2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中的最值問(wèn)題》專項(xiàng)測(cè)試卷（附答案）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，是：。的直徑，點(diǎn)C、。是。上的點(diǎn)，且8〃%,AC分別與班）、OD相交

⑴求證：點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)；

⑵若。的半徑為5,4XM=80。，點(diǎn)尸是線段上任意一點(diǎn)，試求出PC+PD的最小值.

2.如圖，在Rt.Q鉆中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑畫圓，過(guò)點(diǎn)A作

。的一條切線”，切點(diǎn)為尸，連接。乙將。尸繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到時(shí)，連接

AH,BH,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為C（0。＜以＜360。）.

（1）當(dāng)弧PH的長(zhǎng)為3時(shí)，求a的度數(shù)，并求出此時(shí)線段0尸掃過(guò)的面積；

（2汝口圖，當(dāng)”=90。時(shí)，求證：BH是＜。的切線；

⑶直接寫出入海的最大值與最小值的差.

3.如圖1所示，等邊三角形A3C內(nèi)接于圓。，點(diǎn)尸是劣弧上任意一點(diǎn)（不與C重合）,

連接引、PB、PC,求證：PB+PC=PA.

【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將△APC與點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AQB,使點(diǎn)C與點(diǎn)3重

合，可得「、B、Q三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示,

解答下列問(wèn)題：

（1）根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明.

（2）若圓的半徑為8,則PB+PC的最大值為.

【類比遷移】如圖2所示，等腰RCMC內(nèi)接于圓。，44C=9O。，點(diǎn)尸是弧8C上任一點(diǎn)

（不與8、C重合），連接尸A、PB、PC,若圓的半徑為8,試求△P3C周長(zhǎng)的最大值.

【拓展延伸】如圖3所示，等腰RCMC,點(diǎn)A、3在圓。上，ABAC=90°,圓。的半徑為

8,連接OC,則OC的最小值為（直接寫答案）.

4.如圖，。為等邊VABC的外接圓，半徑為6,點(diǎn)。在劣弧A8上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,3重

合），連接DA,DB,DC.

⑴求證：DC是4D3的平分線；

（2）四邊形AD2C的面積S是線段DC的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)"，N分別在線段C4,CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一

個(gè)確定的位置，M的周長(zhǎng)有最小值/,隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，f的值會(huì)發(fā)生變化，求所有f

值中的最大值；

5.問(wèn)題提出

(1)如圖①，線段在0A=4,02=2,將。8繞點(diǎn)0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360。，A3的最大值是

最小值是_；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，已知在3PC中，BP=2,BC=4,在BC上取一點(diǎn)。，當(dāng)8D的長(zhǎng)為多少時(shí)，

PD=pC,說(shuō)明理由.

問(wèn)題應(yīng)用

(3)如圖③，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓5的半徑為2,點(diǎn)尸是圓5上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，求如+i，的最小值.

4_________D

①②③

6.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,—l),以"(TO)為圓心，以AW為半徑的圓

交y軸于點(diǎn)8,連結(jié)并延長(zhǎng)交M于點(diǎn)c,動(dòng)點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)為g的線段PQ〃x

軸(點(diǎn)Q在點(diǎn)尸右側(cè))，連接AQ.

44?

圖I圖2缶用圖

(1)求M的半徑長(zhǎng)和點(diǎn)3的坐標(biāo)：

(2)如圖2,連接AC,交線段尸。于點(diǎn)N,

①求AC所在直線的解析式：

②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

③點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出版的最小值和最大值.

7.已知。的半徑為5,匹是長(zhǎng)為8的弦，OGLE歹于點(diǎn)G,點(diǎn)A在GO的延長(zhǎng)線上，且

AO=13.弦跖從圖1的位置開始繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持0GJ_E5,

(1)AG的最小值是,最大值是.

(2)當(dāng)麻〃AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角.

［探究］若環(huán)繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，如圖3,求AG的長(zhǎng).

［拓展］如圖4,當(dāng)AE切。于點(diǎn)E,AG交EO于點(diǎn)C,G//LAE于H.

(1)求AE的長(zhǎng).

(2)止匕時(shí)E"=,EC=.

8.如圖，在RtOAB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以點(diǎn)。為圓心、2為半徑畫圓，點(diǎn)。是

。上任意一點(diǎn)，連接BC，0C.將OC繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，交。于點(diǎn)。，連接

AD.

⑴當(dāng)AD與。相切時(shí)，

①求證：BC是:。的切線；

②求點(diǎn)。到的距離.

(2)直接寫出%1cB的最大值與最小值的差.

9.如圖1,VASC內(nèi)接于。，點(diǎn)E為VABC的內(nèi)心，連接AE并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)O,交BC于

⑴若ZD3C=35。，求ZBAC的度數(shù).

(2)如圖2,連接旗，若AE=3,跖=2,求8D的長(zhǎng).

(3)如圖3,連接OE,若。的半徑為4,弦BC=4下,設(shè)OE=x,AE=y,求y與X之間的函

數(shù)關(guān)系式及y的最大值.

