專題7.6復(fù)數(shù)全章八大壓軸題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

題型1N根據(jù)復(fù)數(shù)的相等條件求參數(shù)。|

1.(2023?高一單元測(cè)試)已知復(fù)數(shù)(1+%i)i=2-yi,x,yeR,則X-y=()

A.3B.1C.-1D.-3

【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，求出小y,進(jìn)而求出％-y.

【解答過(guò)程】(1+xi)i=2-yi,??.一%+i=2-yi,

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知a,bER,復(fù)數(shù)z[=—1+ai,z2=b—3i(i為虛數(shù)單位)，若z1=五,

則a+b=()

A.1B.2C.-2D.-4

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列方程求解即可.

【解答過(guò)程】解：由Z2=b—3i得

&=b+3i,

,?*Z]—Z2,

{T，

Ia=3

解得M，

lb=-1

???a+b=2.

故選：B.

3.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x,y的值.

(1)2%—1+(y+l)i=%—y+(—%—y)i；

(2)仁;6+(久2-2x-3)i=0.

【解題思路】(1)(2)利用復(fù)數(shù)相等或復(fù)數(shù)等于0直接列式計(jì)算作答.

【解答過(guò)程】(1)因x,ydR,2x-1+(y+l)i=x—y+(―x-y)i,則有，=];，解得{j['

所以U

z

2(x-x-6_八

(2)因工￡R,上士+(%2_2x—3)i=0,于是得|Fl-二口，解得％=3,

X+1U2-2%-3=0

所以久=3.

4.(2023?全國(guó)?高一隨堂練習(xí))求滿足下列條件的實(shí)數(shù)相y的值：

-y)+(4x+|y)i=5+14i；

(2)(%+y)—xyi=-2+15i；

(3)(久2-x-2)+(2y2+5y+2)i=0.

【解題思路】(1)(2)根據(jù)實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)關(guān)系解方程即可；(3)令實(shí)部為0且虛部為0解方程即可.

【解答過(guò)程】⑴由(7—3/)+(?+|丫＞=5+14何得2至二,解得;

⑵由(x+y)-孫i=—2+15i可得口；二1s2,解得｛獲;或廿二

(3)由(%2一%一2)+(2y2+5y+2)i=0可得j”21—J2二0八，解得％=2或-1,y=—j或一2,故答

(zy十by十z一u乙

案為:仁二或y二或"a或仁丁

題型2卜復(fù)數(shù)的模的幾何意義

1.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè))已知zi=2-2i,憶2—i|=1,則％-z/的最大值為

()

A.2V3B.2&C.V5+1D.V13+1

【解題思路】設(shè)Z?=%+yi(x,yeR),利用i|=1得出爐+(y-1)2=1,表示以(0,1)為圓心，半徑

為1的圓，為一z/=—2+(y+2)i|=J(x—2尸+(y+2尸,表示O,y)與(2,-2)之間的距離，求

%—Zi|的最大值，即求(2,—2)與/+。_1)2=1圓上任意一點(diǎn)的距離最大值.

［解答過(guò)程】設(shè)Z2=x+yi(%,yeR),

則。-i|=|x+(y-l)i|=y/x2+(y-l)2=1,

所以/+(y-I)2=1,

表示以(0,1)為圓心，半徑為1的圓，

則厲2—z/=|x-2+(y+2)i|=y/(x-2)2+(y+2)2,

表示(%,y)與(2,-2)之間的距離，

即(2,-2)與久2+(y-1)2=1圓上任意一點(diǎn)的距離，

因22+(-2-I)2>1,

所以(2,-2)在+(y-I)2=1圓外，

所以g2-z/max=J(2—。尸+(—2—+1=713+1.

故選：D.

2.（2023?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)zeC,則在復(fù)平面內(nèi)3<|z|<5所表示的區(qū)域的面積是（）

A.571B.9nC.16TID.25n

【解題思路】在復(fù)平面內(nèi)作出滿足3<|z|<5的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，可知所求區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，確定兩圓的

半徑，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.

