第二十五講燕尾模型

高原村有3..戶人靠,司家莊百4m戶人泉,于是兩村商定偲一座堤織,把湖

之前我們學過等高三角形的比例關(guān)系，如下左圖所示,△ABC被線段人。一分為二，且

有比例關(guān)系S:S=a:b.

如下右圖所示，在增加了兩條線段后，圖中有4個小三角形，這4個小三角形的面積之間

的比例關(guān)系如圖中所示.

由于圖中的陰影局端看起來很像燕子的尾巴,所以這個圖形我們形象的把它稱為燕尾模

型.陰影局部我們稱之為燕尾形.

外比：工=S3=-=BD

S2s4s2+S4CD

內(nèi)比SSS-FSAO

內(nèi)比：-==r-=-2=

SiSIS,+S-OD

例題1.

如圖,4。=6,C￡)=I4,三角形48E的面積是24,求三角形8EC的面積.

[■分析」北=4Q據(jù)此就可以求出48EC的面積.

S△BCEX

練習1.

三角形ABC中，三角形4B/的面枳是60,三角形AFC的面枳是20,三角形BFC的面積是

56,求三角形班》、和三角形C。/；的面積.

給出不同邊上的比例關(guān)系,我們就可以用“燕尾模型"解決三角形面積的問題，下面我們先

看一個給出兩個外比的問題.

練一練根據(jù)以下圖中所給線段比例來標注各局部的面積份數(shù).

外比：CD:DB=3:1

夕卜比：AF:FC夕卜比：AE:EC=\:3外比：AE:EC=1:3

例題2.

如圖，△ABC的面積等于28平方厘米.其中AE=EC,=3:1,求陰影三角形的面積.

在三角形44c中，「分析」圖中并沒有燕尾模型，所以第一步需要把它構(gòu)造出來.應該連哪條線

一’’呢？

練習2.

2AE=EB,4O=CD陰影局部占△48C的幾分之幾?

有時題目給的不是兩個外比，而是一個內(nèi)比和?個外比，此時在利用燕尾模型解題的時候，既

需要由長度的比推出面積的比,也需要由面積的比推出長度的比.

這類問題較簡單的一類是的內(nèi)比和外比在同一個燕尾形中.

練一練

根據(jù)以下圖中所給線段比例來標注各局部的面積份數(shù).

夕卜比：AD：DC=\:2

例題3.

如圖，△4BC中4E=即，BD.DC=1:3,陰影局部的面積占三角形ABC面積的幾分之

幾？

「分析」這道題目屬于知道一外比和一內(nèi)比的第一種類

型，

練習3

在三角形人8c中,AE=2EC,BF:FE=1:1,陰影局部占△ABC的幾分之兒?

練一練

根據(jù)以下圖中所給線段比例來標注各局部的面積份數(shù).

夕卜比:夕卜比:

例題4

如圖,445.中,AEJAC,求四邊形。*1）的面積是三角形ABC的幾分之3

幾.

「分析」這道題目屬于知道一外比和一內(nèi)比的第二種類型，按順序填份數(shù)就可以了.

練習4.

在三角形ABC中,AE」EC,C尸=3OF,四邊形ADFE的面積是三角形ABC的幾分之2

幾？

有些圖形不能直接使用燕尾模型，我們需要添加輔助線前方可使用燕尾模型.

例題5.

如圖，正方形相。）的邊長是6,E、尸分別是。C和A。邊的中點，陰影局部的面積是多

例題6.如圖，四邊形人品。中,=,AO=3A/，四邊形AE"的面積是12,BCDE

是平行四邊形.那么四邊形ABC。的面積是多少？

少？^^7777777777777777771

I■分析」連結(jié)AC,燕尾模型就出來了.

「分析」例題5中，我們通過連結(jié)正方形對角線構(gòu)造

出了燕尾模型.此題中，我們應該連結(jié)哪條線段呢？

含有“燕〃字的詩句

中國古代的詩句中，有很多都和燕子有關(guān)系.主要分為以下兩類：一、表現(xiàn)春光的美好,

傳達惜春之情.