10.已知：矩形AOCD的邊A。長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸在射線OC上，過(guò)點(diǎn)0、尸的8與OP相切于

點(diǎn)、P.

圖I圖2備用圖

(1)如圖1,若點(diǎn)5在對(duì)角線上，且N8P=30。，則OC的長(zhǎng)度是

(2)如圖2,以。為原點(diǎn)，"為工軸建立平面直角坐標(biāo)系，C(6,0),設(shè)OP=〃，

①求點(diǎn)5坐標(biāo)(用含〃的代數(shù)式表示).

②連接第，設(shè)“=制鬻隗且。＜"6,當(dāng)"取最大值時(shí)，作CELOD于E交PD于F,PB與

8交于G,求喘的值.

rr

11.如圖，。的內(nèi)接三角形ABC中，AB=AC,AGBC,AB±AE,點(diǎn)。在圓上運(yùn)動(dòng).

⑴求證：AG為。的切線；

⑵若三角形"C是等邊三角形時(shí)，AB=2,求3DC。的最大值；

(3)如圖，連接AD,BD,當(dāng)ZZME=Zn4C,ZABD=45。，tan/CDB=g時(shí)，設(shè)此時(shí)△CD3的面積

為E,VADE的面積為S2,求興的值.

12.如圖1所示，A、B、。、。四點(diǎn)在，。上逆時(shí)針順序分布，且滿足A8=AO.

圖1圖2

⑴求證：點(diǎn)4到NC兩邊的距離相等；

(2)如圖2,已知m與AC相交于點(diǎn)E,BD為。的直徑.若NCBD=30。，AD=3五,求AE的

長(zhǎng).

⑶已知ZA>NC,9與AC相交于點(diǎn)E,直線血與直線8相交于圓外一點(diǎn)G,若線段AD為

AD

4"”+1卜小+而

△G4C的一條高，試求:的最小值.

,253x/256EC

-2025

VAE

13.如圖甲，A3是。的直徑，點(diǎn)尸在。上，且尸4=尸氏點(diǎn)M是(。外一點(diǎn)，MB與。

相切于點(diǎn)5,連接。加，過(guò)點(diǎn)A作AC〃?！苯?。于點(diǎn)。，連接BC交于點(diǎn)D.

(1)求證：MC是。的切線；

(2)若OD=9,DM=16,求tan/CMO的值；

⑶如圖乙，在(2)的條件下，延長(zhǎng)02至N,使=g，在,。上找一點(diǎn)0,使得NQ+^MQ

的值最小，請(qǐng)求出其最小值.

14.如圖1,四邊形A2CZ)內(nèi)接于O,m為直徑，AD上存在點(diǎn)石，滿足AE=CD,連結(jié)砥

并延長(zhǎng)交8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，BE與AD交于點(diǎn)G.連接CE,CE=BG.

圖I圖2

(1)求證：EF=DG.

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CG,32.

①若tanNAOB=#，求PGD的周長(zhǎng).

②求CG的最小值.

15.已知：VABC中，AB=BC=6,。是VABC的外接圓.

(1)如圖1,若NABC=60。，求證：AC=AB;

(2)如圖2,若乙甌=60。,。為在A8上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3作直線AD的垂線，垂足為E.求證:

CD=DE+AE；

(3)如圖3,若ZABC=120。，過(guò)點(diǎn)3作BhBC交AC于點(diǎn)乙點(diǎn)。是線段A3上一動(dòng)點(diǎn)(不與4臺(tái)

重合)，連接廠。，求%+2尸Q的最小值.

參考答案

1.⑴見解析

(2)56

【分析】(1)利用圓周角定理得到4cB=90。，再證明8，AC,然后根據(jù)垂徑定理得到

點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD交4?于點(diǎn)P,連接OC,。。，利用兩點(diǎn)之間線

段最短得到此時(shí)PC+PD的值最小，再計(jì)算出4>OC=120。，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)”，然

后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出從而得到PC+PD

的最小值.

【詳解】（1）證明：丁科是,;。的直徑，

ZACB=90°,

OD//BC,

：.ZOFA=ZACB=90°,gp：OFLAC,

AD=CD,即點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)；

（2）解：作點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD交AB于點(diǎn)P,連接0C0C,

,/PC=PC,

：.PC+PD=PC+PD=CD,止匕時(shí)，尸C+PD的值最小，

AD=CD,

ZDOC=ADOA=80°,

ZBOC=20°,ZDOB^100°,

J.點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)是C,

I.ZC'OB=ZBOC=20°,

ZDOC=120°,

過(guò)點(diǎn)。作，C'D于點(diǎn)”，則NODH=30°,CH=DH,

在RtOHD中，OH=goD=g,DH=y/3OH=^,

DC=2DH=5A/3,

即：PC+PD的值最小為5G.

【點(diǎn)睛】本題是圓與三角形的綜合題，考查了圓周角定理、垂徑定理、軸對(duì)稱最短路

徑問(wèn)題、含30度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)

找出點(diǎn)尸位置是解題的關(guān)鍵.

