第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析（全卷滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答（答題注意事項(xiàng)見(jiàn)答題卡），在本試卷、草稿紙上作答無(wú)效．3．不能使用計(jì)算器．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，錯(cuò)選、多選或未選均不得分．）1.5的相反數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.52.在第個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”來(lái)臨之際，某校組織各班圍繞“關(guān)注普遍的眼健康”開(kāi)展了手抄報(bào)評(píng)比，其中九年級(jí)6個(gè)班得分為：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.103.如圖是一個(gè)正三棱柱，則它的俯視圖是（）A. B. C. D.4.2025年5月4日，平陸運(yùn)河青年樞紐電站順利完成并網(wǎng)調(diào)試，具備發(fā)電條件．該電站設(shè)計(jì)年發(fā)電量1300萬(wàn)千瓦時(shí)，年減排二氧化碳1.17萬(wàn)噸．?dāng)?shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.有兩個(gè)容量足夠大的玻璃杯，分別裝有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此時(shí)兩個(gè)玻璃杯中水質(zhì)量的大小關(guān)系的是（）A. B. C. D.6.在中，，則（）A. B. C. D.7.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.3 B.4 C.6 D.78.在跳遠(yuǎn)比賽中，某同學(xué)從點(diǎn)C處起跳后，在沙池留下的腳印如圖所示，測(cè)量線(xiàn)段的長(zhǎng)度作為他此次跳遠(yuǎn)成績(jī)（最近著地點(diǎn)到起跳線(xiàn)的最短距離），依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是（）A垂線(xiàn)段最短 B.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)C.兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 D.兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等9.生態(tài)學(xué)家G.F.Gause通過(guò)多次單獨(dú)培養(yǎng)大草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，研究其種群數(shù)量隨時(shí)間的變化情況，得到了如圖所示的“S”形曲線(xiàn)．下列說(shuō)法正確的是（）A.第5天的種群數(shù)量為300個(gè) B.前3天種群數(shù)量持續(xù)增長(zhǎng)C.第3天的種群數(shù)量達(dá)到最大 D.每天增加的種群數(shù)量相同10.因式分解：（）A. B. C. D.11.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C.20 D.2512.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“雙曲線(xiàn)階梯”的所有線(xiàn)段均與軸平行或垂直，且滿(mǎn)足，點(diǎn)，，，均在雙曲線(xiàn)的一支上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則第三級(jí)階梯的高（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）13.______．14.寫(xiě)出一個(gè)使分式有意義的的值，可以是______．15.從三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)，則選出的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為_(kāi)_____．16.如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則_________．三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（）計(jì)算：（）化簡(jiǎn)：18.繡球是廣西民族文化的特色載體．如圖，設(shè)計(jì)某種繡球葉瓣時(shí)，可以先在圖紙上建立平面直角坐標(biāo)系，再分別以原點(diǎn)，為圓心、以為半徑作圓，兩圓相交于兩點(diǎn)，其公共部分構(gòu)成葉瓣①（陰影部分），同理得到葉瓣②．（1）寫(xiě)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求葉瓣①的周長(zhǎng)；（結(jié)果保留）（3）請(qǐng)描述葉瓣②還可以由葉瓣①經(jīng)過(guò)怎樣圖形變化得到．19.某班需從甲、乙兩名同學(xué)中推薦一人參加校史館講解員的選拔，班委決定從口頭表達(dá)能力、思維能力、表現(xiàn)力、儀容儀表四項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行考查．全班同學(xué)投票確定了各項(xiàng)所占的百分比，結(jié)果如圖，再對(duì)甲、乙進(jìn)行考查并逐項(xiàng)打分，成績(jī)?nèi)鐖D．（1）在所考查的四項(xiàng)內(nèi)容中，甲比乙更具優(yōu)勢(shì)的有哪些？（2）按照?qǐng)D的各項(xiàng)占比計(jì)算甲、乙的綜合成績(jī)，并確定推薦人選．20.