福建省高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$-\sqrt{3}$

2.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=2^x$

C.$f(x)=\log_2x$

D.$f(x)=x^3$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=2$，$S_5=30$，則該數(shù)列的公差$d$等于：

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時(shí)取得極值，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$b>0$

D.$b<0$

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處取得最小值

B.$f(x)$在$x=1$處取得最大值

C.$f(x)$在$x=1$處取得極值

D.$f(x)$在$x=1$處無(wú)極值

6.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，則$a_n$的通項(xiàng)公式為：

A.$a_n=n^2-n+1$

B.$a_n=n^2+n+1$

C.$a_n=n^2-2n+1$

D.$a_n=n^2+2n+1$

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則$f'(x)$的零點(diǎn)為：

A.$x=0$

B.$x=1$

C.$x=-1$

D.$x=2$

8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q>1$，若$a_1=2$，$S_5=62$，則該數(shù)列的第五項(xiàng)$a_5$等于：

A.8

B.10

C.12

D.14

9.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=-1$對(duì)稱，下列說(shuō)法正確的是：

A.$f(x)$的圖像關(guān)于$y$軸對(duì)稱

B.$f(x)$的圖像關(guān)于$x$軸對(duì)稱

C.$f(x)$的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.$f(x)$的圖像沒(méi)有對(duì)稱軸

10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}$，則$\lim_{n\to\infty}a_n$等于：

A.1

B.2

C.$\infty$

D.不存在

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^2-1$

B.$f(x)=\frac{1}{x^2}$

C.$f(x)=\sinx$

D.$f(x)=\cosx$

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$a\neq0$

B.$b^2-4ac=0$

C.$a>0$

D.$a<0$

3.下列數(shù)列中，屬于等差數(shù)列的是：

A.$\{2,5,8,11,\ldots\}$

B.$\{1,3,6,10,\ldots\}$

C.$\{1,4,9,16,\ldots\}$

D.$\{1,2,4,8,\ldots\}$

4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處取得極大值

B.$f(x)$在$x=2$處取得極小值

C.$f(x)$在$x=3$處取得極大值

D.$f(x)$在$x=4$處取得極小值

5.下列數(shù)列中，屬于等比數(shù)列的是：

A.$\{1,2,4,8,\ldots\}$

B.$\{2,4,8,16,\ldots\}$

C.$\{1,4,16,64,\ldots\}$

D.$\{1,3,9,27,\ldots\}$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的圖像在$x$軸上的截距為_(kāi)_____。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$d=2$，則$S_5=______$。

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}$，則$\lim_{n\to\infty}a_n=______$。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像在第一象限內(nèi)是______函數(shù)。

5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$|q|<1$，若$a_1=3$，則該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$的極限為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并找出$f(x)$的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，其中$a_1=3$，$d=2$，求$S_{10}$和$a_{15}$。

3.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$|q|<1$，若$a_1=5$，$S_4=40$，求$q$和$a_7$。

4.解下列不等式組：

\[

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq8

\end{cases}

\]

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)的定義域，并求出$f(x)$的極限$\lim_{x\to2}f(x)$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.D

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案：

1.B,D

2.A,B

3.A,B

4.A,B

5.A,B

三、填空題答案：

1.1

2.110

3.2

4.單調(diào)遞減

5.$\frac{15}{2}$

四、計(jì)算題答案及解題過(guò)程：

1.解：$f'(x)=6x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{3}{2}$。計(jì)算$f(1)=2-6+9-1=4$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{8}-\frac{27}{4}+\frac{27}{2}-1=\frac{7}{8}$。故$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=\frac{3}{2}$，對(duì)應(yīng)的極值分別為4和$\frac{7}{8}$。

2.解：$S_{10}=\frac{10}{2}[2a_1+(10-1)d]=5(6+18)=110$，$a_{15}=a_1+14d=3+14\times2=31$。

3.解：$S_4=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3=5+5q+5q^2+5q^3=40$，化簡(jiǎn)得$q^3+q^2+q-6=0$，解得$q=\frac{1}{2}$。故$a_7=a_1q^6=5\times\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{5}{64}$。

4.解：將不等式組轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式：

\[

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq8

\end{cases}

\]

解第一個(gè)不等式得$y<\frac{2x-6}{3}$，解第二個(gè)不等式得$y\leq\frac{8-x}{4}$。畫(huà)出這兩個(gè)不等式的解集，找到它們的交集區(qū)域即為不等式組的解集。

5.解：函數(shù)的定義域?yàn)?x\neq2$。由于當(dāng)$x\to2$時(shí)，分子$x^2-4$趨近于0，分母$x-2$也趨近于0，故$f(x)$在$x=2$處未定義。但可以計(jì)算$f(x)$的極限：

\[

\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4

\]

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)的單調(diào)性、極值和導(dǎo)數(shù)

2.等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

3.不等式組的解法

4.函數(shù)的定義域和極限

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概念和性質(zhì)的理解，如函數(shù)的單調(diào)性、極值、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義等。

示例：已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x)$的極值點(diǎn)。

解答：$f'(x)=2x-2$，令$f'(x)=0$，得$x=1$。計(jì)算$f(1)=0$，故$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=1$。

2.多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對(duì)多個(gè)選項(xiàng)中正確性的判斷，以及對(duì)概念和性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

示例：下列哪些數(shù)列是等比數(shù)列？

解答：選項(xiàng)A和B是等比數(shù)列，因?yàn)樗鼈兊南噜忢?xiàng)之比是常數(shù)。

3.填空題：考察學(xué)生對(duì)基本概念和性質(zhì)的記憶，以及對(duì)基本計(jì)算能力的掌握。

示例：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=2$，$d=3$，則$S_5=______$。

解答：$S_5=\frac{5}{2}[2a_1+(5-1)d]=5(2+12)=70$。

4.計(jì)算題：考察學(xué)生對(duì)概念和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

示例：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'