人教版

八年級上冊14.3（第1課時）

第十四章

全等三角形角的平分線復(fù)習(xí)回顧FUXIHUIGU什么是角的平分線？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.OABC如圖，OC是∠AOB的平分線.

在紙上畫一個角，怎么找到這個角的平分線？可以用量角器、圓規(guī)、對折等方法.實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中，又應(yīng)該如何找到零件或者材料的角平分線呢？思考思考思考新知探究XINZHITANJIU思考下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDCE

理由如下：如圖構(gòu)成了△ADC和△ABC，∵在△ADC和△ABC中，

AD=AB，

AC=AC，

DC=BC，∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC.

∵點(diǎn)C在射線AE上,∴AE是這個角的平分線.

新知探究XINZHITANJIU思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？ABO(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？新知探究XINZHITANJIU探究如圖，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

ABOMNC新知探究XINZHITANJIU思考

為什么要以適當(dāng)長為半徑畫弧線？以“適當(dāng)?shù)拈L為半徑”是為了方便畫圖，不能太長，也不能太短.ABOMNC思考

新知探究XINZHITANJIU思考“畫射線OC”不能說成“連接OC”，因?yàn)檫B接OC得到的是線段，而角的平分線是一條射線.兩弧交點(diǎn)在什么位置？應(yīng)該在角的內(nèi)部找所作兩弧的交點(diǎn)，因?yàn)樗鞯纳渚€為角的平分線，而角的平分線應(yīng)該在角的內(nèi)部.ABOMNC思考第（3）步能否說成“連接OC”？新知探究XINZHITANJIU思考如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA、OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD、PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個點(diǎn)試一試.根據(jù)以上測量，你能得到什么猜想？次數(shù)PD的長度PE的長度第1次第2次第3次第n次猜想：PD=PE新知探究XINZHITANJIU思考探索：角的平分線的性質(zhì)新知探究XINZHITANJIU思考能否根據(jù)全等的知識來證明上述結(jié)論？證明：∵PD⊥OA，

PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE.新知探究XINZHITANJIU角的平分線的性質(zhì)性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)點(diǎn)在角的平分線上；(2)到角兩邊的距離(垂直).

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴

PD=PE.PD⊥OA，PE⊥OB，定理的作用：新知探究XINZHITANJIU證明幾何命題的一般步驟（1）所畫圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫圖的時候要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫出圖形，再分別進(jìn)行證明；（2）證明過程中的每一步推理都要有依據(jù)，比如：已知條件、定義、定理等.（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證明的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.典例精析DIANLIJINGXI例1

①如圖1，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE

②如圖2，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE

③如圖3，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足分別為D.若PD=3，

則點(diǎn)P到OB的距離為3OBACPD圖3OBACPD圖2EOBACPD圖1E┐┐┐判斷下列命題是否正確：（PD、PE不是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）.（OC不是∠AOB的平分線）.（PD是∠AOB平分線OC上的點(diǎn)到OA的距離）.角的平分線的性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)條件如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：EB=FC.典例精析DIANLIJINGXI例2

證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD，

DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴EB=FC.CABDFE┐┐=DE+DB+EB=?如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，求△DEB的周長.典例精析DIANLIJINGXI例3解：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，

∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,

AD=AD，

DC=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，

∴AE=BC，

∴△DEB的周長為8cm.典例精析DIANLIJINGXI例4如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，離兩條公路交叉處500m，請你幫忙設(shè)計一下，這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處？

解：∵集貿(mào)市場到公路和鐵路的距離相等∴集貿(mào)市場應(yīng)該在公路和鐵路的角平分線上

不妨設(shè)公路和鐵路的交點(diǎn)為O

作∠AOB的平分線OP

在OP上找一點(diǎn)S，使得OS=500m

點(diǎn)S即為集貿(mào)市場ABOP看見距離，就想角的平分線！回顧：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)如何證明？典例精析DIANLIJINGXI例5如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

證明：過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D，

作PF⊥AC于點(diǎn)F，∵BM、CN分別平分∠ABC、∠ACB∴PD=PF

由于三角形三條角平分線交于一點(diǎn)

故點(diǎn)P也在∠A的平分線上∴PD=PF=PE∴點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等回顧三角形的三邊關(guān)系.典例精析DIANLIJINGXI例6如圖，在△ABC

的外角∠DAC

的平分線上任取一點(diǎn)P，PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.∴

PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.∵AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，解：證明線段和差關(guān)系一般用截長補(bǔ)短典例精析DIANLIJINGXI例7如圖，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn)C在線段DE上.求證：AB=AD+BE.M證明：作CM⊥AB于點(diǎn)M.∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，

CM=CD，

AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM（HL）.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，

∴

AB=AD+BE.課堂小結(jié)QINGJINGYINRU尺規(guī)作圖一個點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離兩相等：兩條垂線段(距離)相等角的平分線基本要素屬于基本作圖，必須熟練掌握輔助線過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段

當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU

BAM當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU

4.直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有()

A.一處B.兩處C.三處D.四處DAM

當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU

32.5°12當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU8.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且

BC=8，BD=5，則點(diǎn)

D到

AB的距離是

.ABCD3E7.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是

E，F(xiàn)，DE=

DF，∠FDB=60°，則∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYINRU9.如圖，E是∠AOB

的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA

于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D.求證：(1)∠ECD=∠EDC；(2)OC=OD.證明(1)∵點(diǎn)E在∠BOA的平分線上，

EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是個等腰三角形.

(2)在Rt△OED和Rt△OEC中，

OE=OE，

ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.當(dāng)堂練習(xí)QINGJINGYIN