如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，．（1）求證：；（2）求度數(shù)．21.自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自駕游廣西的外省籍小客車(chē)，可享受高速公路車(chē)輛通行費(fèi)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)高速費(fèi)）優(yōu)惠．小悅一家5月中旬從湖南自駕到廣西探親游玩，此次全程所產(chǎn)生的高速費(fèi)享受的優(yōu)惠如下：湖南境內(nèi)路段廣西境內(nèi)特定路段廣西境內(nèi)其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悅一家從湖南Z市到廣西A市，所經(jīng)湖南境內(nèi)路段、廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的高速費(fèi)原價(jià)分別為a元、b元和c元．求此行程的高速費(fèi)實(shí)付多少元？（2）周日他們從A市到K市（全程在廣西境內(nèi)），高速費(fèi)實(shí)付27.55元；周一從K市原路返回到A市，高速費(fèi)實(shí)付95.95元．求此行程中A市與K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是多少元．22.綜合與實(shí)踐樹(shù)人中學(xué)組織一次“愛(ài)心義賣(mài)”活動(dòng)．九（5）班分配到了一塊矩形義賣(mài)區(qū)和一把遮陽(yáng)傘，遮陽(yáng)傘在地面上的投影是一個(gè)平行四邊形（如圖1）初始時(shí)，矩形義賣(mài)區(qū)與遮陽(yáng)傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場(chǎng)地限制，參加義賣(mài)的同學(xué)只能左右平移遮陽(yáng)傘．在移動(dòng)過(guò)程中，也隨之移動(dòng)（始終在邊所在直線(xiàn)上），且形狀大小保持不變，但落在義賣(mài)區(qū)內(nèi)的部分（遮陽(yáng)區(qū)）會(huì)呈現(xiàn)不同的形狀．如圖3為移動(dòng)到落在上的情形．【問(wèn)題提出】西西同學(xué)打算用數(shù)學(xué)方法，確定遮陽(yáng)區(qū)面積最大時(shí)的位置．設(shè)遮陽(yáng)區(qū)的面積為，從初始時(shí)向右移動(dòng)的距離為．【直觀(guān)感知】（1）從初始起右移至圖3情形的過(guò)程中，隨的增大如何變化？【初步探究】（2）求圖3情形的與的值；【深入研究】（3）從圖3情形起右移至與重合，求該過(guò)程中關(guān)于解析式；【問(wèn)題解決】（4）當(dāng)遮陽(yáng)區(qū)面積最大時(shí)，向右移動(dòng)了多少？（直接寫(xiě)出結(jié)果）23.【平行六邊形】如圖1，在凸六邊形中，滿(mǎn)足，我們稱(chēng)這樣的凸六邊形叫做“平行六邊形”，其中與，與，與叫做“主對(duì)邊”；和，和，和叫做“主對(duì)角”；叫做“主對(duì)角線(xiàn)”．（1）類(lèi)比平行四邊形性質(zhì)，有如下猜想，請(qǐng)判斷正誤并在橫線(xiàn)上填寫(xiě)“正確”或“錯(cuò)誤”．猜想判斷正誤①平行六邊形的三組主對(duì)邊分別相等_________②平行六邊形的三組主對(duì)角分別相等_________③平行六邊形的三條主對(duì)角線(xiàn)互相平分_________【菱六邊形】六條邊都相等的平行六邊形叫做“菱六邊形”．（2）如圖2，已知平行六邊形滿(mǎn)足．求證：平行六邊形是菱六邊形：（3）如圖3是一張邊長(zhǎng)為三角形紙片．剪裁掉三個(gè)小三角形，使剪裁后的紙片為菱六邊形．請(qǐng)?jiān)诩舨玫舻男∪切沃?，任選一個(gè)，求它的各邊長(zhǎng)．2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析1.5的相反數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.5【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了相反數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的定義，數(shù)值相等但符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：5的相反數(shù)是．故選：A2.在第個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”來(lái)臨之際，某校組織各班圍繞“關(guān)注普遍的眼健康”開(kāi)展了手抄報(bào)評(píng)比，其中九年級(jí)6個(gè)班得分為：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了求眾數(shù)．根據(jù)眾數(shù)的定義，即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，，，，．統(tǒng)計(jì)各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)：出現(xiàn)1次，出現(xiàn)1次，出現(xiàn)3次，出現(xiàn)1次．其中9出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故選：C．3.如圖是一個(gè)正三棱柱，則它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的三視圖．根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形結(jié)合幾何體是特征即可作出判斷．【詳解】解：它的俯視圖是故選：D4.2025年5月4日，平陸運(yùn)河青年樞紐電站順利完成并網(wǎng)調(diào)試，具備發(fā)電條件．