2.(1)210°；/

(2)證明見解析

⑶8近

【分析】(1)由弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式代值求解即可得到答案；

(2)由越是(。的切線，可得/。%=90。，證明AOP^,BOH(SAS),則NOHB=NOB4=90。，

即(汨，進(jìn)而結(jié)論得證；

(3)由勾股定理得，ABN0A+0B2=4逝,如圖3,過(guò)。作此應(yīng)一以交圓于華、心,如

圖所示，根據(jù)的最大值與最小值的差為q應(yīng)，計(jì)算求解即可.

【詳解】⑴解：。的半徑是2,弧P"的長(zhǎng)為不，

a7

:.—X2TIX2=-TI,解得。=210。；

3603

，線段。尸掃過(guò)的面積=券皿22=>；

3603

(2)證明：???初是。的切線，

/.ZOPA=90°,

Va=90°,ZAOB=90°,

ZPOH-ZAOH=ZAOB-ZAOH,艮|JZAOP=ZBOH,

在AOP和30”中，

OP=OH

<ZAOP=/BOH

OA=OB

AOP空BOH(SAS),

/.ZOHB=ZOPA=90°,HPOH±BH,

?.?OH是半徑，

是。的切線；

（3）解：由勾股定理得，ABNOA+OB。=40,

過(guò)。作H戶2，相，交圓于凡、區(qū)，如圖所示：

??S^AHB的最大值與最小值的差為SAB%-SAEH}=—ABHlH2=-X4A/2X4=8A/2,

：?SAAHB的最大值與最小值的差為8應(yīng).

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，等知識(shí).熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.初步探索：（1）證明見解析；（2）16;類比遷移：160+16;拓展延伸：8&-8

【分析】初步探索：（1）由旋轉(zhuǎn)得AQ=",QB=PC,ZABQ=ZACP,則

ZABQ+ZABP=ZACP+ZABP=180°,所以尸、B、。三點(diǎn)在同一條直線上，再證明△轉(zhuǎn)。是等

邊三角形，貝lj尸3+PC=P3+QB=PQ=R4；

（2）當(dāng)PA是：。的直徑時(shí)，PA=16,此時(shí)PA的值最大，所以PB+PC的最大值是16;

類比遷移：先由NBAC=90。證明BC是：。的直徑，且圓心。在BC上，則OB=OC=8,5c=16,

再證明P、B、。三點(diǎn)在同一條直線上，則尸8+PC=PB+Q8=尸。=五尸4,當(dāng)PA是。的直徑

時(shí)，PA=16,此時(shí)以的值最大，則尸8+PC=160,即可求得PBC周長(zhǎng)的最大值是160+16;

拓展延伸：連接。A,將線段A。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。到AE,連接。E,先求得OE=8&,

再連接EC、OB,證明EACAOAB,得EC=O3=8,所以O(shè)C+828應(yīng)，則OC28應(yīng)-8,所以

OC的最小值為8亞-8.

【詳解】解：初步探索：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得AQ=AP,QB=PC,ZQ=ZAPC,ZABQ^ZACP,

,ZACP+ZABP=180°,

/.ZABQ+ZABP=180。，

，P、B、。三點(diǎn)在同一條直線上，

PB+PC=PB+QB=PQ,

MC是等邊三角形，

ZAPC=ZABC=ZAPB=ZACB=60°,

：.ZQ=60°,

.?.△4PQ是等邊三角形，

：.PQ=PA,

:.PB+PC=PA-

(2)機(jī)是〔。的弦，且。的半徑為8,

，當(dāng)PA經(jīng)過(guò)圓心。，即PA是＜。的直徑時(shí)，此時(shí)PA的值最大，最大值為16,

.?.PB+PC的最大值是16,

故答案為：16.

類比遷移：如圖2,AB=AC,ABAC=90°,

二3。是。的直徑，且圓心。在2C上,

圖2

/.OB=OC=8,BC=16,

將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到.AQ3,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，則QA=PA,QB=PC,ZABQ=ZACP,

ZACP+ZABP=180°,

AABQ+ZABP=180°,

，P、B、。三點(diǎn)在同一條直線上，

ZPAQ=90°,

PB+PC=PB+QB=PQ=JPN+QA2=J2PA2=0PA,

當(dāng)PA經(jīng)過(guò)圓心。，即PA是。。的直徑時(shí)，此時(shí)PA的值最大，最大值為16,

.?.PB+PC的最大值為16應(yīng)，

.?.M+PC+BC的最大值為160+16,

.?.△PBC周長(zhǎng)的最大值是I6a+16.