【解答過(guò)程】滿足條件|z|=3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，

滿足條件|z|=5的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓，

則在復(fù)平面內(nèi)3<|z|<5所表示的區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，如下圖中陰影部分區(qū)域所示：

5x

所以，在復(fù)平面內(nèi)3<\z\<5所表示的區(qū)域的面積是nx（52-32）=16TL

故選：C.

3.（2023?全國(guó)?高一課堂例題）設(shè)zeZ,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?

(l)|z|=2；

（2）2<|z|<3.

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到答案.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閨z|=2,即|應(yīng)|=2,所以滿足|z|=2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、2為半徑的

圓；

⑵不等式2<3可化為不等式組工

不等式|z|>2的解集是圓|z|=2外部所有的點(diǎn)組成的集合,

不等式|z|<3的解集是圓|z|=3內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合，

這兩個(gè)集合的交集就是上述不等式組的解集.

因此，滿足條件2<|z|<3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、分別以2和3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但

不包括圓環(huán)的邊界.

4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2-2i|=2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M.

(1)確定點(diǎn)M的集合構(gòu)成圖形的形狀；

(2)求|z-1+2”的最大值和最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義確定點(diǎn)M的集合構(gòu)成圖形的形狀.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)復(fù)數(shù)-2+2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(-2,2),

貝！i|z+2-2i|=\z-(-2+2i)|=\MP\=2,

故點(diǎn)M的集合是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)l—2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q(l,—2),則|z—l+2i|=|MQ|,如下圖所示,

|PQ|=J(l+2)2+(—2—29=5,

則|z—1+2i|的最大值即|MQ|的最大值是|PQ|+2=7；

|z-l+2i|的最小值即|MQ|的最小值是|PQ|-2=3.

1.（2023下?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，四邊形0ABe是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A,

B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z/,Z2，Z3,若Z]=1,Z3=-2+i,則Z2=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.—1—i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)椤樵c(diǎn)，四邊形0A2C是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，

又因?yàn)閆】=1,z3=—2+i,

所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，

Z2=Z1+Z3=1—2+i=-1+i.

故選：C.

2.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）在平行四邊形ABC。中，若A,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-1+i和一4—3i,則

該平行四邊形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為（）

A.V5B.5C.2V5D.10

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求出向量左對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可求出.

【解答過(guò)程】依題意，前對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（一4一3。一（一1+。=—3—4。因此AC的長(zhǎng)度為|—3—4i|=5.

故選：B.

3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知四邊形。4CB是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，。是原點(diǎn)，點(diǎn)4,8分別表示復(fù)

數(shù)3+i,2+4i,M是。C,的交點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)C,M表示的復(fù)數(shù).

【解題思路】利用瓦=OA+而求得點(diǎn)C表示的復(fù)數(shù),利用兩=|反求得點(diǎn)M表示的復(fù)數(shù)

【解答過(guò)程】因?yàn)椤?0B分別表示復(fù)數(shù)3+i,2+4i,

所以方=0A+而表示的復(fù)數(shù)為(3+0+(2+4i)=5+5。即點(diǎn)C表示的復(fù)數(shù)為5+5i,

又南=(擊,所以旃表示的復(fù)數(shù)為|+],即點(diǎn)M表示的復(fù)數(shù)為|+ji.

4.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABC。，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量瓦?對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

為l+2i,向量品對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3—i,求：

(1)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

⑵平行四邊形A2CD的面積.

【解題思路】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與向量間的關(guān)系運(yùn)算得前=(4,1),OB=(1,-1),則而=OB+BD=(5,0),

從而得到其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)cosB=熹藕=壺貝UsinB=金，利用平行四邊形面積公式即可得到答案.

【解答過(guò)程】(1)???向量瓦5對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,所以向量瓦5=(1,2),

前對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,所以向量麗=(3,-1),

~BD=BA+BC=(1,2)+(3,-1)=(4,1),

OB=OA-BA=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

.,.近=礪+麗=(1,-1)+(4,1)=(5,0),

二點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.

(2)■■■BA-JC=\BA\\BC\COSB,

cBABC3-21

C°S-\BA\\BC\~V5xV10一邁‘

7

vBG[0m],???sinB=市，

S=\BA\\BC\sinB=通義V10x京=7.