該電站設(shè)計(jì)年發(fā)電量1300萬(wàn)千瓦時(shí)，年減排二氧化碳1.17萬(wàn)噸．?dāng)?shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，將13000000用科學(xué)記數(shù)法表示，需滿(mǎn)足形式（其中，為整數(shù)）．【詳解】解：確定和：將13000000的小數(shù)點(diǎn)從末尾向左移動(dòng)位，得到，此時(shí)，故科學(xué)記數(shù)法為．故選：C．5.有兩個(gè)容量足夠大的玻璃杯，分別裝有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此時(shí)兩個(gè)玻璃杯中水質(zhì)量的大小關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．根據(jù)不等式的性質(zhì)，在兩邊同時(shí)加上相同的正數(shù)，不等式方向不變，即可求解．【詳解】解：∵初始時(shí)，兩杯水的質(zhì)量分別為克和克，∴加入克水后，兩杯水的質(zhì)量變?yōu)榭撕涂?，∵，∴，故選：A6.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義．根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接進(jìn)行解答，即可．【詳解】解：∵在中，，∴．故選：B7.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.3 B.4 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．將點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式，解方程即可求出b的值．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴將，代入解析式，得：，解得：，故選：D．8.在跳遠(yuǎn)比賽中，某同學(xué)從點(diǎn)C處起跳后，在沙池留下的腳印如圖所示，測(cè)量線(xiàn)段的長(zhǎng)度作為他此次跳遠(yuǎn)成績(jī)（最近著地點(diǎn)到起跳線(xiàn)的最短距離），依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是（）A.垂線(xiàn)段最短 B.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)C.兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 D.兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【答案】A【解析】2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查垂線(xiàn)段最短，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：測(cè)量線(xiàn)段的長(zhǎng)度作為他此次跳遠(yuǎn)成績(jī)（最近著地點(diǎn)到起跳線(xiàn)的最短距離），依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是垂線(xiàn)段最短．故選：A9.生態(tài)學(xué)家G.F.Gause通過(guò)多次單獨(dú)培養(yǎng)大草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，研究其種群數(shù)量隨時(shí)間變化情況，得到了如圖所示的“S”形曲線(xiàn)．下列說(shuō)法正確的是（）A.第5天的種群數(shù)量為300個(gè) B.前3天種群數(shù)量持續(xù)增長(zhǎng)C.第3天的種群數(shù)量達(dá)到最大 D.每天增加的種群數(shù)量相同【答案】B【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息，認(rèn)真讀題，分析每個(gè)階段的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖像，逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.第5天的種群數(shù)量在之間，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；B.前3天種群數(shù)量持續(xù)增長(zhǎng)，選項(xiàng)說(shuō)法正確，故符合題意；C.第5天的種群數(shù)量達(dá)到最大，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；D.由圖可得，每天增加的種群數(shù)量不相同，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；故選：B．10.因式分解：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了因式分解．利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：．故選：A11.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．故選：C12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“雙曲線(xiàn)階梯”的所有線(xiàn)段均與軸平行或垂直，且滿(mǎn)足，點(diǎn)，，，均在雙曲線(xiàn)的一支上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則第三級(jí)階梯的高（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了雙曲線(xiàn)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度，解題的關(guān)鍵是得出雙曲線(xiàn)的解析式．