拓展延伸：如圖3,連接以，將線段4。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AE,連接OE,

EA=OA=8,ZOAE=90°,

:.OE=^O^+E^=782+82=8A/2,

連接￡C、OB,

NBA。=90。,

.\ZEAC=ZOAB=90°-ZOAC,

AC=AB,

E4c咨OAB(SAS),

,\EC=OB=S,

OC+EC>OE,

.■.OC+8>8A/2,

:.OC>8y/2-S,

.：0C的最小值為8忘-8.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，正確地作出所需

要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.⑴見解析

（2）是，s=。

⑶12班

【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)

等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得NA3C=N3AC=ZACB=6O。，圓周角定理可得ZADC=N3r>C=60。,

可得結(jié)論；

（2）將AAPC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△3HC,可證DC段是等邊三角形，可得四邊

2

形ADBC的面積S=SADC+SBDC=SCDH=^CD,即可求解；

（3）作點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F,由軸對(duì)稱的性

質(zhì)可得=DN=NF,可得DMN^j^^z=DM+DN+MN=FN+EM+MN,則當(dāng)點(diǎn)石，點(diǎn)

點(diǎn)M點(diǎn)尸四點(diǎn)共線時(shí)，刖的周長(zhǎng)有最小值，即最小值為所"，由軸對(duì)稱的性

質(zhì)可求CD=CE=CF,NECF=120。,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求

EF=2PE=6EC=6CD=t,則當(dāng)。為直徑時(shí)，才有最大值為12君.

【詳解】（1）證明：.?"ABC是等邊三角形，

??ZABC=ABAC=ZACB=60°,

ZADC=ZABC=60°,NBDC=ABAC=60°,

JZADC=NBDC,

.二。。是一AD5的平分線；.

(2)解：四邊形AD3c的面積S是線段DC的長(zhǎng)％的函數(shù)；理由如下:

如圖1,將AADC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△3"C,

H

圖1

:.CD=CH,/DAC=/HBC,

丁四邊形ACS。是圓內(nèi)接四邊形,

/.ZZMC+ZDBC=180°,

/.ZDBC+ZHBC=180°,

???點(diǎn)。，點(diǎn)8點(diǎn)”三點(diǎn)共線，

VDC=CH,NCD"=60。，

是等邊三角形，

...四邊形ADBC的面積S=sADC+SBDC=SCDH=；CD.與CD=與CD°，

.?.sQ=612；

(3)解：如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線sc的對(duì)稱點(diǎn)尸,

1/

F

圖2

..?點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱，

EM=DM,

同理。N=沖，

DMN=DM+DN+MN=FN+EM+MN,

???當(dāng)E,M,N,尸四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，

則連接所，交AC于V,交BC于N,連接CECF,DE,DF,作CP_L砂于P,

DMN的周長(zhǎng)最小值為EF=t,

..?點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱，

JCE=CD,ZACE=ZACD,

???點(diǎn)。，點(diǎn)/關(guān)于直線8C對(duì)稱，

CF=CD,NDCB=NFCB,

：.CD=CE=CF,NECF=ZACE+ZACD+ZDCB+ZFCB=2ZACB=120(

VCP1EF,CE=CF,ZECF=120°,

；.EP=PF,NCEP=30°,

PC=-EC,PE=4ipc=—EC,

22

/.EF=2PE=V3￡C=辰D=t,

???當(dāng)O有最大值時(shí)，所有最大值，即才有最大值,

?：CD為。的弦，

.?.CD為直徑時(shí)，CD有最大值12,

??"的最大值為12石.

5.(1)6,2；(2)當(dāng)即的長(zhǎng)為1時(shí)，PD二PC,理由見解析；(3)5

【分析】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

(1)當(dāng)A,。，3三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段0A的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)B在線段以上時(shí)，即可

得到結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)到了即可得到結(jié)論；

(3)如圖，在上取一點(diǎn)G,使得3G=1.由△尸叱必謝，推出票=案=：,推出PG="c,

JLJLJLJ乙乙

推出如+：PC=DP+PG,^DP+PG>DG,當(dāng)。、G、尸共線時(shí)，PQ+'c的值最小，最小值

為DG=5.

【詳解】解：(1)當(dāng)A,。，8三點(diǎn)共線，且點(diǎn)8在線段0A的延長(zhǎng)線上時(shí)，"的最大值

OA+OB=6,

當(dāng)A,。，3三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段。1上時(shí)，秒的最小值是04-08=2,

故答案為：6,2;

(2)當(dāng)即的長(zhǎng)為1時(shí)，PD=^PC,理由如下：

QPB=2,BC=4,BD=\,

:.PB2=4,BDBC=4,

PB-=BD-BC,

.BDBP\

"Bp-BCr'

又NB=NB,

BPD^BCP,

?PDBD_1

"PC~BP

:.PD=-PC-

2，

(3)如圖，在8c上取一點(diǎn)G,使得BG=1,連接尸3,PG,DG,

、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

1?AB=BC=CD=4,

/.CG=BC—BG=3,

?*.DG=dDC2+CG=5,

-P--B-=—2=2c,BC——4=2c,

BG1PB2

PBBC

——=—,ZPBG=ZPBC,

BGPB

/.APBG^ACBP,

?PG_BG

'~PC~~PB~2'

PG=-PC,

2

:.PD+-PC=DP+PG,

2

DP+PGNDG,

..當(dāng)D、G、尸共線時(shí)，PQ+；PC的值最小，

最小值為。G=5.

6.(1)半徑為瓦，8(0,3)

⑵①尸夫一2；②點(diǎn)Q坐標(biāo)為-3；③AQ的最小值為半，最大值為冬

【分析】(1)如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AEU軸，分別在RtAAEM和RtABO暇中利用勾股定理

即可解決問(wèn)題.