故平行四邊形ZBCD面積為7.

題型4a根據(jù)復(fù)數(shù)的西則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征。?

1.(2023下.廣東東莞?高一?？茧A段練習(xí))如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”,

若復(fù)數(shù)z=-a+2i(其中a€R)為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)2-2山在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)題意求得a=-2,得到2=2+2i,化簡(jiǎn)2-2ai=2+6i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可

求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閺?fù)數(shù)2=-￡1+21(其中aeR)為“等部復(fù)數(shù)，可得a=—2,

即z=2+2i,可得2=2-2i,

則2-2ai=2-2i+4i=2+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(2,2)位于第一象限.

故選：A.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足至=白，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求得彳=-1-與，利用共軌復(fù)數(shù)的概念寫出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而判斷.

11.

【解答過(guò)程】Viz=^二"高=太=17T——b

22

*'?z=~?f**對(duì)應(yīng)點(diǎn)為n,m，為第二象限點(diǎn),

故選：B.

3.(2023下?江蘇南京?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知z是復(fù)數(shù)，z-i為實(shí)數(shù)，三巴為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位).

-2-1

(1)求復(fù)數(shù)Z;

(2)復(fù)數(shù)zi=T五在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

m+i2023

【解題思路】(1)待定系數(shù)結(jié)合實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的概念即可求解.

(2)由(1)可知z=l+i,從而可以化簡(jiǎn)為=得病，結(jié)合已知即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i,(a,beR),z-i=a+(b-l)i是實(shí)數(shù),

所以6=1,貝！|z=a+i,

gr-［、jz-3ia—2i2—2a+(a+4)i

?-2-i--2-i-5，

因?yàn)閡為純虛數(shù)，

-2—1

所以2—2a=0且a+4W0,解得。=1,

所以z=1+i.

(2)由(1)知，21=^^=坦=二+^i,

177i+i2°23m-im2+lm2+l

Z1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(晶,黑)，又已知Z1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

<2^-<0

所以4臂產(chǎn)，解得—1V6V1，即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(—1,1).

^->0

\m2+l

4.(2023下?河南焦作?高二?？茧A段練習(xí))設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z,滿足怙|=同，且復(fù)數(shù)(l+2i)z在復(fù)

平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若，+署(mER)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)血的值.

【解題思路】(1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模長(zhǎng)公式及幾何意義計(jì)算即可；

(2)利用共輾復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)2=。+歷，a,bER,a>0,由題意：a24-h2=10?

計(jì)算(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=a—2b+(2a+Z))i,得a—2b=2a+b②

①②聯(lián)立，解得a=3,b=一1得z=3-i.

(2)2+吧=3+1+^^=3+=+(1-吧?,

所以3+等=0且1—等KO,解得爪=—5.

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根的問(wèn)題

1.(2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若復(fù)數(shù)3-i為方程a/+bx+1=0(a,bGR)的一個(gè)根，則該方程的另

一個(gè)復(fù)數(shù)根是()

A.3+iB.-3—iC.-i+3D.-3+i

【解題思路】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軌復(fù)數(shù)求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閮筛楣草殢?fù)數(shù)，所以另一根為3+i.

故選：A.

2.(2023下?河北保定?高一校聯(lián)考期中)已知zn,幾為實(shí)數(shù)，2+i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于％的方程/一+幾=

。的一個(gè)根，則771+71=()

A.9B.7C.5D.4

【解題思路】根據(jù)虛根成對(duì)原理可得2-i是關(guān)于％的方程%2一加工+幾=0的另一個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出

m、n,即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?+i是關(guān)于%的方程%2-血％+n=o(m>九為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，

則2—i是關(guān)于％的方程/—mx+n=0的另一個(gè)根,

(zn=2—i+2+i=4即｛:二:，則m+n=9.

卜=(2-i)x(2+i)=5

故選：A.

3.(2023上?江西新余?高二?？奸_學(xué)考試)已知關(guān)于x的方程式2—ax+ab=0,其中a,。為實(shí)數(shù).

