課時分層作業(yè)(六十七)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2025·菏澤模擬)隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，則D(3X－2)＝()X－101Peq\f(1,6)abA．eq\f(5,9) B．eq\f(5,3)C．5 D．7C[因為E(X)＝eq\f(1,3)，所以由隨機變量X的分布列得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，所以D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq\f(5,9)＝5.故選C.]2．口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的期望為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．2 D．eq\f(8,3)D[由題意可知，取出的球的最大編號X的可能取值為2,3，所以P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，所以E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).]3．甲箱子里裝有3個白球和2個紅球，乙箱子里裝有3個白球和3個紅球，從這兩個箱子里分別隨機摸出一個球，設(shè)摸出白球的個數(shù)X的均值和方差分別為E(X)，D(X)，摸出紅球的個數(shù)Y的均值和方差分別為E(Y)，D(Y)，則()A．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)B．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y)C．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)C[由題意得，甲箱中摸到白球的概率為eq\f(3,5)，摸到紅球的概率為eq\f(2,5)，乙箱中摸到白球的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，摸到紅球的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).由題意可知X的可能取值為0,1,2，所以P(X＝0)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(11,10)，D(X)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－0))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－1))2＋eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－2))2＝eq\f(49,100).由題意可知Y的可能取值為0,1,2，所以P(Y＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(Y＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，所以E(Y)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(9,10)，D(Y)＝eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－0))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－1))2＋eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－2))2＝eq\f(49,100).所以E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)．故選C.]4．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負(fù)相互獨立，則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的期望E(ξ)為()A．eq\f(241,81) B．eq\f(266,81)C．eq\f(274,81) D．eq\f(670,243)B[依題意知，ξ的所有可能取值為2,4,6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，ξ為6時，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第三輪，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，故E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故選B.]5．設(shè)0<a<1，隨機變量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)減小時()A．D(X)減小B．D(X)增大C．D(X)先減小后增大D．D(X)先增大后減小C[根據(jù)題意可得，E(X)＝eq\f(0＋a＋1,3)＝eq\f(a＋1,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(6a2－6a＋6,27)＝eq\f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(9,2),27)，所以D(X)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增，所以D(X)先減小后增大．故選C.]6．已知離散型隨機變量X的分布列為P(X＝n)＝eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1))(n＝1,2，…，15)，其中a為常數(shù)，則P(X≤8)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)B[因為P(X＝n)＝eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1))(n＝1,2，…，15)＝a(eq\r(n＋1)－eq\r(n))，所以a(4－eq\r(15)＋eq\r(15)－eq\r(14)＋…＋eq\r(2)－1)＝3a＝1，解得a＝eq\f(1,3).所以P(X≤8)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝8)＝a(3－eq\r(8)＋eq\r(8)－eq\r(7)＋…＋eq\r(2)－1)＝2a＝eq\f(2,3).故選B.]二、多項選擇題7．若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(4,9)AB[依題意P(X＝0)＝eq\f(1,3)，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(2,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).所以P(X＝1)＝E(X)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，D(3X＋2)＝32D(X)＝32×eq\f(2,9)＝2，所以AB正確，CD錯誤．故選AB.]8．(2025·日照模擬)為弘揚我國古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營主辦單位計劃在暑假期間開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗課程．若甲、乙、丙三名同學(xué)各只能體驗其中一門課程，則()A．甲、乙、丙三人選擇課程的方案有120種B．恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為eq\f(5,9)C．在甲不選擇課程“御”的條件下，乙、丙也不選擇課程“御”的概率為eq\f(25,36)D．設(shè)三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為ξ，則E(ξ)＝eq\f(1,2)BCD[A選項，由題意，三人之間選擇體驗課程沒有影響，故三人選擇課程方案有6×6×6＝216(種)，故A錯誤；B選項，恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中，說明三人選擇的課程互不相同，共有Aeq\o\al(3,6)＝120(種)選法，又總的選法是216種，所以恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為eq\f(120,216)＝eq\f(5,9)，故B正確；C選項，記A：“甲不選擇課程‘御’”，B：“乙、丙不選擇課程‘御’”，則n(AB)＝5×5×5＝125，n(A)＝5×6×6＝180，故P(B|A)＝eq\f(125,180)＝eq\f(25,36)，故C正確；D選項，由題意，ξ的可能取值為0,1,2,3，則P(ξ＝0)＝eq\f(53,63)＝eq\f(125,216)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×1×52,63)＝eq\f(25,72)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)×5,63)＝eq\f(5,72)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,216)，所以E(ξ)＝0×eq\f(125,216)＋1×eq\f(25,72)＋2×eq\f(5,72)＋3×eq\f(1,216)＝eq\f(1,2)，故D正確．故選BCD.]三、填空題9．已知某個離散型隨機變量的分布列為X0123Paeq\f(3,10)ceq\f(1,10)則eq\f(1,a)＋eq\f(4,c)的最小值為______.15[由分布列性質(zhì)可知，a＋c＝eq\f(3,5)，所以eq\f(5,3)(a＋c)＝1，所以eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,c)))(a＋c)＝eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(4a,c)＋\f(c,a)))≥eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4a,c)·\f(c,a))))＝eq\f(5,3)×(5＋4)＝15，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4a,c)＝eq\f(c,a)，即a＝eq\f(1,5)，c＝eq\f(2,5)時，等號成立．故eq\f(1,a)＋eq\f(4,c)的最小值為15.]10．(2022·浙江高考)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P(ξ＝2)＝____，E(ξ)＝______.eq\f(16,35)eq\f(12,7)[由題意知P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(16,35).由題意，ξ的所有可能取值為1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq\f(15,35)＝eq\f(3,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(16,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,35)，所以E(ξ)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(16,35)＋3×eq\f(3,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(60,35)＝eq\f(12,7).]四、解答題11．(15分)袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為eq\f(1,7)，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量ξ的分布列．解：(1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知，eq\f(1,7)＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,7))＝eq\f(\f(nn－1,2),\f(7×6,2))＝eq\f(nn－1,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3(n＝－2舍去)，即袋中原有3個白球．(2)由題意，ξ的所有可能取值為1,2,3,4,5，P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)，P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)，P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以，取球次數(shù)ξ的分布列為ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)12．(15分)(2025·煙臺模擬)某烘焙店加工一個成本為60元的蛋糕，然后以每個120元的價格出售，如果當(dāng)天賣