第05講有理數(shù)的乘方1.準(zhǔn)確理解有理數(shù)冪的概念，清晰區(qū)分底數(shù)、指數(shù)和冪，能正確闡述其數(shù)學(xué)意義。2.熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算規(guī)則，包括正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的乘方運(yùn)算方法。3.理解乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律，能快速判斷不同正負(fù)性底數(shù)、不同奇偶性指數(shù)的乘方結(jié)果符號(hào)。知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)乘方的意義1.乘方的定義求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方.一般地，a÷a÷a÷?÷an個(gè)a，記作，讀作“的次方”．當(dāng)看作的次方的結(jié)果時(shí),也可讀作“的次冪”2.乘方的意義乘方的結(jié)果叫做冪，在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù),是指因數(shù)的個(gè)數(shù).一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方.例如就是,就是,指數(shù)1通常省略不寫(xiě),指數(shù)是2時(shí)讀作平方,指數(shù)是3時(shí)讀作立方.乘方與冪不同,乘方是一種運(yùn)算,冪是乘方的結(jié)果，乘方與冪的關(guān)系就如同乘法與積的關(guān)系.注意：底數(shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)要加括號(hào)知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)(3)0的任何正整數(shù)次冪都是0在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí),應(yīng)將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算來(lái)完成,先確定冪的符號(hào),再計(jì)算冪的絕對(duì)值歸納1的任何次冪都是1.題型一、有理數(shù)冪的概念理解例1（2425六年級(jí)上·上海黃浦·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù) B．任何有理數(shù)都有倒數(shù)C．任何有理數(shù)的平方都是正數(shù) D．正數(shù)的相反數(shù)一定小于它本身【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類及相關(guān)的定義，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、一個(gè)有理數(shù)，除了0外，不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是任何有理數(shù)都有倒數(shù)，0是有理數(shù)，0就沒(méi)有倒數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、任何有理數(shù)的平方都是正數(shù)或零，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、正數(shù)的相反數(shù)一定小于它本身，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．11（2425六年級(jí)上·上海閔行·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．0既沒(méi)有倒數(shù)，也沒(méi)有相反數(shù)C．如果一個(gè)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)D．如果一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是【答案】B【分析】本題考查倒數(shù)、相反數(shù)、偶次冪、有理數(shù)的乘方，掌握倒數(shù)、相反數(shù)、偶次冪、有理數(shù)的乘方的意義是正確判斷的前提．根據(jù)倒數(shù)、相反數(shù)、偶次冪的意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．沒(méi)有倒數(shù)，但0的相反數(shù)是0，因此選項(xiàng)A不正確；C．如果一個(gè)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，那么這個(gè)數(shù)可能是正數(shù)，有可能是負(fù)數(shù)，因此選項(xiàng)C不正確；D．如果一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0或，因此選項(xiàng)D不正確；故選：B．12（2425六年級(jí)上·上海崇明·期末）若4個(gè)相乘，寫(xiě)成乘方的形式是，計(jì)算結(jié)果為．【分析】此題可根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；根據(jù)有理數(shù)的乘方定義和運(yùn)算法則直接解答即可．13（2425六年級(jí)上·上海寶山·期末）5個(gè)相乘用乘方的形式表示：．【分析】此題考查了乘方定義的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)．運(yùn)用乘方的定義進(jìn)行求解．題型二、有理數(shù)的乘方運(yùn)算例2（2425六年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）若互為相反數(shù)，為正整數(shù)，則（

）A．與互為相反數(shù) B．與互為相反數(shù)【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)概念，掌握有理數(shù)的乘方法則是解題關(guān)鍵；有理數(shù)的乘方法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0；然后根據(jù)相反數(shù)的定義結(jié)合有理數(shù)的乘方法則分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出正確答案．和不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；B、a，b互為相反數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，和不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；C、a，b互為相反數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，和不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；故選：D．21（2425六年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）下列各式中正確的是（

）．【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法和絕對(duì)值，根據(jù)偶次方的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行求解即可．故選：B．22（2425六年級(jí)上·上?！て谥校┫铝懈鲾?shù)中，數(shù)值相等的是（