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得雙曲線(xiàn)的解析式，結(jié)合已知的線(xiàn)段長(zhǎng)度求出點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式可得縱坐標(biāo)，作差即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，∴，∴雙曲線(xiàn)，∵“雙曲線(xiàn)階梯”的所有線(xiàn)段均與軸平行或垂直，且，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，故選：．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）13.______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可，掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．14.寫(xiě)出一個(gè)使分式有意義的的值，可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義分母的值不等于，求出的取值范圍，進(jìn)而寫(xiě)出符合條件的一個(gè)的值即可，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使分式有意義，則，∴，∴的值可以是，故答案為：．15.從三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)，則選出的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了用樹(shù)狀圖或列表法求概率，畫(huà)出樹(shù)狀圖，根據(jù)樹(shù)狀圖解答即可求解，掌握樹(shù)狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中選出的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的結(jié)果有種，∴選出的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為，故答案為：．16.如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則_________．【答案】##【解析】2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及勾股定理，過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)交于點(diǎn)，先證明，得到，證明在同一線(xiàn)上，根據(jù)勾股定理得到，最后通過(guò)線(xiàn)段和和差即可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)交于點(diǎn)，即，即是的垂直平分線(xiàn)，∵，在同一線(xiàn)上，，故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（）計(jì)算：（）化簡(jiǎn)：【答案】（）；（）【解析】【分析】（）先算乘法，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可；（）先算乘法，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）原式；（）原式．18.繡球是廣西民族文化的特色載體．如圖，設(shè)計(jì)某種繡球葉瓣時(shí)，可以先在圖紙上建立平面直角坐標(biāo)系，再分別以原點(diǎn)，為圓心、以為半徑作圓，兩圓相交于兩點(diǎn)，其公共部分構(gòu)成葉瓣①（陰影部分），同理得到葉瓣②．（1）寫(xiě)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求葉瓣①的周長(zhǎng)；（結(jié)果保留）（3）請(qǐng)描述葉瓣②還可以由葉瓣①經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到．【答案】（1）（2）（3）葉瓣②還可以由葉瓣①逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到【解析】【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、旋轉(zhuǎn)：（1）先證明四邊形是正方形即可得到坐標(biāo)；（2）根據(jù)，算出圓周長(zhǎng)即可得到葉瓣的周長(zhǎng)；（3）利用旋轉(zhuǎn)即可．【小問(wèn)1詳解】以原點(diǎn)，為圓心、以為半徑作圓，兩圓相交于兩點(diǎn)是正方形【小問(wèn)2詳解】原點(diǎn)，圓心、以為半徑作圓兩個(gè)圓是等圓葉瓣①的周長(zhǎng)為：【小問(wèn)3詳解】葉瓣②還可以由葉瓣①逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．19.某班需從甲、乙兩名同學(xué)中推薦一人參加校史館講解員的選拔，班委決定從口頭表達(dá)能力、思維能力、表現(xiàn)力、儀容儀表四項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行考查．全班同學(xué)投票確定了各項(xiàng)所占的百分比，結(jié)果如圖，再對(duì)甲、乙進(jìn)行考查并逐項(xiàng)打分，成績(jī)?nèi)鐖D．（1）在所考查的四項(xiàng)內(nèi)容中，甲比乙更具優(yōu)勢(shì)的有哪些？（2）按照?qǐng)D的各項(xiàng)占比計(jì)算甲、乙的綜合成績(jī)，并確定推薦人選．