福建16年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4$，則函數(shù)的對(duì)稱中心為：

A.$(0,4)$

B.$(1,1)$

C.$(2,0)$

D.$(3,3)$

2.若$a>0$，$b>0$，則下列不等式中成立的是：

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^2+b^2\leq2ab$

C.$a^2+b^2>2ab$

D.$a^2+b^2<2ab$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5$的值為：

A.16

B.17

C.18

D.19

4.若$a$，$b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個(gè)根，則$a^2+b^2$的值為：

A.7

B.8

C.9

D.10

5.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則$B$的坐標(biāo)為：

A.$(3,2)$

B.$(2,3)$

C.$(3,3)$

D.$(2,2)$

6.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時(shí)取得極值，則下列條件中正確的是：

A.$a=0$

B.$b=0$

C.$c=0$

D.$a+b+c=0$

7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公差為$3$，則第$10$項(xiàng)的值為：

A.28

B.29

C.30

D.31

8.若$\sinA+\cosA=\sqrt{2}$，則$\sinA\cosA$的值為：

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

9.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，則$\angleC$的度數(shù)為：

A.$75^\circ$

B.$90^\circ$

C.$105^\circ$

D.$120^\circ$

10.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公比為$\frac{1}{2}$，則第$6$項(xiàng)的值為：

A.$\frac{1}{32}$

B.$\frac{1}{16}$

C.$\frac{1}{8}$

D.$\frac{1}{4}$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)具有奇偶性的函數(shù)有：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=|x^2-1|$

C.$f(x)=\sqrt{x^2}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

2.若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列中的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)，且$a+b+c=12$，$b=4$，則該等差數(shù)列的公差可能是：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在下列各對(duì)數(shù)中，正確的是：

A.$\log_216=4$

B.$\log_327=3$

C.$\log_5125=3$

D.$\log_464=3$

4.若$\sinA=\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$A=30^\circ$，$B=60^\circ$

B.$A=60^\circ$，$B=30^\circ$

C.$A=30^\circ$，$B=120^\circ$

D.$A=120^\circ$，$B=30^\circ$

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處有極大值

B.$f(x)$在$x=1$處有極小值

C.$f(x)$在$x=1$處有拐點(diǎn)

D.$f(x)$在$x=1$處無(wú)極值也無(wú)拐點(diǎn)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的定義域是__________。

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2-5n$，則該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1=$__________。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是__________。

4.若$\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin^2A+\cos^2A=1$，則$\cosA=$__________。

5.若方程$3x^2-2x-1=0$的兩根分別為$a$和$b$，則$a+b=$__________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

\[f(x)=e^{3x}\sinx\]

2.解下列方程組：

\[\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=1

\end{cases}\]

3.計(jì)算數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_1=3$，且對(duì)于所有$n\geq2$，有$a_n=2a_{n-1}+3$。

4.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，并說(shuō)明在$x=1$處的行為。

5.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=25$相切，求$k$和$b$的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.答案：C

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)于二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}$，因此對(duì)稱中心為$(x_0,f(x_0))$，其中$x_0=-\frac{2a}$。

2.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：基本不等式，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)$a$和$b$，有$a^2+b^2\geq2ab$。

3.答案：B

知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式，根據(jù)遞推公式$a_{n+1}=2a_n+1$，可以逐項(xiàng)計(jì)算得到$a_2=2a_1+1=3$，$a_3=2a_2+1=7$，以此類推。

4.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程$x^2-4x+3=0$，其根$a$和$b$滿足$a+b=4$，因此$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-2\cdot3=10$。

5.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)$(x_1,y_1)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)$(x_2,y_2)$滿足$x_2=y_1$，$y_2=x_1$。

6.答案：B

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極值，若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2ax+b$在$x=1$處為0，即$2a+b=0$。

7.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。

8.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的基本關(guān)系，由$\sinA+\cosA=\sqrt{2}$可得$\sinA=\cosA$，因此$\sin^2A+\cos^2A=2\sin^2A=1$，解得$\sinA=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

9.答案：C

知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和為$180^\circ$，因此$A+B+C=180^\circ$，解得$C=180^\circ-A-B$。

10.答案：A

知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$q$是公比。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.答案：A、B、D

知識(shí)點(diǎn)：奇偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$。

2.答案：A、B、C

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，可以求出公差。

3.答案：A、B、C

知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)，對(duì)數(shù)是以底數(shù)為正數(shù)的指數(shù)形式表示的數(shù)值。

4.答案：A、B

知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的基本關(guān)系，根據(jù)$\sin^2A+\cos^2A=1$和$\sinA+\cosA=\sqrt{2}$，可以解出$\sinA$和$\cosA$的值。

5.答案：A、B、C

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極值和拐點(diǎn)，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，可以找到函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.答案：$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義域，分母不為零，因此$x\neq1$。

2.答案：3

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式，根據(jù)前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，可以解出首項(xiàng)。

3.答案：$(-2,-3)$

知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的對(duì)稱性，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為$(-x,-y)$。

4.答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的基本關(guān)系，根據(jù)$\sin^2A+\cos^2A=1$，可以解出$\cosA$的值。

5.答案：3

知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系$a+b=-\frac{a}$，可以解出$a+b$的值。

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解

1.答案：$f'(x)=3e^{3x}\sinx+e^{3x}\cosx$（或$f'(x)=e^{3x}(3\sinx+\cosx)$）

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使用乘積法則和鏈?zhǔn)椒▌t。

2.答案：$x=1,y=2$（或$x=2,y=1