2/5聚焦因式分解新題型因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，考查形式多以填空題或選擇題為主，近幾年的中考題中一改過(guò)去傳統(tǒng)的分解因式試題形式，出現(xiàn)了一些比較新穎、有趣的試題，現(xiàn)舉例說(shuō)明．一、開(kāi)放性試題例1、(山東濟(jì)南)請(qǐng)你從下列各式中，任選兩式作差，并將得到的式子進(jìn)行因式分解．析解：這是一道開(kāi)放性試題，考查因式分解的概念以及分解因式的方法，本題有多種情況，解答時(shí)只需寫(xiě)出一種即可，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有很大的選擇性．如：．另外：還有如下幾種情況：；；；；；；；；；；．例2、(浙江)在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式，取x=10，y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：(寫(xiě)出一個(gè)即可)．析解：本例將因式分解的考查融入密碼產(chǎn)生的實(shí)際背景當(dāng)中，立意新穎，根據(jù)密碼產(chǎn)生的原理，首先將分解因式得：，將x=10，y=10代入得：，，則密碼為101030，或103010，或301010二、以圖形為載體，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想例3、(浙江湖州)利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：．你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是．a(chǎn)abbaabba甲乙析解：數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)需要滲透的重要的數(shù)學(xué)思想，本題讓學(xué)生通過(guò)對(duì)兩個(gè)圖形面積的計(jì)算，加深對(duì)完全平方公式幾何意義的理解．答案是或.例4、(山東聊城)從邊長(zhǎng)為的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖乙)．那么通過(guò)計(jì)算陰影部分的面積可以驗(yàn)證公式______________．甲甲乙析解：本例與上例如出一轍，可知甲圖的面積是，乙圖(平行四邊形)的高是，底是，從而可求平行四邊形面積是，于是，從兩個(gè)圖形之間的關(guān)系可得公式．例5、(鹽城)給你若干個(gè)長(zhǎng)方形和正方形卡片，如圖1所示，請(qǐng)你用拼圖的方法，拼出一個(gè)大矩形，使它的面積等于，并根據(jù)你拼的圖形分解多項(xiàng)式．析解：通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的分析可知，1張大正方形，5張長(zhǎng)方形，4張小正方形組成的圖形的面積就是，再經(jīng)過(guò)幾次嘗試就能拼出如圖2所示的矩形；由矩形的面積易知．由以上幾例我們可以看出，近幾年來(lái)，全國(guó)各地對(duì)因式分解的考查，已經(jīng)不再局限于傳統(tǒng)的考查方式，這些試題不僅對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦能力有較好的導(dǎo)向作用，也符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)悉心體會(huì)．小試牛刀下面幾道試題供同學(xué)們練習(xí)(山東)如圖，有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為的正方形卡片1張，邊長(zhǎng)分別為、的矩形卡片6張，邊長(zhǎng)為的正方形卡片9張．用這16張卡片拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為＿＿2、(浙江)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？3、(泉州)如圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形與兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a、b的小矩形拼接矩形ABCD，則整個(gè)圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請(qǐng)你寫(xiě)出其中任意三個(gè)等式；；．4、(湖北荊門(mén))在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a＞b),再沿虛線剪開(kāi),如圖(1),然后拼成一個(gè)梯形,如圖(2),根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系,表明下列式子成立的是()(A)a2-b2=(a+b)(a-b).(B)(a+b)2=a2+2ab+b2.(C)(a-b)2=a2-2ab+b2.(D)a2-b2=(a-b)2.5、(天門(mén)市)如下圖a，邊長(zhǎng)為a的大正方形中一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個(gè)矩形，如圖b．這一過(guò)程可以驗(yàn)證()A、a2+b2-2ab=(a-b)2B、a2+b2+2ab=(a+b)2C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)D、a2-b2=(a+b)(a-b)aaabb圖a圖b

參考答案：1、3a+b2、(1)找規(guī)律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，……2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘?cái)?shù)．(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)．(3)由(2)知，神秘?cái)?shù)可以表示成4(2k+1)，因?yàn)?k+1是奇數(shù)，因此神