(2)①設(shè)解析式為設(shè)以「也+%利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.②可求為C=3X+3,設(shè)

點(diǎn)尸(x,3x+3).由題意得點(diǎn)N為k+：,3x+3j,因?yàn)辄c(diǎn)N落在AC上，所以3x+3=*+}-2,列方

程即可解決問(wèn)題.③當(dāng)點(diǎn)尸與C重合時(shí)，。，廠3],此時(shí)AQ=g,過(guò)點(diǎn)。平行BC的直線的

解析式為y=3尤-"I，過(guò)點(diǎn)A垂直BC的直線的解析式為y=-$T，與直線y=3尤-：的交點(diǎn)為

Q,,此時(shí)A。'最小，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)3重合時(shí)，?！保劢?，此時(shí)段=J（2-y+（T-3）J半,由此即

可判斷AQ的最大值.

【詳解】（I）解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作軸，

貝(jAE=l,ME=3,

AM=V32+I2=Vio,即半徑為亞,

所以

OM=\,

OB=4BM2-OM-=3,即點(diǎn)8(0,3).

(2)解:如圖2中，

①設(shè)解析式為設(shè)%c=入+6,

由題意得點(diǎn)c與點(diǎn)3關(guān)于點(diǎn)〃成中心對(duì)稱,

設(shè)”與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)K,連接CK,

TBC是直徑，

/.ZBKC=90°,

*/BM=CM,BO=OK=3,

1?OM是5CK的中位線,

CK=2OM=2,

占

八、、C、(-2,-3z)7,

又點(diǎn)A（2，T）,

2k+b=-l

代入得:

-2k+b=-3

解得A=；,b=-2,

%c=/%_2，

②設(shè)為c=A+偽，代入得:

-2k+b=-3

b=3

k=3

解得:

b=3'

/.yBC=3X+3,

設(shè)點(diǎn)尸（x,3x+3）.

,:PN=QN=:PQ=（,PQ〃x軸，

.?.點(diǎn)N為,+：3x+3）,點(diǎn)Q（x+j3x+3j,

點(diǎn)N落在AC上，所以3x+3=g[+；]-2

解得--：，

所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為.

③如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)p與c重合時(shí)，此時(shí)AQ=J(2.;：+(-1+3)2=］設(shè)過(guò)點(diǎn)。平行BC的直線的解

析式為y=3x+。，

把點(diǎn)叫「3］代入得：6=-|,

.，.過(guò)點(diǎn)2平行BC的直線的解析式為y=3x-|,

過(guò)點(diǎn)A垂直2c的直線的解析式為〉=-++加，則把點(diǎn)A(2,-1)代入得：rn=-1,

?二過(guò)點(diǎn)A垂直BC的直線的解析式為

與直線y=3x-|的交點(diǎn)為。'，此時(shí)A。‘最小(垂線段最短)，

由393,解得4

3

y=3x-5y=一

4

■■A。的最小值為*：+卜+|：=乎.

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，。"］川，此時(shí)4。=/2。+(-1-3)2=乎,

???碩最大值為孚.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、待定系數(shù)法、垂線段最短

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組

求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題.

___1o

7.［發(fā)現(xiàn)］(1)10;16;(2)90?；?70。；［探究］AG=^139；［拓展］(1)隹=12,(2)y,

8

3

【分析】［發(fā)現(xiàn)］（1）連接山，AG,由垂徑定理可得EG=4,由勾股定理可得OG=JOE?-EG?=3,

再由OA-OGVAGVOA+OG,可知當(dāng)點(diǎn)O在線段AG上時(shí)，AG有最大值13+3=16,當(dāng)點(diǎn)G在

線段。1上時(shí)，AG有最小值13-3=10；

（2）證明OGLOA,可得當(dāng)跖在04上方時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為90。，當(dāng)斯在OA下方時(shí)，旋轉(zhuǎn)角

度為270。；

［探究］如圖，過(guò)點(diǎn)G作GQLOA于Q,求出NGOQ=60。，則NOGQ=30。，進(jìn)而得到

。。=1，GQ=￥，再求出4。==,則由勾股定理得AG={AQ。+GO=呵;

［拓展］（1）由切線的性質(zhì)可得N。陰=90。，則由勾股定理可得AE=JOA?-法=12;

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GPLOE于尸，證明四邊形5WGP是矩形，得至t］〃G=EP,EH=PG,證

明OGEsOPG,得到之=；=白，由止匕求出。尸T，PG==貝ijE"辭，〃G=PE=［,再證

UrJrLrJJJJ

12_CE

=

明AECsAHG得到p+1216,則CE=|.

