相似三角形最值問題（分層練習(xí)）（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·遼寧營口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸和軸分別交于、兩點，點的坐標(biāo)為，點分別在直線軸上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形中，是的中點，，是線段上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．3．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在中，，，于，是線段上一個動點，以為直角頂點向下作等腰，連結(jié)，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．5．（2018秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A（－3，0）、B（0，4）、P（4，0），AB＝5，M、N兩點分別在線段AB、y軸上，則PN＋MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．56．（2019·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．17．（2018春·九年級單元測試）如圖，，的頂點在射線上，射線和射線分別交射線于點、，當(dāng)繞點轉(zhuǎn)動時．若，則的最小值是（）A． B． C． D．8．（2017秋·浙江溫州·九年級階段練習(xí)）如圖，ABCD是邊長為1的正方形，對角線AC所在的直線上有兩點M、N，使∠MBN=135°.則MN的最小值是（

）.A．1+ B．2+ C．3+ D．29．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，，，直線與交于點H，在繞C點旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．10．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙縣湘郡未來實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019·四川瀘州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，分別是，上的點，且，如果，，的周長分別記為，，，則的最大值是.12．（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，以點為圓心，以合適的長為半徑畫弧，分別交于點，分別以E、F為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧相交于點，過點作，交于點，若，則長度的最小值為．

13．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，E、F分別是AB、CD邊上的動點，，則的最小值為．14．（2022·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形為正方形，點E在邊的延長線上，連接并延長交直線于點F，若，則面積的最小值為．15．（2020秋·安徽亳州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4；則①PA+PB+PC+PD的最小值為；②若△PAB∽△PDA，則PA＝．16．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為8，BD平分若M、N分別是BD、BC上的動點，則的最小值是．17．（2021秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一三四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對角線BD平移，點A′，B′分別對應(yīng)點A，B給出下列結(jié)論：①順次連接點A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線AA′的對稱點的距離為50；③A′C﹣B′C的最大值為15；④A′C+B′C的最小值為9．其中正確結(jié)論的序號是18．（2023秋·安徽蕪湖·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，，是的中點，點在邊上，且，為對角線上一點，則的最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·九年級單元測試）如圖，，射線于點，是線段上一點，是射線上一點，且滿足.（1）若，求的長；（2）當(dāng)?shù)拈L為何值時，的長最大，并求出這個最大值.20．（8分）（2020·福建漳州·統(tǒng)考二模）在中，，，以為邊在的另一側(cè)作，點為射線上任意一點，在射線上截取，連接．（1）如圖1，當(dāng)點落在線段的延長線上時，直接寫出的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點落在線段（不含邊界）上時，與于點，請問（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最大值．

21．（10分）（2022春·九年級課時練習(xí)）（1）如圖，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的動點，且∠EDF＝90°．求證：DE＝DF；（2）如圖2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求證：DF?DA＝DB?DE；②求EF的最小值．參考答案1．B【分析】過C點作于D，利用求出長，就是的最小值．解：如圖，過C點作于D，

∵垂線段最短，∴的最小值，∵一次函數(shù)與x軸和y軸分別交于A、B兩點，∴，，∴，，∴，∵點的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即的最小值．故選：B．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，軸對稱-最短路徑問題，掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．2．C【分析】當(dāng)時，最短，利用相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理即可求得最小值．解：當(dāng)時，最短，；四邊形為正方形，，，，，∴，；∵為的中點，，；，即，在中，由勾股定理得：，解得：；故選：C．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，確定垂直最短，從而運用相似三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．3．A【分析】連接BF交ED于點0，設(shè)EF與AC交于點G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，連接BF交ED于點O，設(shè)EF與AC交于點G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點F在∠ABC的平分線上運動，∴當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】當(dāng)時，DE有最小值，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：連接AE∵∴∵∴∴∴∴∴E點的運動軌跡為射線AE∴當(dāng)DE最短時，即當(dāng)時，DE有最小值∵在中，∴∵∴是等腰直角三角形∴∴DE的最小值是2故答案為：B．