【答案】（1）口頭表達(dá)能力和儀容儀表（2）推薦乙同學(xué)參加【解析】【分析】（）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖分析判斷即可；（）求出甲、乙同學(xué)的平均成績(jī)，進(jìn)而即可判斷求解；本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，加權(quán)平均數(shù)，看懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，甲在口頭表達(dá)能力和儀容儀表方面得分高于乙，∴甲比乙更具優(yōu)勢(shì)的有口頭表達(dá)能力和儀容儀表；【小問(wèn)2詳解】解：甲的平均成績(jī)?yōu)榉郑业钠骄煽?jī)?yōu)榉?，∵，∴推薦乙同學(xué)參加．20.如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形等邊對(duì)等角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件利用證明全等即可；（2）根據(jù)，求出，再利用全等求出，最后利用等邊對(duì)等角即可求．【小問(wèn)1詳解】證明：的半徑為，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，，，，是等腰三角形，．21.自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自駕游廣西的外省籍小客車(chē)，可享受高速公路車(chē)輛通行費(fèi)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)高速費(fèi)）優(yōu)惠．小悅一家5月中旬從湖南自駕到廣西探親游玩，此次全程所產(chǎn)生的高速費(fèi)享受的優(yōu)惠如下：湖南境內(nèi)路段廣西境內(nèi)特定路段廣西境內(nèi)其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悅一家從湖南Z市到廣西A市，所經(jīng)湖南境內(nèi)路段、廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的高速費(fèi)原價(jià)分別為a元、b元和c元．求此行程的高速費(fèi)實(shí)付多少元？（2）周日他們從A市到K市（全程在廣西境內(nèi)），高速費(fèi)實(shí)付27.55元；周一從K市原路返回到A市，高速費(fèi)實(shí)付95.95元．求此行程中A市與K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是多少元．【答案】（1）（2）特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是元和元【解析】【分析】本題考查了代數(shù)式、二元一次方程組：（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列出方程組求解即可．【小問(wèn)1詳解】此次行程高速費(fèi)原價(jià)總共為：元實(shí)際支付高速費(fèi)用：元【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別元和元解得：故此行程中市與市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是元和元．22.綜合與實(shí)踐樹(shù)人中學(xué)組織一次“愛(ài)心義賣(mài)”活動(dòng)．九（5）班分配到了一塊矩形義賣(mài)區(qū)和一把遮陽(yáng)傘，遮陽(yáng)傘在地面上的投影是一個(gè)平行四邊形（如圖1）初始時(shí)，矩形義賣(mài)區(qū)與遮陽(yáng)傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場(chǎng)地限制，參加義賣(mài)的同學(xué)只能左右平移遮陽(yáng)傘．在移動(dòng)過(guò)程中，也隨之移動(dòng)（始終在邊所在直線(xiàn)上），且形狀大小保持不變，但落在義賣(mài)區(qū)內(nèi)的部分（遮陽(yáng)區(qū)）會(huì)呈現(xiàn)不同的形狀．如圖3為移動(dòng)到落在上的情形．【問(wèn)題提出】西西同學(xué)打算用數(shù)學(xué)方法，確定遮陽(yáng)區(qū)面積最大時(shí)的位置．設(shè)遮陽(yáng)區(qū)的面積為，從初始時(shí)向右移動(dòng)的距離為．【直觀(guān)感知】（1）從初始起右移至圖3情形的過(guò)程中，隨的增大如何變化？【初步探究】（2）求圖3情形的與的值；【深入研究】（3）從圖3情形起右移至與重合，求該過(guò)程中關(guān)于的解析式；【問(wèn)題解決】（4）當(dāng)遮陽(yáng)區(qū)面積最大時(shí)，向右移動(dòng)了多少？（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）隨的增大而增大；（2），；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的面積公式得，然后分別求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的解析式，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得答案；（3）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)向右移動(dòng)后得到，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，此時(shí)遮陽(yáng)區(qū)的面積為六邊形的面積，推出，，得，，再根據(jù)即可得出結(jié)論；（4）分別確定：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，各個(gè)范圍內(nèi)的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，在邊所在直線(xiàn)上，∴，，，又∵如圖2，在上，，，∴，，當