復(fù)變函數(shù)與積分變換 章節(jié)小結(jié)、疑難解析、典型例題 第4章小結(jié)_第1頁
復(fù)變函數(shù)與積分變換 章節(jié)小結(jié)、疑難解析、典型例題 第4章小結(jié)_第2頁
復(fù)變函數(shù)與積分變換 章節(jié)小結(jié)、疑難解析、典型例題 第4章小結(jié)_第3頁
復(fù)變函數(shù)與積分變換 章節(jié)小結(jié)、疑難解析、典型例題 第4章小結(jié)_第4頁
復(fù)變函數(shù)與積分變換 章節(jié)小結(jié)、疑難解析、典型例題 第4章小結(jié)_第5頁
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第4章小結(jié)一.導(dǎo)學(xué)本章討論了復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)與洛朗級數(shù)。冪級數(shù)與解析函數(shù)具有密切聯(lián)系。一方面冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù),另一方面一函數(shù)在其解析點的鄰域內(nèi)能展開成冪級數(shù),所以冪級數(shù)是研究解析函數(shù)性質(zhì)時所必不可少的有力工具。進一步地,在實際計算中,把函數(shù)展開成冪級數(shù),應(yīng)用起來也比較方便。所以,冪級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特別重要的意義。洛朗級數(shù)是冪級數(shù)的進一步發(fā)展,它由一個通常(非負(fù)次的)冪級數(shù)與一個只含負(fù)次冪的級數(shù)組合而成。洛朗級數(shù)的和函數(shù)是一個圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)。圓環(huán)的一種蛻化情形是一點的去心鄰域,而當(dāng)函數(shù)在一點的去心鄰域內(nèi)為解析,但并不在該點解析時,這一點就是函數(shù)的孤立奇點。所以,洛朗級數(shù)是研究解析函數(shù)孤立奇點的有力工具。學(xué)習(xí)本章的基本要求如下:(1)熟悉復(fù)數(shù)項級數(shù)性質(zhì),理解級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對收斂等概念以及無窮級數(shù)收斂的各種條件。(2)掌握冪級數(shù)收斂半徑與收斂區(qū)域的求法與基本性質(zhì),記住一些基本初等函數(shù)冪級數(shù)的展開式,掌握將比較簡單的解析函數(shù)展開為冪級數(shù)的基本方法。(3)掌握比較簡單函數(shù)環(huán)繞它的孤立奇點展開為洛朗級數(shù)的基本方法。二.內(nèi)容提要1.基本定理(1)復(fù)數(shù)項級數(shù)(=+i,)收斂的充分必要條件是實數(shù)項級數(shù)、同時收斂;復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是=0;每個絕對收斂的復(fù)數(shù)項級數(shù)一定是收斂的。(2)若冪級數(shù)在點收斂,則它在以原點為中心,為半徑的圓周內(nèi)收斂且絕對收斂;若級數(shù)在點處發(fā)散,則它在滿足的點z處發(fā)散。(3)(冪級數(shù)收斂半徑)對于冪級數(shù),若極限(或極限),包括為0或的情形,則它的收斂半徑。(4)設(shè)級數(shù)的收斂半徑為,則=1\*GB3①它的和函數(shù)在內(nèi)解析;=2\*GB3②在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)=可以逐項求任意階導(dǎo)數(shù),且=3\*GB3③設(shè)為收斂圓盤內(nèi)任一條分段光滑曲線,則級數(shù)在上可積,且=(5)(泰勒展開定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,是D內(nèi)的一點,R為到D的邊界的距離,則當(dāng)時,有其中,,為以為心且落在內(nèi)的任一圓周。(6)函數(shù)在點解析當(dāng)且僅當(dāng)在點附近可用冪級數(shù)表示。(7)若洛朗級數(shù)有收斂域,則該域必為圓環(huán)域:且在內(nèi)絕對收斂,和函數(shù)在內(nèi)解析,而且可以逐項積分,逐項求導(dǎo)。(8)(洛朗展開定理)若函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析,則=,其中,這里為圓環(huán)域內(nèi)任意的圓周:。2.一些常用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式(1),;(2);(3);(4);(5).三.疑難解析1將函數(shù)在點處展開為一個冪級數(shù)時,要求在及其某一個鄰域內(nèi)解析,這個鄰域就是所展冪級數(shù)的收斂域。在使用間接法求冪級數(shù)時,一定要注意所引用的已有函數(shù)展開式成立的條件。一般地說,所引用函數(shù)展開式的條件即為所展級數(shù)收斂的范圍。例如,將函數(shù)在處展開為冪級數(shù)時,由于此函數(shù)在及其鄰域(以為心的最大范圍的解析域)內(nèi)解析。因此,該級數(shù)展開為冪級數(shù)的收斂范圍即為。又如,利用間接法將函數(shù)展開為關(guān)于的冪級數(shù)時,由于,這里的,既是按照所引用函數(shù)的展開式中要求得出的。2將函數(shù)在點處展開為一個洛朗級數(shù)時,要求在某個圓環(huán)內(nèi)解析。這個圓環(huán)有的題目條件中已經(jīng)給出,有的未給出,這時可以考慮在復(fù)平面上畫出函數(shù)的定義域的草圖以找出圓環(huán)來。要注意的是,所求的圓環(huán)經(jīng)常是不惟一的。同上,在使用間接法求洛朗級數(shù)時,一定要注意所引用的已有函數(shù)的展開式成立的條件。一般地說,所引用函數(shù)展開式的條件即為所展級數(shù)收斂的范圍。具體可見例4.4.2,4.4.3等。3試說明級數(shù)收斂、條件收斂、絕對收斂的概念之間的異同。答一個級數(shù)如果在某個范圍內(nèi)收斂,有可能是絕對收斂的,也有可能是條件收斂的。絕對收斂的級數(shù)一定是收斂級數(shù),但收斂級數(shù)不一定是絕對收斂級數(shù)。4.對于一般函數(shù)要通過直接展開方法展開為冪級數(shù),由于求其各階導(dǎo)數(shù)的通式比較困難,所以通常采用間接的方法,實際上這是根據(jù)冪級數(shù)展開式的惟一性,利用一些已知函數(shù)冪級數(shù)展開式,再通過對冪級數(shù)進行變量代換、四則運算、分析運算(逐項微分、逐項積分等)求出所給函數(shù)的冪級數(shù)展開式。所以必須記住一些基本函數(shù)的冪級數(shù)展開式,如,等等。四.雜例例4.1設(shè)級數(shù)收斂,而級數(shù)發(fā)散,證明冪級數(shù)的收斂半徑是1。證級數(shù)收斂,相當(dāng)于冪級數(shù)在處收斂。由阿貝爾定理,對于滿足的,冪級數(shù)絕對收斂,從而該級數(shù)的收斂半徑。另一方面,若,則冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂,特別在處也絕對收斂,即有收斂,與條件矛盾。所以,冪級數(shù)的收斂半徑是1。例4.2求下列冪級數(shù)的收斂半徑(1);(2).解(1)因為,所以,。當(dāng)時,;當(dāng)時,。(2)級數(shù)是缺項級數(shù),,所以,。例4.3求在處的冪級數(shù)展開式,并證明。解=所以,=而級數(shù)在整個復(fù)平面上是收斂的,其和函數(shù)在復(fù)平面上解析,有界。所以,。例4.4將函數(shù)在內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。解當(dāng)時,例45求積分.解內(nèi),收斂,其和函數(shù),所以。思考題1

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