第十章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第3課時(shí)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[考試要求]

1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.理解一元線(xiàn)性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．鏈接教材·夯基固本1．變量的相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量_________，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系，即不確定性關(guān)系．有關(guān)系2．相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)(1)按變量間的增減性分為_(kāi)__相關(guān)和___相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)______的趨勢(shì)；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)______的趨勢(shì)．正負(fù)增加減小(2)按變量間是否有線(xiàn)性特征分為_(kāi)_____相關(guān)和_________相關(guān)(曲線(xiàn)相關(guān))．①線(xiàn)性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在____________附近，我們稱(chēng)這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)；②非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是______相關(guān)，我們稱(chēng)這兩個(gè)變量非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān)．線(xiàn)性非線(xiàn)性一條直線(xiàn)線(xiàn)性3．相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)(1)散點(diǎn)圖：成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算式(3)樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為_(kāi)_________；②當(dāng)r>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)___相關(guān)；③當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)___相關(guān)；④樣本相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度當(dāng)|r|越接近___時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近___時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱．提醒：當(dāng)兩個(gè)變量的|r|＝1時(shí)，兩個(gè)變量呈函數(shù)關(guān)系．[－1,1]正負(fù)104．一元線(xiàn)性回歸模型與最小二乘法(1)一元線(xiàn)性回歸模型因變量自變量abbx＋a0(2)最小二乘法5．刻畫(huà)回歸效果的方式(1)殘差圖法在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越___，說(shuō)明模型擬合精度越高．(2)殘差平方和法殘差平方和為_(kāi)______________，殘差平方和越___，模型擬合效果越好．窄小(3)決定系數(shù)法6．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類(lèi)變量X，Y的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d則χ2＝________________________.(2)利用χ2的取值推斷分類(lèi)變量X和Y是否______的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn)．(3)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828獨(dú)立[常用結(jié)論]一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(

)(2)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)．(

)(3)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀(guān)測(cè)值越小．(

)√√××二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P103習(xí)題8.1T1改編)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的是(

)ABCD√D

[觀(guān)察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．]2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P103練習(xí)T3改編)在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，則y與x的相關(guān)系數(shù)為(

)√4．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P133

例4改編)為了調(diào)查患肺癌是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了100名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表：?jiǎn)挝唬喝宋鼰煼伟┖嫌?jì)肺癌患者非肺癌患者吸煙者20m40非吸煙者n5560合計(jì)2575100根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，求得χ2＝________(保留3位有效數(shù)字)，那么，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為患肺癌與吸煙________.典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性[典例1]

(1)(2023·天津高考)調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示．其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說(shuō)法正確的是(

)A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245√(2)(多選)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高(單位：cm)和體重(單位：kg)的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測(cè)了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：編號(hào)12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如下所示的散點(diǎn)圖：√√

判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法(1)畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·天津高考)下列圖中，相關(guān)系數(shù)最大的是(

)ABCD√

考點(diǎn)二回歸模型

一元線(xiàn)性回歸模型[典例2]據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元)與某類(lèi)商品銷(xiāo)售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷(xiāo)售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度是否很強(qiáng)？(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01)．

非線(xiàn)性回歸模型

回歸分析問(wèn)題的類(lèi)型及解題方法(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線(xiàn)性相關(guān)，若非線(xiàn)性相關(guān)，則應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線(xiàn)性相關(guān)．(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(4)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)．提醒：非線(xiàn)性問(wèn)題的處理要通過(guò)換元、取對(duì)數(shù)等方法把非線(xiàn)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2025·東營(yíng)模擬)某研究所為了研究某種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個(gè))與溫度x(單位：℃)之間的關(guān)系，現(xiàn)將收集到的溫度xi和一組昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)yi(i＝1,2，…，6)的6組觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．

考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)[典例4]

(2023·全國(guó)甲卷改編)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g)．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量(單位：g)從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.527.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.836.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量(單位：g)從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.819.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.232.3

36.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)．(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表；組別小白鼠體重的增加量合計(jì)<m≥m對(duì)照組

試驗(yàn)組

合計(jì)

②根據(jù)①中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否以此推斷小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？填寫(xiě)列聯(lián)表如下：組別小白鼠體重的增加量合計(jì)<m≥m對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040②零假設(shè)為H0：小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量無(wú)差異．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2025·八省適應(yīng)性測(cè)試)為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物(單位：只)試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用10080s服用15070220合計(jì)250t400(1)求s，t；(2)記未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的概率為p，給出p的估計(jì)值；(3)根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效？(3)零假設(shè)為H