(1)設(shè)久=1一百i(i是虛數(shù)單位)是方程的根，求a,6的值；

(2)證明：當(dāng)2〉；，且a〉0時(shí)，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

a4

【解題思路】(1)根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的性質(zhì)即可求解;

(2)根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷.

【解答過(guò)程】(1)l-V^i是方程的根，+也是方程的根，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得1一8i+1+V5i=a,

W(1-V3i)(l+V3i)=ab,解得a=2,6=2；

(2)———=—~~—>0,/.4a(4b—a)>0,即4a6—a?>0,

a4a44a

—a2-4ab<0,...原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

4.(2023下?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末)關(guān)于x的一元二次方程比2+(a+1)%+4=0(aeR)有兩個(gè)根/，右，

其中%]=1+V3i.

⑴求a的值；

(2)設(shè)的中2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4B,求線段A3的長(zhǎng)度.

【解題思路】(1)根據(jù)題意可得復(fù)數(shù)右,物互為共輾復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可求出a；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出4B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.

(解答過(guò)程】(1)因?yàn)殛P(guān)于尤的一元二次方程/+(a+l)x+4=0有兩個(gè)復(fù)數(shù)根右,X2,

所以復(fù)數(shù)X1，犯互為共軌復(fù)數(shù)，

則?=1-V3i,

所以X1+小=2=—(a+1),解得a—3；

(2)因?yàn)樯?刀2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B,

所以2(1,百),8(1,一百)，

所以線段AB的長(zhǎng)度為2百.

三角表示下復(fù)數(shù)的乘方與開方

1.(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))棣莫弗公式(cos%+isin%)71=cosTi%+isinn%(i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)

數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，已知復(fù)數(shù)3=cosg+i-sing,則34的值是

()

1—

A.-60B.-C.(JL)D.co

(JL)

【解題思路】利用棣莫弗公式及三角函數(shù)的特殊值，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.

【解答過(guò)程】依題意知，3=cosg+i-sing=-、爭(zhēng)，

由棣莫弗公式，得3。=(cosy+i-siny)4=cosy+i-siny=cos(3n—+i-sin(3TT-；)=—cos^+

所以34=3.

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))若3=—1+/i,貝Jl+3+32+a)3=()

A.1B.V3iC.-1D.-V3i

【解題思路】首先用三角形式表示復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方運(yùn)算求得0)3=1,0)12=-1-^i,再

求出目標(biāo)式的值.

【解答過(guò)程】由3=-1+爭(zhēng)=cos詈+ising,

所以但3=cos27r+isin27r=1,a)2=cos—+isin—=———i,

3322

綜上，l+a)+to2+a)3=2--+—i—-——i=1.

2222

故選：A.

3.(2023?湖北恩施?校考模擬預(yù)測(cè))任意一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷都可以表示成三角形式，即a+歷=

r(cos0+isin0).棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=

r1(_cos31+isin%),z2=々(cos"+isin")，則z"?=r1r2[cos(01+02)+isin(6i+4)]，已知復(fù)數(shù)z=|+

yi,貝！Jz2023+z2+5=()

1y.1,V3.1V3,TA1

AA.-B.-H——iC.-----1D.1

22222

【解題思路】將Z=1+'i化為三角形式，根據(jù)棣莫弗定理可求得Z2023*2的值，即可求得答案.

【解答過(guò)程】由題意可得z=,+^i=cosg+isin%

故22023-cos20|3TT20|3n_cos(674ll+])+isin(6741T+；)=COS]+isinp

所以z20234-z2+z=cos-+isin-+cos—+isin—+cos--isin-

333333

1.V3.

=-H——i.

22

故選：B.

4.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))設(shè)Zi=g+i,z2=1—i,z3=sin—+icos—,求等鄉(xiāng)的值.

1212K,Zg

【解題思路】將Z1*2化為三角形式，利用復(fù)數(shù)三角形式的乘除法、乘方運(yùn)算直接求解即可.

[解答過(guò)程]vz±=V3+i=2(cos(+isin/),z2=1—i=V2(cos?+isin多,

Zi-zf_2(cos*isi吟).2注(cos竿+isin管)_4網(wǎng)cos鬻+isin翳)

4夜(cos+isin等)=4應(yīng)(-cosg-

i9%-i(sin^-icos^)-cos"+isi哈

isinj)=-2V2-2V6i.

