專題23橢圓的簡單幾何性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：9大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點01：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍頂點軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率當越接近1時，越接近，橢圓越扁；當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；【常用結(jié)論】知識點02：直線與橢圓的位置關(guān)系1、位置關(guān)系的判斷2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：3、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出根與系數(shù)的關(guān)系；（5）代入求解．知識點03：中點弦問題與點差法.【題型01：橢圓的簡單幾何性質(zhì)】一、解答題1．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率，并畫出它們的草圖：【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】將橢圓改寫為標準方程，即可確定、、及長軸、短軸的位置，進而求出(1)、(2)中橢圓的長軸、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率，并畫出橢圓的圖形.橢圓圖象如下：

橢圓圖象如下：

二、單選題A．1 B．4 C．7 D．9【答案】D故選：D.A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B故選：B【答案】C【分析】先將方程化為標準方程，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析判斷故選：CA．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】C∴兩個橢圓中只有焦距相等.故選：C.A．橢圓的長軸長為2【答案】D將方程中的互換，根據(jù)所得方程是否與原方程相同可判別C；根據(jù)橢圓的范圍可判斷D.故選：D【題型02：由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求標準方程】一、解答題1．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長為6，離心率為；(3)x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.【分析】(1)根據(jù)離心率與長軸的定義，求解出橢圓的、、，再按焦點所在坐標軸分別寫出橢圓的標準方程即可；(2)根據(jù)離心率與頂點坐標的定義，求解橢圓的、、即可2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標準方程.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓的長短半軸長，再按焦點位置求出橢圓方程.（2）根據(jù)給定條件，由離心率求出橢圓的長短半軸長，再按焦點位置求出橢圓方程.【分析】（1）根據(jù)給定的橢圓方程設(shè)出所求橢圓的方程，將已知點的坐標代入求解即得.（2）求出已知橢圓的離心率，進而求得所求橢圓長短半軸長的關(guān)系，按焦點的位置分類設(shè)出橢圓方程求解.【題型03：求橢圓離心率的值】一、單選題A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求出、、的值，結(jié)合橢圓離心率公式求解即可.故選：B.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出，即可得離心率.故選：C.【答案】A【詳解】解：如圖：故選：A【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合離心率的意義求解.【詳解】令橢圓半焦距為c,M為線段的中點，連接，故選：B【答案】A故選：A.A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：所以橢圓的離心率為.故選：D【題型04：求橢圓離心率的取值范圍】一、單選題【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為，，，又點總在橢圓內(nèi)部，故選：C．【答案】D故選：D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解.故選：D【答案】B故選：B.二、填空題【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱結(jié)合焦半徑的范圍化簡得出離心率范圍.

