、).01.sin2?+sinacosatan2a+tana4+26北…―、小行一

因為sm2?+smacosa=--；-------；---=----------=----=-,所以C選項正

sin2?+cos2atan2ot+14+15

確;

設(shè)扇形的半徑為乙圓心角為%因為扇形所對的弧長為/=射=2乙

所以扇形周長為/+2r=2r+2r=4r=8,故尸=2加,所以口選項不正確.故選人83

10.BD[設(shè)。+6=5九b+c=6t,c+a=7t,

貝！]Q=3/,6=2%,c~4/.

對于A,sin/：sin5：sinC=3：2：4,故A不正確；

對于B,。最大，所以C最大，

所以。為鈍角，故B正確；

對于C,若〃=6,則，=2,b=4,c=8,

所以cosC=—l=sinC=^^,

44

所以△Z8C的面積是S=labsinC=lx6X4x"^=3\/15,故C不正確；

224

對于D,由正弦定理得外接圓半徑

“c=&=8叫

2sinCy/1515'

△Z8C的周長/=%,S=-absmC=^^t2,所以內(nèi)切圓半徑為『空=近人所

24I6

以區(qū)=/，故D正確.故選BD.]

r5

11.ACD[由題意得/(x)=sin(2Qx+9),由圖象可得/(0)=；=sin

又所以9=f,由五點法可得Qxf+f=乎=3=1,所以｛x)=sin["+J

26362

A.由以上解析可得9=3故A正確；

B.由以上解析可得①=1,故B錯誤;

（34工+&）=sincos2x,故C正確;

2」

口.當工￡=>2x+-_66—時，sin（2x+四）￡

所以最小值為一：，故D正確.故選ACD.]

12亨答案不唯一）［因為點尸（cos。，sin。）與點。（cos（6+；）,

sin（9+；））關(guān)于y軸對稱，則

cos（。+匹）=—cos0,

3

sin（。+匹）=sin0,

3

由cos（e+：）=—cose,

可得cosOcos--sinOsin-=—cos0,

33

貝1］-cos9=^sin仇所以tan9=3；

22

由sin（<9+1）=sin0,可得

sinOcos-+cos0sin-=sin0,

33

則-cos0=-sin6,所以tan0=^3,

22

因此。=g+E,kRZ,取。=；.（答案不唯一）］

13.200^3m［由題意8。=」^-----@—=100Xtan75。一tan15。

tan15°tan75°tan15°tan75°

1cc、/tan60°（I+tanI50tan750）

=l00X------------------------------------

tanI50tan75°

右10°sin15°sin75°sin15°cos15°

而tan15°tan75°=-------------------=-------------------=11,

cos15°cos75°cos15°sin15°

所以BC=100X2A/3=200^3（m）.］

14.3［由y=sin①x,知sins^L1，U,T=",因為1<①忘2兀，所以IWFCTI,

CD

在同一坐標系下分別畫出y=sincox和y=x的圖象，

由圖象可得歹=$布60%和y=x共有3個交點，即方程sin①x=x有3個根.]

15.解(1)因為fix)=sin2x+2sinxcosx—cos2x

=2sinxcosx—(cos2x—sin2x)=sin2x—cos2x=^2sin(2x—,

所以人x）的最小正周期為卑=兀

（2）因為x￡（0,m）,所以2x—；￡（一；,2加一；）.

選擇①，因為山）在（0,m）上恰有兩個極值點，

所以史＜2機一心w2，

242

所以?＜也或?qū)W，

OO

p7l11兀

故機的取值范圍是LJ'V.

若選擇②，因為當2x—：c（U，|）時，函數(shù)4）單調(diào)遞增，

所以加）在（0,m）上不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

選擇③，因為兀0在（0,加）上恰好有兩個零點，所以兀＜2機一:W2?r,所以微■機W1.

故機的取值范圍是（$,3].