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，此時(shí)遮陽(yáng)區(qū)的面積為的面積，∵，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，的值從增大到；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，則，，，此時(shí)遮陽(yáng)區(qū)的面積為四邊形的面積，∵，∴四邊形為梯形，∴，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，的值從增大到；綜上所述，從初始起右移至圖3情形的過(guò)程中，隨的增大而增大；（2）如圖3，此時(shí)點(diǎn)落在上，則，由（1）知：當(dāng)時(shí)，；∴圖3情形時(shí)，，；（3）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)向右移動(dòng)后得到，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，此時(shí)遮陽(yáng)區(qū)的面積為六邊形的面積，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，∴從圖3情形起右移至與重合，該過(guò)程中關(guān)于的解析式為；（4）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為：；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為：；當(dāng)時(shí)，，∵∴當(dāng)時(shí)，的最大值為：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∴當(dāng)遮陽(yáng)區(qū)面積最大時(shí)，向右移動(dòng)了．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的最值，等積變換等知識(shí)點(diǎn)，利用分類(lèi)討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．23.【平行六邊形】如圖1，在凸六邊形中，滿(mǎn)足，我們稱(chēng)這樣的凸六邊形叫做“平行六邊形”，其中與，與，與叫做“主對(duì)邊”；和，和，和叫做“主對(duì)角”；叫做“主對(duì)角線(xiàn)”．（1）類(lèi)比平行四邊形性質(zhì)，有如下猜想，請(qǐng)判斷正誤并在橫線(xiàn)上填寫(xiě)“正確”或“錯(cuò)誤”．猜想判斷正誤①平行六邊形的三組主對(duì)邊分別相等_________②平行六邊形的三組主對(duì)角分別相等_________③平行六邊形的三條主對(duì)角線(xiàn)互相平分_________【菱六邊形】六條邊都相等的平行六邊形叫做“菱六邊形”．（2）如圖2，已知平行六邊形滿(mǎn)足．求證：平行六邊形是菱六邊形：（3）如圖3是一張邊長(zhǎng)為的三角形紙片．剪裁掉三個(gè)小三角形，使剪裁后的紙片為菱六邊形．請(qǐng)?jiān)诩舨玫舻男∪切沃?，任選一個(gè)，求它的各邊長(zhǎng)．【答案】（1）錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤（2）詳見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定以及解方程：（1）連接，根據(jù)相似三角形和平行線(xiàn)的性質(zhì)即可判斷；（2）先證明為平行四邊形，再證明為平行四邊形，即可證明是菱六邊形；（3）根據(jù)菱六邊形得到，設(shè)，根據(jù)解得，代入即可．小問(wèn)1詳解】解：連接，交于點(diǎn)，由圖可知：①平行于，只能知道，其他對(duì)邊同理，故平行六邊形的三組主對(duì)邊分別相等是錯(cuò)誤的；②平行于，，同理可得，其他對(duì)角同理，故平行六邊形的三組主對(duì)角分別相等是正確的；③由①可知，平行六邊形的三條主對(duì)角線(xiàn)互相平分是錯(cuò)誤的．【小問(wèn)2詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作平行且相等于，連接，則平行四邊形是平行四邊形，平行于，，在平行六邊形中，平行于，，平行且相等于，為平行四邊形，平行于，，在平行六邊形中，平行于，平行于，平行于，平行于，為平行四邊形，，，，，平行六邊形是菱六邊形．2025年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)三角形紙片為，裁剪后的紙片為菱六邊形，平行于，平行于，，，，設(shè)，則，，，，解得：，．系統(tǒng)的提升策略：強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、優(yōu)化解題方法和技巧、加強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用能力等。通過(guò)案例分析驗(yàn)證了這些方法的有效性，并提出了針對(duì)性的教學(xué)建議。本研究為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論指導(dǎo)和實(shí)踐參考，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和學(xué)習(xí)效果。關(guān)鍵詞

