全等三角形壓軸訓(xùn)練（多解、動點、新定義型壓軸）題型一利用三角形全等求時間或線段長的多解問題例題：（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動點P以的速度從點A出發(fā)沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發(fā)沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發(fā)沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發(fā)．連接，當(dāng)動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．【答案】或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解二元一次方程組，設(shè)運動的時間為ts，動點M的速度為，則，進(jìn)而得到，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)運動的時間為ts，動點M的速度為，由題意得，，∴．∵，∴．當(dāng)時，則，∴，解得，∴，解得．當(dāng)時，則，∴，解得，∴，解得．綜上所述，動點M的速度為或，故答案為：或．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，在長方形中，，，延長到點E，使，連接，動點P從點B出發(fā)，以每秒的速度沿向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，若與全等，則t的值為．【答案】2或12/12或2【分析】本題考查了全等三角形的判定，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，根據(jù)證得，由題意得：，∴，∵，∴當(dāng)時，根據(jù)證得，由題意得：，解得．所以，當(dāng)t的值為2或12時．與全等．故答案為：2或12．2．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，垂足為C，射線，垂足為B，動點P從C點出發(fā)以的速度沿射線運動，點N為射線上一動點，滿足，隨著P點運動而運動，當(dāng)點P運動時間t為秒時，與點P、N、B為頂點的三角形全等（）．【答案】6或12或18【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，此題要分兩種情況：①當(dāng)P在線段上時，②當(dāng)P在上，再分別分兩種情況或進(jìn)行計算即可．【詳解】解：①當(dāng)P在線段上，時，，，，，點P的運動時間為（秒）；②當(dāng)P在線段上，時，，這時，因此時間為0秒，，故不合題意舍去；③當(dāng)P在上，時，，，點P的運動時間為（秒）；④當(dāng)P在上，時，，，點P的運動時間為（秒），∴點P的運動時間為6或12或18，故答案為：6或12或18．3．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點A，射線，垂足為點B，，．動點E從A點出發(fā)以的速度沿射線運動，動點D在射線上，隨著E點運動而運動，始終保持．若點E的運動時間為，則當(dāng)t=秒時，與全等．【答案】2或6或8【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，學(xué)會分類是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)點E與點A重合時，此時，與全等．但，舍去；當(dāng)時，則，∵，，，．動點E的速度為，∴，∴，∴；當(dāng)時，則，且點E在點B的右側(cè)時，∵，，，．動點E的速度為，∴，∴，∴；當(dāng)時，則，且點E在點B的右側(cè)時，∵，，，．動點E的速度為，∴，∴，∴；故答案為：2或6或8．4．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，的兩條高與交于點O，，．F是射線上一點，且，動點P從點O出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿射線以每秒3個單位長度的速度運動，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)與全等時，則秒．【答案】或【分析】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用；分情況討論：①當(dāng)點在延長線上時，②當(dāng)點在線段上時，，證明，可得此時，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可.【詳解】解：①當(dāng)點F在延長線上時：設(shè)t時刻，P、Q分別運動到如圖位置，．∵，，∴當(dāng)時，．∵，∴，解得．②當(dāng)點F在之間時：設(shè)t時刻，P、Q分別運動到如圖位置，．∵，，∴當(dāng)時，．∵，，∴，解得．綜上，或．題型二與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題例題：（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，在和中，與相交于點，與相交于點，與相交于點，，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】本題考查了兩個全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)已知條件判定兩個三角形全等，可得到對應(yīng)邊及對應(yīng)角相等，據(jù)此可判斷①③，再結(jié)合條件證明兩個三角形全等，可得到④，即可求得結(jié)果，靈活運用兩個全等三角形的條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴①③都正確，在中，，∴，故④正確，根據(jù)已知條件無法證明②是否正確，故①③④正確，故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，在中，點M，N分別是邊上的點，且M，N兩點滿足，交于點P，過點P作交延長線于點Q，交于點F，與交于點E，若，則下列結(jié)論：①連接，則平分；②；③；④．成立的是（