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以線段的最值問題，掌握相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】如圖，連接PN，作NM⊥AB于M，作PM′⊥AB于M′交y軸于點N′．根據(jù)垂線段最短可知，PN＋MN的最小值為線段PM′的長，再證明△ABO∽△APM′，可得，由此即可解決問題；解：如圖，連接PN，作NM⊥AB于M，作PM′⊥AB于M′交y軸于點N′．∵PN＋MN≥PN′＋N′M′，即PN＋MN≥PM′，根據(jù)垂線段最短可知，PN＋MN的最小值為線段PM′的長，∵∠BAO＝∠PAM′，∠AOB＝∠AM′P＝90°，∴△ABO∽△APM′，∴，∴，∴PM′＝∴PN＋MN的最小值為，故選B．【點撥】本題考查垂線段最短，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用垂線段最短解決問題．6．C【分析】如圖，延長FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC得到求出FM即可解決問題．解：如圖，延長FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。cP在以F為圓心CF為半徑的圓上，當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。摺螦＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴FM＝3.2，∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2∴點P到邊AB距離的最小值是1.2．故選C．【點撥】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點P位置，屬于中考常考題型．7．A【分析】由∠PAQ=∠MBN=30°、∠ACB=∠BCD證△ABC∽△BDC得，即CA?CD=BC2，當(dāng)BC⊥AQ時，BC取得最小值，結(jié)合Rt△ABC中得BC的最小值為，即可得答案．解：∵∠PAQ=∠MBN=30°，∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，∴,即CA?CD=BC2，而當(dāng)BC⊥AQ時，BC取得最小值，此時在Rt△ABC中,∴BC的最小值為，則CA?CD的最小值為3，故選A.【點撥】考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.8．B解：依題意知，可證明△NCB∽△BAM（AAA）．故MN=AC+AM+CN=．當(dāng)AM＜1時，則CN＞1，如AM=0.5，則CN=2.當(dāng)AM=0.8，CN=1.25，則可知當(dāng)AM＜1時，AM+CN＞2.當(dāng)AM＞1時，則當(dāng)AM=1，則CN=1.此時MN=2+為最小值．考點：相似三角形點評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的掌握．抓住相似三角形對應(yīng)邊成比例為解題關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)等腰直角三角形斜邊與一直角邊的比是，先證明，得，根據(jù)8字形和三角形的內(nèi)角和定理得出是等腰直角三角形，利用垂線段最短可得結(jié)論．解：過點B作于G，如圖，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴線段的最大值是2．故選：C．【點撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)變換等，解題的關(guān)鍵有兩個：①找出為最大值的位置，②證明兩個三角形相似．10．C【分析】由，，證明，推出，當(dāng)有最大值時，有最大值，根據(jù)，得到點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，由，得到是圓的直徑，勾股定理求出，即可得到答案．解：∵∴∵∴∴∴∴，∴當(dāng)有最大值時，有最大值，∵，∴點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選：C．【點撥】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓的判定和性質(zhì)，正確掌握四點共圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】設(shè)BC=a，AC=b，由∠B=∠ADE=∠DAC，得到△ABC∽△EBD∽△DAC，通過相似比得到，則，，得到∴，即可求出最大值.解：設(shè)BC=a，AC=b，∵∠B=∠ADE=∠DAC，∴△ABC∽△EBD∽△DAC，，，，，則的最大值是.【點撥】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，周長的比等于相似比．也考查了用配方法求最值．12．/【分析】如圖所示，設(shè)交于點，過作于，根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，，求長度的最小值轉(zhuǎn)換為求的最小值，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：由題意的作圖得：平分，如圖所示，設(shè)交于點，過作于，