16.（1）證明在△48C中，由余弦定理a2=c2+b2—2cbcosZ及q2=c（c+b）,

得孑一2cbcos/=bc,即b—2ccosZ=c,由正弦定理，得sin3—2sinCeos4=sin

C,

即sinC=sin(C+y4)-2sinCeosA=sinAcosC-cos^4sinC=sin(A—C),

由0<。<兀，得sin(Z—O=sinC>0,則0<A-C<A<n,

因此C=z—C,即Z=2C,則2C+B+C=7r,所以5+3。=兀

(2)解由a2=c(c+b),得122=C(C+7),由C>0,得C=9.

AB_sin/ADB_sin/BDC_BC

在△BCD中，由正弦定理，得

ADsinZABDsinNCRDCD'

9I?

則==-----,解得ZQ=3,從而。C=4,又cosNZ￡)8+cosNCD5=0,

AD7-AD

A

BC

32+502—92?42+802—122

由余弦定理，得=0,解得AD=4加,

2X3BD2X45。

所以BD的長為4d6.

17.解(1)/(x)=cos4x—sin4x+sin(2x--)

6

-cos2x+—sin2x=sin(2x+￡).

22

o-

因為，2」，

所以6J,

三匹

所以當2x+?￡_6‘2_,

6

即xe”’:時，函數(shù)人x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)人X)在［0,"上的單調(diào)遞增區(qū)間為6

(2)由題意可知，g(x)=sin(2x+2^+^),

因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(；，0)成中心對稱,

所以2X四+2夕+四=E,左GZ,

36

解得9=一爭，kRZ.

因為0<9<j,所以左=1,9=3，

所以g(x)=sin(2x+|).

71

I,--------，a,

當xd14」時，

_n2叫_

2x+-e—6'

3

_7l_1

因為g(x)在17°」上的值域為15'

解得型WaW21,

1212

兀5兀

所以a的取值范圍為115'11.

18.(1)證明根據(jù)正弦定理知6(cosC+l)=c(2—cos5)=>sinBcosC+sin5=2sin

C—sinCeosB,

整理得sinBcosC+sinCeosB+sinB=2sinC=>sin(5+Q+sin5=2sinC,

因為/+5+。=兀，所以sinA=sin(5+Q=>sinA+smB=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c

(2)解因為cosC=2,所以sinC=AJ1—cos2C=^-^,

1616

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=36+b2——b,

4

則4c2=144+4〃-27仇因為a=6,所以6+b=2c,所以36+126+^=4/,

則144+4*276=36+⑵+爐,即爐一136+36=0,解得6=4或1=9,

當6=4時，a=6,此時△ZBC的面積S=LzbsinC=lx4X6x8&=丘亞；

22164

當6=9時，a=6,此時△ZBC的面積S=labsinC=lx6X9x8^=3^.

221616

綜上A4BC的面積為亟伉或些

416

19.⑴解若b=c,KPAB=AC,得/幺BC=N4CB,點、P滿足/R4B=/PBC=

ZPCA=d,則NPC8=NP",在△PCB和△0氏4中，ZPCB=ZPBA,ZR4B

=ZPBC=0,

所以△尸C8與△尸"相似，且魯f，所以工：=自即廣缶,

由余弦定理得：cosN45C=幺—且Q=3C,b=c,

2ac

得c°s〃C="m，且0加，所

(2)證明①在△45。內(nèi)，應用余弦定理以及三角形的面積公式得:

1cosXBAC/72+02-Q2Z7*2+c2—tz2

tanNA4csmZBAC2bcsmXBAC4s△4BC

1cosAABCtz2+c2—Z72a2~\-c2—b2

tanXABCsmZABC2acsinXABC4S^ABC

1cosNACB層+從一02a2+b2~c2

tanXACBsinXACB2absinXACB4S^ABC

111〃2-/72~02

三式相加可得：---+---+---=，①

tanXBACtanXABCtanXACB4S^ABC

在△245內(nèi)，應用余弦定理以及三角形的面積公式得：

1=COs6=AP2+c2—8尸2=』尸2+02—8尸2

tan0sin02AP-csm04s△aB

在△胸和內(nèi)，同理：，=叱+—一0產(chǎn)

tan64S^PBCtan04s△尸cz

一上如始1_AP2-\-c2—BP2_BP2-\-a2—CP2_CP2-\-b2—AP2

'2r\不目?------------------------------------------

tan