相傳燕子于春天社日北來,秋天社日南歸，故很多詩人都把它當做春天的象征加以美化

和歌頌.如“冥冥花正開，颶颶燕新乳"（韋應物?長安遇馮著？），“燕子來時新社，梨花落

后清明"（晏殊?破陣子?），“鶯鶯燕燕春春,花花柳柳真真，事事豐豐韻韻"（喬吉?天凈

沙?即事？），“鳥啼芳樹丫，燕銜黃柳花"（張可久？憑欄人?暮春即事？），南宋詞人史達祖

更是以燕為詞，在?雙雙燕?詠燕？中寫到：“還相雕梁藻井，又軟語商量不定.飄然快拂花梢,

翠尾分開紅影."極研盡態(tài)，形神俱似.春天明媚燦爛,燕子嬌小可愛，加之文人多愁善感，春

天逝去，詩人自會傷感無限，故歐陽修有“笙歌散盡游人去，始覺春空.垂下簾樁，雙燕歸來

細雨中"（？采桑子？）之蹴嘆，喬吉有“燕藏春銜向誰家，鶯老羞尋伴，風寒懶報衙（采蜜），

啼煞饑鴉"（？水仙子？）之凄惶.

二、表現(xiàn)時事變遷，抒發(fā)昔盛今衰、人事代謝、亡國破家的感慨和悲憤.

燕子秋去春回，不忘舊巢,詩人抓住此特點,盡情宣泄心中的憤慨.最著名的當屬劉禹錫

的?烏衣巷？：“朱雀橋邊野草花,烏衣巷口夕陽斜.舊時王謝堂前燕,飛入尋常百姓家."另

外還有晏殊的“無可奈何花落去，似曾相識燕歸來，小園香徑獨徘徊（〃？浣溪沙？），李好

古的“燕子歸來銜繡幕，舊巢無覓處"（？謁金門?懷故居？），姜夔的“燕雁無心,太湖西畔，

隨云去.數(shù)峰清苦,商略黃昏雨”（？點絳唇？），張炎的“當年燕子知何處，但苔深韋曲，草

暗斜川”（?高陽臺？），文天祥的“山河風景元無異，城郭人民半已非.滿地蘆花伴我老，舊

家燕子傍誰飛？〃（？金陵驛？）.燕子無心,卻見證了時事的變遷，承受了國破家亡的苦難，

表現(xiàn)了詩人的“黍離”之悲，負載可謂重矣.

作業(yè)1.如圖,三角形ABC中2個三角形的面積,BO=2OD,那么三角形A0。的面

積是多少？三角形BOC的面積是多少？）;DC=27,請在圖上標出各個G三

作業(yè)2.如圖,三角形A8C中,EC=2AE,BD4。4的面積份數(shù)）

角形的面積份數(shù).（即三角形COE、COD.

BOD、

/」：入匕

8第,題圖'

作業(yè)3.如圖，三角形A8C的面積是30,AE=ECBC=3DC,那么三角形AEF的面積

是多少？

作業(yè)4.在"ABC中CE=34E,尸是八。的中點△A8C的面積是1,那么陰影局部的

面

積是多少？

作業(yè)5.在78c中，BD:DC=3：2,AE:CE=3:\,OB與OE的比是多少？

4

第3題圖第4題圖第5題圖

第二十五講燕尾模型

例題1.答案：56

詳解：=AD,所以S=COXS=56?

SCDACBEADXABE

KOBE

例題2.答案：12

詳解：連結(jié)C尸設S⑶尺面積為1份，如下圖標份

數(shù)，可得S=----------------6................x28=12平方厘米.

AABF1+1+6+4.5+1.5

例題3.答案：?

5

詳解：連結(jié)CE,如下圖標份數(shù).可知陰影的面

枳占三角形A6C面積的1?

5

B

例題4.答案：-

12

詳解：連結(jié)CE如下圖標份數(shù).可知四邊形CEF。占

三角形的一?

12

例題5.答案：24

詳解：設AC和CF的交點為0,連結(jié)OD,連結(jié)AC?設NPO的面積為1,標出份數(shù).可

看出三角形AOC的面積是三角形ACD的I,那么三角形AOC的面積是正方形的

3

1111122

1X1=1.所以陽影局部是正方形的1+1=2,面積是62X-=24?

2366233

例題6.答案：56

詳解：連結(jié)BD和40,利用燕尾模型中的比例關(guān)系,

可以標出448。中每一塊的份數(shù).由于BCDE是平

行四邊形，可知△BCD的面積也是7份.12+6x(2+

4+8+6+1+7)=56,四邊形

/WCD的面積是56.

練習