）【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)的乘方法則和有理數(shù)的乘法法則逐項(xiàng)計(jì)算排查即可解答．故選：D．【答案】D故選：D【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，相反數(shù)定義，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示相反數(shù)，先求出各個(gè)數(shù)，然后寫(xiě)出相反數(shù)，再把各個(gè)數(shù)表示在數(shù)軸上即可．把各個(gè)數(shù)表示在數(shù)軸上，如圖所示：題型三、乘方的應(yīng)用A．6 B．4 C．2 D．8【答案】A【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，乘方運(yùn)算．根據(jù)尾數(shù)的循環(huán)性得出結(jié)論即可，【詳解】解：由題意知，個(gè)位數(shù)字每四個(gè)數(shù)按2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，∴的個(gè)位數(shù)字與相同，為6，故選：A．【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．故選：B．32（2425六年級(jí)上·上海嘉定·期末）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，則它體積是m3．【答案】/0.125【分析】本題考查冪的乘法與積的乘方、認(rèn)識(shí)立體圖形，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的面積公式進(jìn)行解題即可．【詳解】解：由題可知，故答案為：．33《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這句話的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長(zhǎng)為64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是米．【答案】2【分析】本題考查了有理數(shù)乘方，掌握有理數(shù)乘方的意義及性質(zhì)，理解題意寫(xiě)出算式是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意依次算出每一天剩余木棍的長(zhǎng)度，觀察規(guī)律即可求得第5天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度．……故答案為：2．(1)根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)是______；(2)按照上面的格式將十進(jìn)制數(shù)“4372”轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)是______；(3)在我國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖所示是遠(yuǎn)古時(shí)間一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，根據(jù)圖示，則孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是______天．【答案】(1)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用；（1）根據(jù)題目信息直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制的方法列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)滿五進(jìn)一可知，類似于五進(jìn)制數(shù)，然后仿照二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的方法列式計(jì)算即可．故答案為：；（3）解：因?yàn)閺挠蚁蜃罄K結(jié)的數(shù)量依次為2，3，1，題型四、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律例4任何一個(gè)有理數(shù)的偶次冪必是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何次冪都是0，從而可判斷．【詳解】解：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何次冪都是0，故任何一個(gè)有理數(shù)的偶數(shù)次冪必是非負(fù)數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)，解答的關(guān)鍵是對(duì)有理數(shù)的乘方的性質(zhì)的掌握．A．① B．② C．①、②都正確 D．①、②都不正確【答案】B【分析】根據(jù)三組數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律逐個(gè)判斷即可得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不對(duì)【答案】D【分析】n為正整數(shù)，可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，所以分當(dāng)n為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)兩種情況考慮，即可求解．【詳解】解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：1n+(?1)n+1=1+1=2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：1n+(?1)n+1=11=0；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．425.24中底數(shù)是，乘方結(jié)果的符號(hào)為．【答案】5.2負(fù)號(hào)【分析】利用乘方的意義判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：5.24中底數(shù)是5.2，乘方結(jié)果的符號(hào)為負(fù)號(hào)，故答案為：5.2，負(fù)號(hào)．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．43判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(3)；【答案】(1)正(2)負(fù)(3)負(fù)(4)負(fù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可．（3）解：∵表示的是的相反數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，的結(jié)果為正，所以的結(jié)果為負(fù)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)鍵．A組【答案】D故選：D．【答案】B【分析】本題主要考查了相反數(shù)的定義、有理數(shù)的乘方運(yùn)算、有理數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握特殊值法是解答本題的關(guān)鍵．故選B．3．（2425六年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．相反數(shù)等于本身的數(shù)只有 B．平方后等于本身的數(shù)只有，C．立方后等于本身的數(shù)是， D．絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有，【答案】D【分析】本題考查相反數(shù)，有理數(shù)的乘方運(yùn)算和絕對(duì)值的意義；根據(jù)相反數(shù)的定義：兩數(shù)之和為0，兩數(shù)互為相反數(shù)，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，以及絕對(duì)值的意義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．相反數(shù)等于本身的數(shù)只有0，選項(xiàng)正確，不符合題意；B．平方后等于本身的數(shù)只有0、1，選項(xiàng)正確，不符合題意；C．立方后等于本身的數(shù)是，，選項(xiàng)正確，不符合題意；D．絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B故（1）錯(cuò)誤；故（3）錯(cuò)誤；故（4）錯(cuò)誤；綜上可知，正確的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選B．【答案】6∴此時(shí)有4對(duì)整數(shù)對(duì)滿足題意；∴此時(shí)有2對(duì)整數(shù)對(duì)滿足題意；綜上所述，一共有6對(duì)整數(shù)對(duì)滿足題意，故答案為：6．【分析】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)比較大小，先根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算，進(jìn)而比較得出答案．【答案】8或/或8【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，先計(jì)算出x和y的值，再進(jìn)行乘方運(yùn)算．故答案為：8或．B組計(jì)算機(jī)常用二進(jìn)制來(lái)表示字符代碼，它是用0和1兩個(gè)數(shù)來(lái)表示數(shù)，滿二進(jìn)一，；其他進(jìn)制也有類似的算法…(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“10110”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是________；(2)【遷移】按照上面的格式將八進(jìn)制數(shù)“4372”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；(3)【應(yīng)用】在我國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖所示是遠(yuǎn)古時(shí)期一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，根據(jù)圖示，求孩子已經(jīng)出生的天數(shù)．【答案】(1)(3)42天【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用；（1）根據(jù)題目信息直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的方法列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)滿五進(jìn)