2021-2022學(xué)年安徽省無為市八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案注意事項(xiàng)∶1.你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。2.試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，諧務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的?？荚嚱Y(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回。選擇題（本題共10小題，每題4分，共40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題目要求的。1．全民閱讀已成為一種良好風(fēng)尚，現(xiàn)在的圖書是人們閱讀的好地方．下列圖書館標(biāo)志的圖形中不是軸對稱圖形的是（）2．一個木工師傅現(xiàn)有兩根木條，它們的長度分別為30和80，現(xiàn)在要做一個三角形的木架，則第三根木條應(yīng)選?。ǎ〢．10 B．40 C．70 D．1303．若點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于x軸對稱，則m+n的值（）A．3 B．﹣14 C．7 D．﹣84．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，則∠BCA′的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．50°5．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A90° B．95° C．100° D．105°6．如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BF＝CD7．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點(diǎn)處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④8．如圖，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于（）A．60° B．70° C．75° D．90°9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，連接DE，則下列說法錯誤的是（）A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED10．如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為（）A．10 B．12 C．13 D．14填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線．若AE＝3，△ABD的周長為13，則△ABC的周長為．12．如圖，小明在操場上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)5米后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進(jìn)5米后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了米．13．如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，則PC的長為．14．如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動秒后，可得等邊三角形AMN？解答題（本大題2小題，每題8分，滿分16分）15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)：；（3）△ABC的面積＝．16．生活中處處有數(shù)學(xué)．（1）如圖（1）所示，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB將其固定，這里所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是；（2）如圖（2）所示，在新修的小區(qū)中，有一條“Z”字形綠色長廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段綠色長廊上各修一小涼亭E，M，F(xiàn)，且BE＝CF，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，在涼亭M與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，要想知道M與F之間的距離，只需要測出線段ME的長度，這樣做合適嗎？請說明理由．四、解答題（本大題2小題，每題8分，滿分16分）17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）若∠F＝25°，求證：BE∥DF．18．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）判斷△DBC是否為等腰三角形，并說明理由．五、解答題（本大題2小題，每題10分，滿分20分）19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．20．如圖，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的頂點(diǎn)A，C處各有一只小螞蟻，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t（s）后，它們分別爬行到了D，E處，設(shè)DC與BE的交點(diǎn)為F．（1）求證△ACD≌△CBE；（2）小螞蟻在爬行過程中，DC與BE所成的∠BFC的大小有無變化？請說明理由．六、解答題（本題12分）21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長線上的一點(diǎn)，線段BD的垂直平分線EG交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．（1）當(dāng)∠B＝30°時(shí)，AE和EF有什么關(guān)系？請說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上（CD＜BC）運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E是否在線段AF的垂直平分線上？七、解答題（本題滿分12分）34．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，P是線段AD的中點(diǎn)，Q是線段BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求證：△CPQ為等邊三角形．八、解答題（本題滿分14分）23．在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在射線AC上運(yùn)動，且∠ADE＝∠AED，設(shè)∠DAC＝n．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，且n＝36°，則∠BAD＝，∠CDE＝；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，其他條件不變，請猜想∠BAD和∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，∠BAD和∠CDE還滿足（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？請畫出圖形，并說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每題4分，共40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題目要求的。1．全民閱讀已成為一種良好風(fēng)尚，現(xiàn)在的圖書是人們閱讀的好地方．下列圖書館標(biāo)志的圖形中不是軸對稱圖形的是（）【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；D、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．一個木工師傅現(xiàn)有兩根木條，它們的長度分別為30和80，現(xiàn)在要做一個三角形的木架，則第三根木條應(yīng)選取（）A．10 B．40 C．70 D．130【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，則第三根木條的取值范圍是大于兩邊之差50，而小于兩邊之和110．【解答】解：80﹣30＜x＜80+30，即50＜x＜110．故選：C．【點(diǎn)評】考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出范圍解答．3．若點(diǎn)A（m+2，3）與點(diǎn)B（﹣4，n+5）關(guān)于x軸對稱，則m+n的值（）A．3 B．﹣14 C．7 D．﹣8【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得m、n的值，再計(jì)算m+n即可．【解答】解：由題意，得m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，解得m＝﹣6，n＝﹣8．m+n＝﹣14．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．4．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，則∠BCA′的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．50°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠BCD＝∠B，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，∴∠ACD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．∵由作圖可知，MN是線段BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80°+25°＝105°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BF＝CD【分析】根據(jù)全等三角形的全等定理逐個判斷即可．【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，∴∠B＝∠E，即符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和全等三角形的判定定理，能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點(diǎn)處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【分析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷．【解答】解：①兩個角為60度，則第三個角也是60度，則其是等邊三角形，故正確；②這是等邊三角形的判定2，故正確；③三個外角相等則三個內(nèi)角相等，則其是等邊三角形，故正確；④根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)．可以證明三邊相等，故正確．所以都正確．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的判定的掌握情況．8．如圖，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于（）A．60° B．70° C．75° D．90°【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFC）＝180°﹣120°＝60°．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，連接DE，則下列說法錯誤的是（）A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD＝2CD即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根據(jù)已知不能推出CD＝DE，即只有D錯誤，選項(xiàng)A、B、C的答案都正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．10．如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為（）A．14 B．13 C．12 D．10【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時(shí)，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線．若AE＝3，△ABD的周長為13，則△ABC的周長為．【分析】由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AC＝2AE，AD＝DC，從而可得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案為：19．【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，小明在操場上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)5米后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進(jìn)5米后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了米．