復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用。|

1.(2023.高一課時(shí)練習(xí))將復(fù)數(shù)1+Bi對(duì)應(yīng)的向量赤繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的向量為西，

那么兩對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

A.V3-iB.V3+iC.-V3-iD.-V3+i

【解題思路】先將復(fù)數(shù)1+Bi寫成三角形式，再根據(jù)三角形式的運(yùn)算法則求解即可.

【解答過(guò)程】復(fù)數(shù)1+的三角形式是2(cos=+ising),向量函對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

兀[..=2cos--+isin一/=百一i

cos-2+isma200

故選：A.

2.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)zi=-1-i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量西，將西按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)：兀后

得到向量?jī)桑顑蓪?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2的輻角主值為氏則tan8=()

A.2-V3B.-2+V3C.2+V3D.-2-V3

【解題思路】將給定的復(fù)數(shù)化成三角形式，再利用復(fù)數(shù)乘法的三角形式求出Z2的輻角主值，即可計(jì)算作答.

【解答過(guò)程】復(fù)數(shù)Z1=V2[cos(y)+isin(^)],因西按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)17T后得到向量?jī)桑?/p>

依題意，z2=Z][cos(-磬)+isin(—詈)]=V2(cos^)+isin^)[cos(—+isin(一等)=V2(cos||+

..5兀、

ism—),

nnV3

因此復(fù)數(shù)Z2的輻角主值。=居，所以tan。=tan(^+?)=彳：柒黑=二謁=2+V3.

641-T23

故選：C.

3.(2023下?全國(guó)?高一專題練習(xí))把復(fù)數(shù)zi與Z2對(duì)應(yīng)的向量次，癰分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，口岸后，與向

量的重合且模相等，已知Z2=-1-Wi,求復(fù)數(shù)Zi的代數(shù)式和它的輻角主值.

【解題思路】根據(jù)題意列出等式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得4(cosj+isinj)=z2(cosy+isiny),

又Z2——1—V3i=2(cos苧+isin怎

_2(COS等+isin等).(cos詈+isin等)_r%(可_r~五

Zi-----------ri----Ji--------zcosIOTT---j十tsinIJ7T---i——v/十

cos-4-tsin-L\4/\4/J

z1的輻角主值為號(hào).

4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是遮+i,向量就繞著點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)120。得到向量赤.

⑴求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)zo；

(2)已知點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-zol=1,且(而，瓦)=120。，求復(fù)數(shù)z.

【解題思路】(1)利用復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意，由向量CB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)Z[=Zo?[[cos(-120。)+isin(-120。)]或z[=z0?|(cosl20°+

isinl20°)求解.

【解答過(guò)程】(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是W+i,向量就繞著點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。，

所以Zo=(V3+i)-(COS1200+isinl200)=-V3+i；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-zol=1,S.(CB,OC)=120°,

所以向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)zi=zo?|[cos(-120°)+isin(-120°)]=y+|i,

或Z]=z0'|(cosl20°+isinl20°)=-i,

：.OB=OC+CB=(-號(hào),|)或礪=瓦+而=(-V3,0),

.,.z=——+-i或z=—V3.

22

復(fù)數(shù)綜合—

1.(2022下?遼寧?高一校聯(lián)考期末)數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式9”=

cosx+isinx,(其中i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，%eR),這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的地位,

被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.e17T—1=0B.2cosx=e-ix+eixC.2sinx=eix—e-ixD.。+-y02022=—1

【解題思路】根據(jù)已知條件的公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算后即可求解.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,ei7T=cosir+isinn=—1,所以e，"—1=—1—1=—2,故A不正確；

對(duì)于B,e1%=cosx+isinx,e-1%=cos(—%)4-isin(—%)=cosx—isinx,

所以e-比+eix=2cosx,故B正確；

對(duì)于C,e1^=cosx+isinx,e-1%=cos(—x)+isin(—x)=cosx—isinx,

所以e'%—e-ix=2isinx,故C不正確；

對(duì)于D,(日+爭(zhēng)產(chǎn)22_(cos：+isin^)2022=(e?)2022=cos型箸+isin型,

=-cos--isin-=—i,故D不正確.