）．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識點，靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先證明可得，再證明可得，進(jìn)而證明得到即可判定①；由可得，然后證明即可判定②；由全等三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可判定③；先證明可得，再證明可得，然后證明可得，再說明，最后根據(jù)線段的和差及等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵，∴,∵，∴，∴.∵，,∴，即②正確；∴,∵，，∴,∵,∴,∴，即平分，故①正確；∵，∴，，∵，,∴,即③正確；∴∴，∴,∴，∵，，∴,即，∵，∴，∴，∵，，∴,∴，如圖：連接∵,,∴，∴,∵,∴,∴,即④正確．故選D．2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，則下列四個結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義；根據(jù)證明，再利用三角形全等的性質(zhì)證明，，進(jìn)而得出，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分交于，，在和中，，，故④正確；，故②③正確；，于，，，，，故①正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：D．3．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，高與角平分線相交于點，的平分線分別交，于點，，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)已知條件無法判定與相等，進(jìn)而可對結(jié)論進(jìn)行判斷；先根據(jù)角平分線的定義得，進(jìn)而得，，，據(jù)此可對結(jié)論進(jìn)行判斷；先證和全等得，然后根據(jù)平角的定義得，據(jù)此可對結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)為的高得：，，根據(jù)已知條件無法判定與相等，對此可對結(jié)論進(jìn)行判斷．此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面積公式．【詳解】根據(jù)已知條件無法判定與相等，無法判定與相等，結(jié)論不正確；是的角平分線，，為的高，，，，又，，結(jié)論正確；由結(jié)論正確得：，平分，，在和中，，，，，，，，，即：，結(jié)論正確；為的高，，，根據(jù)已知條件無法判定與相等，無法判定與相等，結(jié)論不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是．故選：B．題型三全等三角形中的動點最值問題例題：（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，鈍角的面積為12，最長邊，平分，點M、N分別是上的動點，則的最小值是．【答案】3【分析】本題考查了軸對稱—最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．過點C作于點E，交于點M，過點M作于N，則當(dāng)點C，M，N三點重合時，取得最小值，最小值為的長．再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即可．【詳解】解：過點C作于點E，交于點M，過點M作于N，∵平分，，，∴，∴，即當(dāng)點C，M，N三點重合時，取得最小值，最小值為的長．∵的面積為12，最長邊，∴，即，∴即的最小值為3．故答案為：3．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級下·廣東河源·期末）如圖，點P是的平分線上一點，于點B，且，，點E是上的一動點，則的最小值為．

【答案】3【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，過P作于H，利用角平分線的性質(zhì)定理得到即可，根據(jù)垂線段最短得到時最小，進(jìn)而可求解．【詳解】解：過P作于H，

∵點P是的平分線上一點，于點B，，，∴，∵當(dāng)時，的值最小，最小值為的長，∴的最小值為3，故答案為：3．2.（23-24八年級上·河北唐山·期末）如圖，中，，用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點，，為上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．過點作于點，由尺規(guī)作圖痕跡可知，為的平分線，則，由圖可知，當(dāng)點與點重合時，取得最小值，即可得出答案．【詳解】解：過點作于點，由尺規(guī)作圖痕跡可知，為的平分線，，，為上一動點，當(dāng)點與點重合時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2題型四全等三角形中的動點綜合問題例題：（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在小學(xué)，我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等，四個內(nèi)角都是直角”，請適當(dāng)利用上述知識，解答下列問題：已知：如圖，在正方形中，，點G是射線上的一個動點．以為邊向右作正方形，作于點H．(1)填空：；(2)若點G在點B的右邊．①求證：；②試探索：的值是否為定值，若是，請求出定值：若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①見解析；②的值是定值，【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到，由平角的定義即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：正方形，，，故答案為：；（2）解：①，，，，，正方形和正方形，，，在和中，，；②的值是定值，由①可得，，，，，．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級下·安徽宿州·期末）在中，，點是射線上的一動點（不與點、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上，且時，那么度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點在線段上，時，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點在線段的延長線上，時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】(1)90(2)①，證明見解析；②，圖見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個銳角互余即可求解；（2）①根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可求解；②根據(jù)題意可得；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和推得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）①解：，理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；∴；②如圖：；證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知在中，，，．點D為邊上一點，且，過點B作射線，動點E從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿射線的方向運動，連接．(1)如圖1，當(dāng)時，線段與相等嗎?請說明理由．(2)當(dāng)線段與的其中一邊垂直時，求出點E運動的時間t的值．【答案】(1)相等，理由見解析(2)3或8【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，同角的余角相等．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．（1）證明，即得出；（2）分類討論：當(dāng)時和時，分別證明，即可求解．【詳解】（1）解：相等，理由如下：∵，，，∴，∴；（2）解：分類討論：當(dāng)時，如圖，∵，∴．∵，∴，∴．又∵，，∴，∴，∴；當(dāng)時，如圖，∵，∴．∵，∴，∴．又∵，，∴，∴，∴．綜上可知t的值為3或8．3．（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）已知：中，為直線上一動點，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，過點作于，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接交直線于點．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)點在射線上時，連接交直線于點，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，三角形的面積計算；（1）求出，即可利用證明；（2）作交的延長線于點，求出，證明，可得，然后再證即可；（3）分情況討論：當(dāng)點在的延長線上時，作交的延長線于點，求出，證明，可得，，然后求出，再證，可得，設(shè)，表示出和，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可；當(dāng)點在線段上時，同理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，，，，，，在和中，，；（2）；理由：如圖2，作交的延長線于點，，，，，，在和中，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，當(dāng)點在的延長線上時，作交的延長線于點，則，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，的值為；如圖4，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，則，，，，，，，綜上所述，的值為或．題型五全等三角形中的新定義型綜合問題例題：（23-24七年級下·遼寧本溪·期末）新定義：如果兩個三角形不全等但面積相等，那么這兩個三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點，若與是積等三角形，求的長；【理解運用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段的長度為正整數(shù)，求的長．【綜合應(yīng)用】（3）如圖3，在中，過點C作，點是射線上一點，以為邊作，連接．請判斷與是否為積等三角形，并說明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是積等三角形，證明見解析【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.（1）利用三角形的中線的性質(zhì)即可解決問題；（2）證明，推出，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；（3）過過點作于點，先證明則，然后再依據(jù)積等三角形的定義進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）解：過點作于，與是積等三角形，，，，；（2）解：如圖2，延長至，使，連接，與為積等三角形，在和中，，在中為正整數(shù)，；（3）是積等三角形證明：如圖3，過點作于點，