【分析】利用多邊形的外角和即可解決問題．【解答】解：由題意可知，小明第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，他一共轉(zhuǎn)了360°，且每次都是向左轉(zhuǎn)40°，所以共轉(zhuǎn)了9次，一次沿直線前進(jìn)5米，9次就前進(jìn)45米．故答案為：45．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)多邊形的外角和解決實(shí)際問題，注意多邊形的外角和是360°．13．如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，則PC的長為．【分析】由角平分線定理得到PE＝PD，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠COP＝∠CPO，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得出結(jié)果．【解答】解：過P作PE⊥OB，交OB與點(diǎn)E，如圖所示：∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝4，∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP為△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，∴PC＝2PE＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)，角平分線定理，平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)注意輔助線的作法．14．如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動秒后，可得等邊三角形AMN？【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動路程，N的運(yùn)動路程比M的運(yùn)動路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵△AMN是等邊三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動秒后，可得到等邊三角形AMN．故答案為：（1）10；（2）．【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．三、解答題（本大題2小題，每題8分，滿分16分）15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)：；（3）△ABC的面積＝；（4）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC周長最小，并求出△PAC周長的最小值．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可得；（2）由關(guān)于y軸的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等可得；（3）割補(bǔ)法求解可得；【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）點(diǎn)C（﹣1，2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，2）．（3）△ABC的面積＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱變換的定義與性質(zhì)等知識點(diǎn)．16．生活中處處有數(shù)學(xué)．（1）如圖（1）所示，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB將其固定，這里所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是；（2）如圖（2）所示，在新修的小區(qū)中，有一條“Z”字形綠色長廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段綠色長廊上各修一小涼亭E，M，F(xiàn)，且BE＝CF，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，在涼亭M與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，要想知道M與F之間的距離，只需要測出線段ME的長度，這樣做合適嗎？請說明理由．【分析】（1）利用三角形的穩(wěn)定性進(jìn)而得出答案；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而填空得出即可．【解答】解：（1）如圖1所示，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是：三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性；（2）合適，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴MB＝MC，在△MEB與△MCF中，∴△MEB≌△MFC（SAS），∴ME＝MF，∴想知道M與F之間的距離，只需要測出線段ME的長度．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的性質(zhì)和三角形穩(wěn)定性等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．四、解答題（本大題2小題，每題8分，滿分16分）17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長線上的一點(diǎn)，連接DF．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）若∠F＝25°，求證：BE∥DF．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD＝130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE＝65°；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根據(jù)∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DF∥BE．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）判斷△DBC是否為等腰三角形，并說明理由．【分析】（1）以B為圓心，以任意長為半徑畫弧交AB、AC于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)和B作直線即可；（2）由∠A＝36°，求出∠C、∠ABC的度數(shù)，能求出∠ABD和∠CBD的度數(shù)，即可求出∠BDC，根據(jù)等角對等邊即可推出答案．【解答】解：（1）如圖所示：BD即為所求；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝36°+36°＝72°，∴BD＝BC，∴△DBC是等腰三角形．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，作圖與基本作圖等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能正確畫圖和求出∠C、∠BDC的度數(shù)．五、解答題（本大題2小題，每題10分，滿分20分）19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△ECF，然后即可求證△DEF是等腰三角形．（2）根據(jù)∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根據(jù)△DBE≌△ECF，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEF的度數(shù)．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應(yīng)用了三角形內(nèi)角和定理和平角是180°，因此有一定的難度，屬于中檔題．20．如圖，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的頂點(diǎn)A，C處各有一只小螞蟻，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t（s）后，它們分別爬行到了D，E處，設(shè)DC與BE的交點(diǎn)為F．（1）求證△ACD≌△CBE；（2）小螞蟻在爬行過程中，DC與BE所成的∠BFC的大小有無變化？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)小螞蟻的速度相同求出AD＝CE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△CBE全等即可；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ACB，從而得到∠BFC．【解答】（1）證明：∵小螞蟻同時(shí)從A、C出發(fā)，速度相同，∴t（s）后兩只小螞蟻爬行的路程AD＝CE，∵在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC＝∠ACD，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC無變化．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，主要利用了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)小螞蟻的速度相同求出AD＝CE是證明三角形全等的關(guān)鍵．六、解答題（本題12分）21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長線上的一點(diǎn)，線段BD的垂直平分線EG交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．（1）當(dāng)∠B＝30°時(shí)，AE和EF有什么關(guān)系？請說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上（CD＜BC）運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E是否在線段AF的垂直平分線上？【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出DE＝BE，求出∠D＝∠B＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠A＝∠DEA＝60°，即可得出答案；（2）求出∠A＝∠AFE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）AE＝EF，理由是：∵線段BD的垂直平分線EG交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G，∴DE＝BE，∵∠B＝30°，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DEA＝∠D+∠B＝60°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴∠A＝∠DEA＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF；（2）點(diǎn)E是在線段AF的垂直平分線，理由是：∵∠B＝∠D，∠ACB＝90°＝∠FCD，∴∠A＝∠DFC，∵∠DFC＝∠AFE，∴∠A＝∠AFE，∴EF＝AE，∴點(diǎn)E是在線段AF的垂直平分線．【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等．七、解答題（本題滿分12分）34．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，P是線段AD的中點(diǎn)，Q是線段BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求證：△CPQ為等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，得出∠ACD＝∠BCE，由SAS證明△ACD≌△BCE，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）由△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，證出PD＝QE，再由SAS證明△CDP≌△CEQ，得出CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，然后證出∠PCQ＝60°，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，又∵點(diǎn)P、Q分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，∴PD＝AD，QE＝BE，∴PD＝QE，在△CDP和△CEQ中，，∴△CDP≌△CEQ（SAS），∴CP＝CQ，∠PCD＝∠QCE，又∵∠DCE＝60°，∴∠QCE+∠QCD＝60°，∴∠PCD+∠QCD＝60°，即∠PCQ＝60°，∴△CPQ為等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