初中數(shù)學(xué)；解題能力；思維訓(xùn)練；教學(xué)方法；學(xué)習(xí)策略引言數(shù)學(xué)解題能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力之一，也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo)。在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力不僅關(guān)系到當(dāng)前的學(xué)業(yè)成績(jī)，更對(duì)其未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和邏輯思維發(fā)展具有深遠(yuǎn)影響。然而，當(dāng)前許多初中生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中面臨著諸多困難，如基礎(chǔ)知識(shí)薄弱、思維方法不當(dāng)、解題策略缺乏等問(wèn)題。這些問(wèn)題嚴(yán)重制約了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。本文旨在探討提高初中數(shù)學(xué)解題能力的有效方法，通過(guò)分析影響解題能力的關(guān)鍵因素，提出系統(tǒng)性的提升策略，并結(jié)合實(shí)際案例驗(yàn)證其有效性。研究采用文獻(xiàn)分析、案例研究和教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合的方法，力求為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供切實(shí)可行的指導(dǎo)建議。研究結(jié)果表明，通過(guò)科學(xué)的方法和系統(tǒng)的訓(xùn)練，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和興趣。一、數(shù)學(xué)解題能力的理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)解題能力的理論基礎(chǔ)主要來(lái)源于認(rèn)知心理學(xué)和教育心理學(xué)的研究成果。根據(jù)波利亞的解題理論，數(shù)學(xué)解題過(guò)程可以分為理解問(wèn)題、制定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧反思四個(gè)階段。這一理論強(qiáng)調(diào)了思維過(guò)程在解題中的重要性，為培養(yǎng)學(xué)生解題能力提供了框架指導(dǎo)。認(rèn)知負(fù)荷理論指出，學(xué)習(xí)者在解題過(guò)程中需要合理分配認(rèn)知資源。當(dāng)基礎(chǔ)知識(shí)的自動(dòng)化程度高時(shí)，學(xué)生可以將更多注意力集中在問(wèn)題解決策略上。因此，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是提高解題能力的前提條件。元認(rèn)知理論則強(qiáng)調(diào)，優(yōu)秀的解題者具備監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己思維過(guò)程的能力，能夠根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)選擇合適的解題策略。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識(shí)是學(xué)習(xí)者在特定情境中主動(dòng)建構(gòu)的。這一觀(guān)點(diǎn)提示我們，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)和發(fā)展思維。這些理論共同構(gòu)成了提高數(shù)學(xué)解題能力的理論基礎(chǔ)，為后續(xù)的實(shí)踐策略提供了科學(xué)依據(jù)。二、影響初中生數(shù)學(xué)解題能力的關(guān)鍵因素初中生數(shù)學(xué)解題能力受到多方面因素的影響，其中最為關(guān)鍵的是基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度?；A(chǔ)知識(shí)包括數(shù)學(xué)概念、公式、定理等的理解和記憶，它們是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具和材料。調(diào)查顯示，許多解題困難的學(xué)生往往在基礎(chǔ)知識(shí)方面存在缺陷，如概念理解不準(zhǔn)確、公式記憶不牢固等。這些基礎(chǔ)薄弱會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在解題過(guò)程中頻繁受阻，難以有效推進(jìn)解題過(guò)程。思維習(xí)慣是另一個(gè)重要影響因素。良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣包括邏輯性、系統(tǒng)性、靈活性和批判性等方面。然而，許多初中生缺乏系統(tǒng)的思維訓(xùn)練，在解題時(shí)表現(xiàn)出思維混亂、方法單一、缺乏驗(yàn)證意識(shí)等問(wèn)題。例如，一些學(xué)生習(xí)慣性地套用固定解法，遇到變式問(wèn)題就束手無(wú)策；另一些學(xué)生則缺乏對(duì)解題過(guò)程的反思習(xí)慣，導(dǎo)致同類(lèi)錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)。心理素質(zhì)同樣對(duì)解題能力產(chǎn)生重要影響。數(shù)學(xué)解題往往需要耐心、毅力和自信心。研究表明，數(shù)學(xué)焦慮是阻礙學(xué)生解題能力發(fā)展的重要因素之一。具有較高數(shù)學(xué)焦慮的學(xué)生在面對(duì)難題時(shí)容易產(chǎn)生逃避心理，影響其正常思維能力的發(fā)揮。此外，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和自我效能感也會(huì)顯著影響學(xué)生的解題表現(xiàn)和持久力。三、提高初中數(shù)學(xué)解題能力的系統(tǒng)策略基于上述分析，我們提出以下系統(tǒng)性的提高策略。強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練是提高解題能力的根基。