在和中，，與為積等三角形．鞏固訓(xùn)練1．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為時，分別取，的中點，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．【答案】(1)，詳見解析(2)45(3)見解析【分析】本題考查了新定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，（1）由“同源三角形”的定義可證，然后根據(jù)證明即可；（2）由“同源三角形”的定義和可求出，由（1）可知，得，然后根據(jù)“8”字形圖形即可求出的度數(shù)；（3）由（1）可知，可得，根據(jù)證明，可得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）．理由：∵和是“同源三角形”，∴，∴．在和中，，∴，∴．（2）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案為：45；（3）由（1）可知，∴，．，的中點分別為，∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．2．（23-24七年級下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點E，點C關(guān)于直線對稱點為點F，連接，，且，求證：．【答案】(1)(2)或(3)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)“邊垂角”的定義即可得到答案；（2）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）延長交于點，先證明，再證明，依據(jù)題意得出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)“邊垂角”的定義，的“邊垂角”是；（2）解：若是的“邊垂角”，分兩種情況①如圖，是的“邊垂角”，，，，，

②如圖，是的“邊垂角”，，，，，

綜上所述，與的數(shù)量關(guān)系是或；（3）解：延長交于點，是的“邊垂角”，∴，，，，，，，，，，，，，點關(guān)于直線對稱點為點，，，；3．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】

(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是；(3)若是的“邊垂角”，且．①如圖2，已知，交于點E，點C關(guān)于直線對稱點為點F，連接，，且，，求證：；對于上述問題，小明有這樣的想法：在上截取，連接，如圖3．你明白小明的做法嗎？接下來請你求證．②如圖4，若，直接寫出四邊形ABDC的面積．【答案】(1)(2)或(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)“邊垂角”的定義即可得到答案；（2）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）①延長交于點，先證明，再證明，依據(jù)題意得出，即可得到結(jié)論；②連接，過點作與延長交于點，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“邊垂角”的定義，的“邊垂角”是；（2）解：若是的“邊垂角”，分兩種情況①如圖，是的“邊垂角”，，，，，

②如圖，是的“邊垂角”，，，，，

綜上所述，與的數(shù)量關(guān)系是或；（3）解：①延長交于點，是的“邊垂角”，，，，，，，，，，，，，點關(guān)于直線對稱點為點，，，；

②連接，過點作與延長交于點，是的“邊垂角”，，，，，，，，，，，過點作于點，，，．

【點睛】本題主要考查新定義，四邊形的內(nèi)角和定理