~55

【詳解】解：［發(fā)現(xiàn)］（1）如圖所示，連接第前，

,/OG1EF,EF=8,

EG=-EF=4,

2

,/。的半徑為5,

/.OE=5,

?*.OG=^OE1-EG2=3,

,/OA-OG<AG<OA+OG,

J當(dāng)點(diǎn)。在線段AG上時(shí)，AG有最大值13+3=16,當(dāng)點(diǎn)G在線段OA上時(shí)，AG有最小值

13-3=10,

故答案為：10;16；

/.OG1OA,

，當(dāng)所在0A上方時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為9。。，當(dāng)跖在3下方時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為180。+90。=270。,

故答案為：90?；?70。；

［探究］:如圖，過(guò)點(diǎn)G作GQLOA于Q,

OG=3,

ZOGQ=30°,

■°Q=^GQ=￥，

323

/.AQ=OA-OQ=13--=—

在Rt^AQG中,由勾股定理得AG=JA02+3=底；

［拓展］：(1)切。于E,

/.ZOEA=90°,

在RtZXAEO中,由勾股定理得AE=JOA2—0石2=12;

HGLAE,OE±AE9

，四邊形石"G尸是矩形，

:.HG=EP,EH=PG,

NOGE=ZOPG=90°,ZGOE=ZPOG,

/.OGEsOPG,

.OGOEEG

'^OP~^G~~PG'

.3_5_4

.OP_§一拓，

912

:.OP=~,PG=——,

55

:.EH=—,HG=PE=OE-OP=5--=—

555

OE±AE,HG.LAE,

/.CE//HG,

AECs&AHG

,AE_CE

,麗二麗’

12_CE

55

:.CE=-,

3

故答案為：y,|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求旋轉(zhuǎn)

角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定等等，通過(guò)作出輔

助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.

8.(1)①詳見解析；②百

(2)872

【分析】(1)①由切線的性質(zhì)得加＞。=90。，再證300AoD(SAS),根據(jù)全等三角形對(duì)

應(yīng)角相等，可得N3CO=4DO=90。，即可證明是(。的切線；②過(guò)點(diǎn)。作CELO3,垂足

為E,則CE即為點(diǎn)。到QB的距離，根據(jù)力℃=；8。。。=；。"。?即可求解；

(2)作直線于點(diǎn)H,交。于G和3,當(dāng)點(diǎn)。位于G處時(shí)，S“B取最小值，當(dāng)。

位于G處時(shí)，工研取最大值，則最大值與最小值的差為

【詳解】(1)①證明：?「AD與。相切，

/.ZADO=90°,

*.*ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB-ZAOC=ZCOD-ZAOC,

即ZCOB=ZAOD,

又＜OB=OA,OC=OD,

：.BOC-AQD(SAS).

/.ZBCO=ZADO=90°.

又Yoe是。的半徑，

??.8C是。的切線；

②如圖，過(guò)點(diǎn)。作CELOB,垂足為E,則CE即為點(diǎn)。到。8的距離，

BC=y]OB2-OC2=442—2?=2y/3,

'：sBOC=^BCOC=^OBCE,

即點(diǎn)。到。8的距離為名.

(2)解：RtOAB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,

??AB=y/OA2+OB2=A/42+42=4A/2.

如圖，作直線8,鉆于點(diǎn)”，交。于G和

由題意知，當(dāng)點(diǎn)。位于G處時(shí)，S△皿取最小值，當(dāng)。位于g處時(shí)，工心取最大值，

的最大值與最小值的差二-GH)=；A2CG=；＞＜4&x4=8e.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓到直

線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，找出工皿取最值時(shí)點(diǎn)。的位置.

9.(l)ZB4C=70°

(2)50=6

(3)y=-；/+4,y的最大值4

【分析】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理；

(1)由點(diǎn)E為7ABC的內(nèi)心，可得AE和3E是VABC的角平分線,則ABAD=ACAD,ZABE=ZCBE,

再根據(jù)圓周角定理得到4?C=NMC=35。，即可得至lJ/r?C=4AD=NC4D=35。，最后根據(jù)

NBAC=ZBAD+ZCAD=70°求解；

(2)^ZABE=ZCBE,NDBC=NBAD=NCAD,可得ZDBE=NBED,得至1］如=0段則

DF=DE-EF=BD-2,DA=DE+AE=BD+3,再證明得至［J%=當(dāng)，代入解方程

UrL)D

即可；

(3)連接8交8C于“，連接08,過(guò)。作0N_L"＞于N,先利用垂徑定理求出&D"E=4,

則AD=OE+AE=4+y,再根據(jù)0N_LAO,得至I」AN=DN=：AD=2+；y,OE2-EN2=ON2=OD1-DN2,

代入后整理得到片-：《+4,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)E為VABC的內(nèi)心,

/?AE和砥是VABC的角平分線，

，ZBAD=ZCAD,ZABE=/CBE,

CD=CD,NDBC=35。,

ZDBC=ZDAC=35°,

，ZDBC=ZBAD=ZCAD=35°,

，ABAC=ZBAD-^-ZCAD=70°；

(2)解：VZABE=ZCBE,ZDBC=ZBAD=ZCAD,

，ZDBE=ZDBC+ZCBE=ABAD+ZABE=ABED,

BD=DE,

?/AE=3,EF=2,

/.DF=DE-EF=BD-2,DA=DE+AE=BD+39

NDBC=NBAD,ZBDF=ZBDA,

/\DBF^/\DAB,

?DBDA

??5F-DB?