∴，且根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，，∵在中，，∴，根據(jù)平分，可知，是公共邊，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，故答案為：．【點撥】本題主要考查對稱軸-最短路徑，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．5【分析】過點C作，且，連接，則當(dāng)點A、F、G三點共線時，有最小值，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，根據(jù)點A、F、G三點共線得，根據(jù)四邊形是矩形得，根據(jù)四邊形是平行四邊形得，，根據(jù)可判定四邊形是菱形，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，計算得，即可得，在中，由勾股定理得，得，即可得，根據(jù)可判定，則計算，根據(jù)，，即可得．解：如圖所示，過點C作，且，連接，則當(dāng)點A、F、G三點共線時，有最小值，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵點A、F、G三點共線，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴四邊形是菱形，∴設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，故答案為：5．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的相似與判定，勾股定理，最短距離問題，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用這些知識點，作輔助線，三點共線時兩條線段的和最?。?4．8【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△BCE∽△AFB，從而得到，進(jìn)而得到，然后設(shè)BE=x，則，可得，再由，可得，即可求解．解：∵四邊形為正方形，∴BC∥AD，BC=CD=AD=AB=2，∴BC∥AF，∴△BCE∽△AFB，∴，即，∴，設(shè)BE=x，則，∴，∵，即，∴，∴．故答案為：8【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．10，2.4【分析】①當(dāng)點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA＋PB＋PC＋PD的值最小，根據(jù)勾股定理可得PA＋PB＋PC＋PD的最小值，即可判斷；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠PAB＝∠PDA，∠PAB＋∠PAD＝∠PDA＋∠PAD＝90°，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠APD＝180°?（∠PDA＋∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，即B、P、D三點共線，根據(jù)三角形面積公式可得PA＝2.4，即可判斷．解：①當(dāng)點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA＋PB＋PC＋PD的值最小，根據(jù)勾股定理得，AC＝BD=＝5，所以PA＋PB＋PC＋PD的最小值為2×5=10；②若△PAB～△PDA，則∠PAB＝∠PDA，∠PAB＋∠PAD＝∠PDA＋∠PAD＝90°，∠APD＝180°?（∠PDA＋∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三點共線，P是直角△BAD斜邊上的高，根據(jù)面積公式可得PA=＝2.4．故答案為：10；2.4．【點撥】本題考查了軸對稱?最短路線問題，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．4【分析】過點C作于點E，交BD于點M’，過點M作于N’，則CE即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為的最小值．解：過點C作于點E，交BD于點M’，過點M作于N’∵BD平分，于點E，于N’∴∴∴當(dāng)點M與M’重合，點N與N’重合時，有最小值∵△ABC的面積為8，∴∴即的最小值為4故答案為：4．【點撥】本題考查了線段的最值問題，掌握角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．17．③④【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，利用等面積法求出OC即可；③根據(jù)，當(dāng)線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，即可判斷；④作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．解：①由平移的性質(zhì)可知：，，由矩形的性質(zhì)可知：，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，當(dāng)點B'與D重合時，四邊形不存在，故①錯誤；②如圖1所示，作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=15，∴，∵，∴，∴EC=4×12=48，故②錯誤；③由三角形三邊關(guān)系可知：，如圖2所示，當(dāng)線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，，∴最大值為15，故③正確；④如圖2所示，由①可知，，∴，作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，由對稱的性質(zhì)可知：∠AJD=90°，由平行的性質(zhì)可知：∠BDJ=180°-∠AJD=90°，即：∠ADJ+∠ADB=90°，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABD=∠ADJ，∴△ABD∽△JDA，∴，即：，∴DJ=12，∴，又∵，∴，∴，∵∠E=∠BAD=90°，∴，∴，即：，∴，，∴，由勾股定理：，故④正確，故答案為：③④．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．2【分析】以為對稱軸作的對稱點，連接并延長交于，連，依據(jù)，可得當(dāng)，，三點共線時，取等于號，再求得，即可得出，，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可得到．解：如圖所示，以為對稱軸作的對稱點，連，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，，，當(dāng)，，三點共線時，正方形邊長為，，為中點，，為中點，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，即的最大值為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．19．（1）；（2）當(dāng)時，的最大值為8.【分析】（1）先利用互余的關(guān)系求得，再證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求得答案；（2）設(shè)為，則，根據(jù)，求得，利用二次函數(shù)的最值問題即可解決．解：（1）如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴，可知，∴，∵，∴，∴，∴；（2）設(shè)為，則，∵（1）可得，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，的最大值為8．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)等綜合知識，根據(jù)線段比例來求線段的長是本題解題的基本思路．20．（1）∠ADE＝30°，理由詳見分析；（2）（1）中的結(jié)論成立，證明詳見分析；（3）【分析】（1）利用SAS定理證明△ABD≌△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可證明；（2）同（1）的證明方法相同；（3）證明△ADF∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．解：（1）∠ADE＝30．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120，∴∠ABC＝∠ACB＝30，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝120，∴∠ADE＝30；（2）（1）中的結(jié)論成立，證明：∵∠BAC＝120，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120．即∠DAE＝120．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30；（3）∵AB＝AC，AB＝6，∴AC＝6