/句容市碧桂園學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個樣本點和后，新得到的回歸直線方程斜率為3，則樣本的殘差為（

）A．1.5 B． C． D．12．已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率約為，和.若某校高一年級名學(xué)生的某次考試成績服從正態(tài)分布，則此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．780人 B．763人 C．655人 D．546人3．已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．24 B．18 C．12 D．64．在三棱柱中，是的中點，，則（

）A． B．C． D．5．已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則6．已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（

）種不同的測試方法．A．114 B．90 C．106 D．1287．如圖，在三棱錐中，平面，點分別為的中點，是線段的中點，，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項二、多選題9．下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則B．從一副撲克52張牌（去掉王）中任取1張，則在抽到梅花的條件下，抽到的是梅花5的概率為C．已知X~B(n，p），若，則D．已知隨機變量的分布列為，則10．如圖，在正四棱柱中，是棱的中點，為線段上的點（異于端點），且，則下列說法正確的是（

）A．是平面的一個法向量B．C．點到平面的距離為D．二面角的正弦值為11．下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．的展開式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．產(chǎn)品抽樣檢查中經(jīng)常遇到一類實際問題，假定在件產(chǎn)品中有件不合格品，在產(chǎn)品中隨機抽件做檢查，發(fā)現(xiàn)件不合格品的概率為，其中是與中的較小者，在不大于合格品數(shù)（即）時取0，否則取與合格品數(shù)之差，即根據(jù)以上定義及分布列性質(zhì)，請計算當(dāng)時，；若，請計算.（兩空均用組合數(shù)表示）14．《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，面面，梯形、的高分別為3，7，且，，，則，異面直線所成角的余弦值是.四、解答題15．在的展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為2∶1．(1)求n的值；(2)求展開式中含的項的二項式系數(shù)；（用數(shù)字作答）(3)求值：．16．甲乙兩人進行象棋比賽，約定誰先贏3局誰就直接獲勝，并結(jié)束比賽.假設(shè)每局甲贏的概率為，和棋的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)記為3局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值(2)求乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；(3)求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率17．如圖，四棱錐中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F(xiàn)分別是棱PC，PA上的點，滿足已知(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．如圖，某心形花壇中有A，B，C，D，E5個區(qū)域，每個區(qū)域只種植一種顏色的花．(1)要把5種不同顏色的花種植到這5個區(qū)域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？(2)要把4種不同顏色的花種植到這5個區(qū)域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？(3)要把紅、黃、藍(lán)、白4種不同顏色的花種植到這5個區(qū)域中，每種顏色的花都必須種植，要求相同顏色的花不能相鄰種植，且有兩個相鄰的區(qū)域種植紅、黃2種不同顏色的花，共有多少種不同的種植方案？19．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．參考答案：1．C【詳解】將代入，，去除兩個樣本點和后，所以，.故去除樣本點后的回歸直線方程為，當(dāng)時，，則樣本的殘差為.2．C【詳解】依題意，所以，，則，，所以，所以此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（人）.3．A【詳解】已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，則只能，從而的展開式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.4．C【詳解】因為，所以，所以.5．A【詳解】對于A：若，，則或與異面，故A錯誤；對于B：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故若，，則，故B正確；對于C：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，故若，，則，故C正確；對于D：根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若，，則，故D正確；6．A【詳解】解：檢測2次可測出2件次品，不同的測試方法有種；檢測3次可測出2件次品，不同的測試方法有種；檢測4次測出2件次品；不同的測試方法有種；檢測4次測出4件正品，不同的測試方法共有種，由分類計數(shù)原理，滿足條件的不同的測試方法的種數(shù)為：種．7．D【詳解】易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點，，，的放向分別為軸，軸，軸正方向，建立如空間直角坐標(biāo)系.由題意，得所以.設(shè)為平面的法向量，則令，得.又，所以，且平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，設(shè)為，因為，所以.

8．C【詳解】由題設(shè)，多項式展開式各項形式為且，故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即.9．ACD【詳解】對于A，依題意，，因此，A正確；對于B.梅花有13張，所以在抽到梅花的條件下，抽到梅花5的概率為，故B錯誤；對于C，依題意，，解得，C正確.對于D，，解得，D正確；10．ACD【詳解】對于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因為，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，在中，因為，則，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故錯誤；對于C，以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由B選擇可知，，，所以，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，設(shè)點到平面的距離為，所以由點到平面的距離公式得：，故C正確；對于D，由C選項中坐標(biāo)可知，為平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，所以，因此二面角的正弦值為，故D正確.11．ABD【詳解】對A：，故A正確；對B：，故B正確；對C：由，則，故C錯誤；對D：對有，則，則展開式中的系數(shù)為；又，其中項的系數(shù)為，故，故D正確.12．【詳解】展開式的通項公式為，令，得，令，得，所以展開式中項的為，所以展開式中項的系數(shù)為.故答案為：.13.(或)【詳解】當(dāng)時，,因為，所以.當(dāng)時，因為,所以,所以.故答案為:；(或)．14．【詳解】過分別作，的高，垂足分別為，，如圖所示：平面平面，，由得：，又平面平面，面，故平面，又面，故可得，∵，，又，故，，兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知，，，，，∴，，，∴，，即異面直線所成角的余弦值是．15【詳解】（1）由題意可得，即，即，故；（2），其展開式的通項公式，，令，解得，故展開式中含的項的二項式系數(shù)為；（3），由，故，故原式.16.【詳解】（1）由題知甲每局贏的概率為，甲不贏的概率為，則，的可能取值為，，，，所以，，，，則的分布列為：0123所以（或）；（2）由題知乙每局贏的概率為，乙不贏的概率為，因為乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽，則分兩種情況：乙前3局全勝和前3局只有一局不勝，第四局乙勝，所以乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（3）由題知比賽局結(jié)束，且甲贏得比賽，應(yīng)要滿足：前局甲只贏局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲贏，又每局甲贏的概率為，和棋的概率為，乙贏的概率為，故所求概率為．17.【詳解】（1）平面平面，底面是矩形，，平面，平面，平面平面平面（2）方法一：由（1）得平面平面平面平面平面平面，平面平面平面，底面是矩形，，平面，平面，∵平面，,又，平面，平面，∵平面，∴，平面，平面直線與平面所成角為其正弦值為1．方法二：如圖以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)，，則，，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為則，，可取，設(shè)直線與平面所成角為18．【詳解】（1）由全排列可得，共有種不同的種植方案．（2）第一步，先將5個區(qū)域選出2個區(qū)域種植一種相同顏色的花，共有種方案；第二步，再將剩余的3種顏色的花種植到剩下的3個區(qū)域，共有種方案．所以共有種不同的種植方案．（3）要把4種不同顏色的花分別種植到這5個區(qū)域中，則必然有2個區(qū)域種植相同顏色的花．第一類，區(qū)域種植紅色的花，4個區(qū)域中有2個區(qū)域種植其他相同顏色的花，則相同顏色的花必然種植在或區(qū)域，共有種方案．第二類，區(qū)域種植黃色的花，同理可得，共有種方案．第三類，區(qū)域種植藍(lán)色的花，若有2個區(qū)域種植白色的花，則沒有兩個相鄰的區(qū)域種植紅、黃2種不同顏色的花，所以不可能有2個區(qū)域種植白色的花，故2個區(qū)域種植的相同顏色的花是紅色或黃色的花，共有種方案．第四類，區(qū)域種植白色的