【分析】先設(shè)出點，然后由向量數(shù)量積得到的軌跡，應(yīng)用在橢圓上則兩個曲線有交點，再求離心率即可.【題型05：橢圓離心率中的參數(shù)問題】一、單選題【答案】B【分析】根據(jù)離心率公式可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.故選：B.A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓的離心率和焦點三角形的周長，列方程組求，可得橢圓的焦距.故選：A【答案】D故選：D.二、填空題【答案】或【分析】對焦點的位置進行分類討論，根據(jù)離心率的定義結(jié)合方程運算求解.故答案為：或.【答案】【分析】根據(jù)題意寫出焦點與左頂點的坐標，表示出線段長，利用離心率寫出等量關(guān)系，可得答案.故答案為：.【題型06：直線與橢圓的位置關(guān)系】一、單選題A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】由直線與橢圓的位置關(guān)系求解即可.故選：C.A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切【答案】D【分析】首先判斷直線所過的定點，再判斷定點與橢圓的位置關(guān)系，即可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.故選：D二、解答題(1)有兩個不重合的公共點？(2)有且只有一個公共點？(3)沒有公共點？【答案】(1)m∈（－3，3）(2)m＝±3(3)m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞）【詳解】解：將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0③.判別式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.（1）當Δ＞0，即m∈（－3，3）時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解，這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．（2）當Δ＝0，即m＝±3時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知直線l與橢圓C有且只有一個公共點．（3）當Δ＜0，即m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞）時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．【考查意圖】直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷．(1)求橢圓的標準方程；(1)求橢圓C的標準方程；【分析】（1）由焦點坐標得到c，由橢圓的定義求出a，進而求出b的值，即可得出橢圓的方程；【題型07：弦長及三角形面積問題】一、解答題(1)求橢圓C的標準方程．①求m的取值范圍；(1)求橢圓的離心率；【答案】(1)【分析】（1）直接由離心率定義求解；(1)求弦長；【分析】（1）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值；(1)求動點的軌跡方程C；【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用兩點間距離公式求出定值并確定軌跡圖形，進而求出方程.（2）設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及三角形面積求出參數(shù)即可.(1)求橢圓的方程；(2)（2）利用弦長公式和點到直線的距離公式表示三角形面積，分析函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）（2）(1)求曲線的方程；(2)（2）依題意知道，直線不垂直于軸，【題型08：中點弦問題】一、單選題【答案】D故選：D.【答案】B故選：B.【答案】D【分析】利用點差法,結(jié)合斜率公式即可求解.故選：D【答案】C故選：C．【答案】A故選：A.二、填空題【分析】用點差法求出直線的斜率，再用點斜式求出直線的方程，結(jié)合弦長公式即可求出結(jié)果.所以線段的長度是：【題型09：橢圓中的定點、定值問題】一、解答題(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線交橢圓于不同的兩點和，若直線的斜率為1，且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，求直線的方程.(1)求C的方程；(2)設(shè)C與y軸的正半軸交于點D，直線l：y=kx+m與C交于A、B兩點（l不經(jīng)過D點），且AD⊥BD．證明：直線l經(jīng)過定點(2)證明見解析(1)求橢圓的標準方程；(2)證明見解析如下圖所示：

(1)求橢圓的方程；【分析】（1）求出雙曲線的焦點坐標，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可求解；(1)求橢圓方程；一、單選題1．（2425高二上·安徽淮南·期中）中心為原點，焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）【答案】A故選：A.A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的方程，求得長短半軸長及半焦距、離心率，即可判斷.所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D【答案】A故選：A.【答案】A【分析】求出直線與坐標軸的交點即得橢圓的兩頂點，從而可得焦點坐標.故選：A.A． B． C． D．【答案】C故選：C.【答案】A【分析】利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理，建立方程求出離心率.所以橢圓的離心率為，故選：A【答案】C故選：C.A．0或1 B．0 C．1 D．2【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】C故選：C【答案】B故選：B.【答案】A故選：AA．3 B．2 C．1 D．【答案】A【詳解】

故選：A.【答案】A故選：A.【點睛】方法點睛：利用點差法解決圓錐曲線中點弦有關(guān)問題，以及圓的切線有關(guān)性質(zhì)的靈活運用.二、填空題【答案】或.【分析】根據(jù)離心率定義求橢圓的離心率，結(jié)合條件確定橢圓的離心率，討論焦點位置列方程求.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，故答案為：或.【詳解】設(shè)橢圓E的上頂點為Q，【答案】故答案為：【答案】故答案為：.【詳解】設(shè)線段的中點為，連接，故答案為：.三、解答題20．（2024高二·全國·專題練習(xí)）寫出分別滿足下列條件的橢圓的標準方程：（2）根據(jù)所過點可得長軸為軸，假設(shè)橢圓方程，結(jié)合所過點可得結(jié)果；（3）采用待定系數(shù)法，代入所過點坐標即可求得結(jié)果.(1)若它們有兩個公共點，求的取值范圍；(2)若它們只有一個公共點，求公共點的橫坐標.(1)求的方程；【分析】（1）由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；(1)動點的軌跡的方程；【分析】（1）利用軌跡法，結(jié)合條件列式，即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，代入弦長公式，即可求解.(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過點且與相切，求的方程．(1)求橢圓的標準方程；【分析】（1）依題意，表示橢圓離心率，將點代入橢圓方程，聯(lián)立方程求解；（2）分別表示出直線方程，結(jié)合弦長公式求解.（2）(1)求橢圓的標準方程；(2)直線的斜率為，且與坐標軸的交點均在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓交于兩點，求線段的長度的取值范圍.（2）直線的斜率為，且與坐標軸的交點均在橢圓內(nèi)部，(1)求的方程；(2)【分析】（1）求出橢圓的焦點坐標，再利用橢圓定義求出即可.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出三角形面積，利用基本不等式求