22

故選：B.

2.(2023上?上海黃浦?高三統(tǒng)考期末)已知復(fù)數(shù)2=￡1+歷(a、bER,i是虛數(shù)單位)，zi，z2eC,定

義:。⑵=||z||=|a|+\b\,D(Z1(Z2)=||zi-z2||.給出下列命題：

①對(duì)任意zee,都有D(z)>0；

②若2是復(fù)數(shù)Z的共朝復(fù)數(shù)，貝切(2)=D(z)恒成立；

③若。(zj=D(Z2)(Z]、Z26C),則Zi=z2；

④對(duì)任意Z]、Z2>Z3eC,結(jié)論D(Z],Z3)WD(Z1，Z2)+O(Z2，Z3)恒成立.

則其中真命題是().

A.①②③④；B.②③④；C.②④;D.②③.

【解題思路】代特殊值判斷①；根據(jù)題中所給定義，逐一分析②③④，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可得答案.

【解答過(guò)程】對(duì)于①：由定義知，當(dāng)z=0時(shí)，D(z)=0,故①錯(cuò)誤

對(duì)于②：由題意得2=a-歷，所以D(f)=D(z)=|a|+|b|,故②正確；

對(duì)于③：設(shè)Z]=a+bi,z2=c+di,O(zJ=||z/|=|a|+\b\,D(z2)=||z2ll=kl+\d\

若口⑵戶口⑵)。？")，則|a|+|b|=|c|+|d|,不能推出｛；]；，無(wú)法得到Z]=Z2，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：設(shè)Z]=a+歷42=c+di,Z3=e+/i,

則￡>(Z],Z2)=11(a—c)+(Z?-d)i||=\a-c\+\b-d\,

同理/zi?)=||(a-e)+(b-f)i||=\a-e\+\b-f\,￡>(z2,z3)=||(c-e)+(d-/)i||=|c-e|+

\d-f\,

又|a-e|=|(a-c)+(c—e)|<\CL—c\+|c-e|,\b-f\—|(b—d)+(d—/)|<\b-d\+\d~f\f

所以O(shè)(Z1，Z3)<D(znz2)+O(Z2，Z3)恒成立，故④正確.

故選：C.

3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知：對(duì)于任意的多項(xiàng)式/(%)與任意復(fù)數(shù)z,/(z)=0Q%-z整除/(%).利用

上述定理解決下列問(wèn)題：

⑴在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：%2+%+1;

(2)若％2+x+1=0,求X21+X22+%23的值；

(3)求所有滿足％2+%+1整除/九十%九+1的正整數(shù)〃構(gòu)成的集合A.

【解題思路】(1)令/+x+1=0求得復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根為一：士fi,即可因式分解；(2)根據(jù)/+

x+1=。求出復(fù)數(shù)根，找到根的次方的規(guī)律性變化的特點(diǎn)即可求解；(3)分n=3k,n=3k+l,n=3k+

2,k6N三種情況討論求解.

【解答過(guò)程】(1)令/+%+1=0解得兩個(gè)根3,,

oq1,V3.21V3.

這里3=---

21----2--b3=-----2--------2--1,

所以/4-X+1=(X+|-yi)(x+1+yi).

(2)由(1)知》2+%+1=0解得兩個(gè)根K]=一"爭(zhēng)，x2=-j-yi,

1

1.V3.2V3.3141,V3.

=-2=―+丁，…，

所以％J1=第J=1,同理工尹=以=1,

所以/I+%22+X23=%21(%2+X+1)=0.

(3)記f(%)=/乃+%九+1,/+%+1=0有兩個(gè)根口川2,這里3=一1+/i,

0)3=1,

當(dāng)九=3k+l,kEN時(shí)，

f(3)=a)2n+a)n+1=0,/(0)2)=a)4n+a)2n+1=3?+3+1=0,

故在這種情形有/+%+1整除％2九+%九+1,

當(dāng)