?DBBD+3

9*BD-2~DB'

解得班》=6；

(3)解：連接OD交BC于"，連接。8,過(guò)。作ONJLAD于N,

D

ZBAD=ZCAD,

??BD=CD,

8垂直平分3C,

/.BM=-BC=2yf3,

2

OB=OD=4,

OM=>JOB2-BM2=卜-僅⑹？=2,

DM=OD-OM=4-2=2,

/.BD=y/DM2+BM2=J2?+(2道『=4,

由(2)得BD=DE=4,

'：AE=y,

/.AD=DE+AE=4+,

ONIAD,

：.AN=DN=^AD=2+^y,?ONE?OND90?,

/.EN=AN-AE=2-,OE2-EN2=ON2=OD2-DN2,

OE=x,

X2一(2-9)=ON2=42-^2+^y^,

整理得尸-；/+4,

y=-；/+4?4,

.,.當(dāng)x=0即。與E重合時(shí)，y=-；/+4=4最大.

10.⑴動(dòng)

⑵①8&，-12+口)；②(

【分析】(1)連接3P,求解ZB/?=90。，ZDBP=90o-30°=60°,ZDOP=ABPO=30°=Z.ODP,結(jié)

合AO=CZ)=2,ZODC=60°,進(jìn)一步可得答案.

(2)①如圖，過(guò)B作即，OC于J,則々"=90。，分兩種情況：當(dāng)"<6時(shí)，當(dāng)心6時(shí)，如

圖，此時(shí)CP=“-6,再進(jìn)一步求解即可；

②如圖，由----=2=4一J"'1力=可得當(dāng)"=3時(shí)，M最大，止匕時(shí)

-OP-CD八"，）"4

2

即=-：/+》=1，8已：），尸（3,0）,。（6,2）,求解為y="同理可得：BP為:

可得求解GP=講，過(guò)/作尸KLCD于K,而CEJ_8,ZOCD=90°,可得

tanZDOC=tanZJDCE=|=!=!^,設(shè)尸K=/,貝|CK=3九可得空_五_2,可得尸尸=嶇，進(jìn)

63腿而丁行11

一步可得答案.

【詳解】（1）解：連接的,

;過(guò)點(diǎn)0、尸的8與DP相切于點(diǎn)尸，ZODP=30°.

ZBPD=90°,ZDBP=90°-30°=60°,

*/BO=BP,ZDBP=ZDOP+ZBPO,

/.ZDOP=ZBPO=30°=ZODP,

???矩形AOCD的邊AO長(zhǎng)為2,

/.AO=CD=2,ZODC=60°,

/.OC=CDtan600=2百.

(2)解：①如圖，過(guò)3作即，OC于J,則NR7P=90。,

VOP=n,BO=BP,

：.OJ=PJ=-n,

2

當(dāng)〃V6時(shí)，

;矩形A。。。，OP=n,C(6,0),AO=2,

..CP=6-n,CD=AO=2,NOCD=90。，

結(jié)合切線性質(zhì)可得：NBPD=90°=NPCDZBJP,

/.NBPJ=90°-ZDPC=ZPDC,

tanZ.BPJ=tanNPDC,

?BJ_CP

**~pj~~CD"

BJ6-n

，「二丁，

—n

2

?123

??DJ——〃H—n.

42

當(dāng)心6時(shí)，如圖，此時(shí)CP=〃-6,

同理可得：tanNBPJ=tanZPDC,

?BJ_CP

??~pj~~CD"

BJ_n-6

，L虧，

—n

2

?\BJ=—n2——n,

42

.Jl123)

…匕y+2w}

綜上：?:”廣；/+34；

②如圖,

〃,

42

84

3

當(dāng)〃二-4--=3時(shí)，M最大,

2x

此時(shí)夕=-32+3尸(3,0),0(6,2),

42"I,Brib

設(shè)OZ）解析式為產(chǎn)巴則6e=2,

解得：e=；

.?.8解析式為丫=>

93

e-=-k+b

設(shè)的解析式為尸丘+。,則42

Q=3k+b

%」

解得:2

6,

2

39

尸解析式為：y=——x+—,

22

1

y=—x

聯(lián)立3

39

y=——x+—

22

27

x=——

解得:11

9，

y=-11

二.二2

Gn,nj,

過(guò)/作FK_LC。于K,而CEJ_QD,ZOCD=90°,

ZDOC=ZDCE=90°-ZODC,

?FKLCD,ZOCD=90°,

FK//OC,

DFKsDPC,

?FKDKDF

??CP~~DC~~DP"

.f_2~3f

??32'

解得：f=M

g

.??空二旦

DP311

VCP=3,CD=2,ZOCD=90°,

PF巫

11

3A/13

?G尸一"1F」

…FP97B3-

11

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判

定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，本題的

難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

11.⑴見解析

(2)

4

⑶E

【分析】（1）連接A。并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F,連接08OC,證得=再利用等

腰三角形三線合一性質(zhì)證得。尸，為，再用平行線性質(zhì)可證得結(jié)果；

⑵過(guò)點(diǎn)。作孫先求得s皿邛皿當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，S”最大，此

時(shí)3DCD也最大，據(jù)此求解即可；

（3）如圖，分別延長(zhǎng)AE、3。相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作DKL”，過(guò)點(diǎn)。作CQBZ）,連接A。

并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H,連接CJ,設(shè)CJ=4a,則CD=3a,再分別用含有。的代數(shù)式表示出

H及S2的面積，再求解即可.