教師應(yīng)采用多樣化的教學(xué)方法，如概念圖、思維導(dǎo)圖等，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，通過(guò)適量的基礎(chǔ)練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握和靈活運(yùn)用。特別要注意及時(shí)反饋和糾正，確保學(xué)生從一開(kāi)始就建立正確的概念理解和方法應(yīng)用。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力是提升解題能力的核心。教師應(yīng)有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維、空間想象、抽象概括等數(shù)學(xué)思維能力?？梢酝ㄟ^(guò)"一題多解"、"多題一解"等訓(xùn)練方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性。此外，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)思維過(guò)程，如"說(shuō)題"訓(xùn)練，有助于提高其思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。優(yōu)化解題方法和技巧是提高解題效率的關(guān)鍵。教師應(yīng)系統(tǒng)地教授各類(lèi)問(wèn)題的解題策略，如代數(shù)問(wèn)題中的設(shè)元技巧、幾何問(wèn)題中的輔助線(xiàn)作法等。特別要重視解題的一般步驟訓(xùn)練：審題分析、制定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)算、驗(yàn)證結(jié)果。通過(guò)解題后的反思環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，形成個(gè)性化的解題策略庫(kù)。加強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用能力是鞏固解題能力的重要途徑。教師應(yīng)設(shè)計(jì)貼近生活實(shí)際的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽和趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)，在挑戰(zhàn)中提升解題能力和興趣。四、案例分析為驗(yàn)證上述策略的有效性，我們選取了某初中二年級(jí)兩個(gè)平行班進(jìn)行對(duì)比研究。實(shí)驗(yàn)班（45人）采用系統(tǒng)性的解題能力培養(yǎng)方案，對(duì)照班（43人）維持常規(guī)教學(xué)。經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的實(shí)踐，結(jié)果顯示實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)平均提高了12.5分，顯著高于對(duì)照班的4.3分（p<0.01）。在具體能力方面，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在應(yīng)用題解答、證明題推理等方面的進(jìn)步尤為明顯。例如，在幾何證明題中，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生更善于分析已知條件和求證目標(biāo)之間的關(guān)系，能夠運(yùn)用多種方法進(jìn)行證明。一個(gè)典型案例是學(xué)生李某，在實(shí)驗(yàn)初期面對(duì)幾何證明題常常無(wú)從下手，經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的思維訓(xùn)練后，逐漸養(yǎng)成了"從結(jié)論反推條件"的思維習(xí)慣，解題能力顯著提高。垂直對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。折疊問(wèn)題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說(shuō)理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題.

考查的著眼點(diǎn)日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對(duì)于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問(wèn)題的能力都提出了比以往更高的要求.數(shù)軸：①畫(huà)一條水平直線(xiàn)，在直線(xiàn)上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線(xiàn)上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸。②任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。③如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)距離相等。④數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

■絕對(duì)值：①在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。②正數(shù)的絕對(duì)值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)、0的絕對(duì)值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小。

■有理數(shù)的運(yùn)算：●加法：①同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，把絕對(duì)值相加。②異號(hào)相加，絕對(duì)值相等