【詳解】（1）證明：連接A。并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)尸,連接。民。。，

:.ZAOB=ZAOC,

:.ZFOB=ZFOC,

OB=OC,

OF±BC,

AG//BC,

AGLOA,

，AG是。的切線;

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作CULM,

三角形ABC是等邊三角形時(shí),AB=2,

/.AB=AC=2,ZBAC=60°,

ZBDC=ZBAC=60°

在RtACDH中，sinNCDH=老，

CH=CD.sinZCDH,

5?=-BD.CH=-BD.CD.sinZ.CDH=-BD.CD.sinZ60°=—BD.CD

BnDCr2224

點(diǎn)。在圓上運(yùn)動(dòng).

二當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，S.c最大，為￡X2=6,

4

此時(shí)3DCD也最大，

???—BD.CD=y[i

4

得BD.CD=4,

.?.3D8的最大值為4;

(3)如圖，分別延長(zhǎng)依班》相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作。KUP,過(guò)點(diǎn)。作CA&),連接AO

并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)“，連接C7,

A

G

ZE'、K

\\力、

rD

BH

由（1）結(jié)論得

BH=HC

:.ZJBH=NJCH

AB=AC^

ZABC=ZACB

.\ZABJ=ZACJ=45°

.\ZABJ=ZACD=45°

.?."07=45。+45。=90。

4

tanZCDB=-

3

???設(shè)C7=4a,貝lJCQ=3〃，

由勾股定理得：

JD=y]CD2+CJ2=7(3a)2+(4a)2=5a

BD=5Q+4。=9a

Se,=-CDCJ=-CLDJ

CDJ22

crCD*CJ3ax4a12

DJ5a5

,11254

..5v,=—x9Q〃x——a=-a2

1255

ZDAE=ZDAC

DE=DC=3。，

四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形,

:.ZDEK=ZABD=45°

DKLAP,

?.廂是等腰直角三角形，

V23A/2

..KE=KD=—DE=-----a

22

AB±AE,ZABD=45°

/.ZP=45°

Z麗是等腰直角三角形，

:.DP=DE=3a,KP=KE=a,

2

AP±AB,AP±DK

:.DK//AB

:._PKD^_PAB

.PKPD3a_1

"PA~PB~3a+9a~4

PA=4PK=4x^^a=6y/2a

2

:.AE=PA-PE=6y/2a-3缶=3正a

S,=—x3y[^ax----a=-ci~

2222

【點(diǎn)睛】本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有：切線的性質(zhì)與判定定

理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及特殊角

的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不

錯(cuò)的中考?jí)狠S題.

12.(1)見解析

(2)AE=3#-3&

些

I；2024

【分析】(1)連接AC,首先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到ZAC3=ZAC。，然后根據(jù)角

平分線的性質(zhì)定理求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)Z)作。。EC,交2C延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,根據(jù)平行線分線段成比例得到皆=||,

得到tanNG4D="=g,設(shè)Z)E=a,則8E=瘋?，得出a+氐=6,求出DE=3g-3,BE=9-3^3,

BE3

然后證明出△B-在，得到會(huì)果進(jìn)而求解即可;

（3）首先得出ZMMG,證明出.血飛即，得到器=器=喘，設(shè)黑，，求出

1AD

MG+型」---------------1---------=；,同理可證，.AEQS

AGtcosZGDGk得至嚷嚙翁喘H黑、

進(jìn)而求解即可.

【詳解】（I）如圖1,連接AC,

圖1

?AB=AD，

：.ZACB=ZACD,

.?.點(diǎn)A到-c兩邊的距離相等;

(2)VCD=CD,

：.ZCAD=ZCBD,

???加為直徑，

/./BCD=90°,

tanACAD=tanZCBD=—,

BC'

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作32EC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)0,

ZACB=ZQ,ZACD=ZCDQ,

又由（1）知：ZACB=ZACD,

ZCDQ=ZQ,

：.CD=CQ,

,：CEDQ,

?DECQ

.DECD

**BE-BC'

tanZCAD=,ZCAD=ZCBD=30°,

貝I]tanZCAD=—=—,

7BE3

設(shè)=則BE=6a,

\'即為直徑，

ZBAD=90°,

*/AB=AD=3五,

：.BD=6,

I.a+=6,

解得：a=38-3,

:.DE=3^-3,BE=9-3y/3,

又,//BCD=90°,CD=BD-sinZCBD=3,

NBDC=ABAC,ZABD=ZACD,

J八BAEs/\CDE,

?DECD

?°A￡-ABJ

AE=（34—3）.半=3#-30；

（3）如圖所示，題＞與AC相交于點(diǎn)E,直線3A與直線C￡＞相交于圓外一點(diǎn)G,

G

?「ZM為△GAC的一條高，

若OALAG,貝!jN無(wú)⑦=90。=/灰刀，與題意矛盾.

：.DA