機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案

1?1.簡述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。

答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)

變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)

形式。求設(shè)計(jì)變量向量xL使f(x)min

12n

且滿足約束條件

管)=0(左=1,2,L/)

g(x)<0(J=1,2.Lm)

J

2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義？

管:二元函數(shù)恪己)在X。點(diǎn)處的方向?qū)げ室哺哌_(dá)超麻寫成下面的形

式.第卜戶01+丁koCOs02=|即6x2Lcose2I

df\&l|&2「一LJ

令可(x0)=［期］=「°/歹

5f［&-1dx2\xo

8x2

則稱它為函數(shù)f(X,X)在X點(diǎn)處的梯度。

120

0)梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。

0梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。

梯度WS0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度

-0(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。

2?2.求二元函數(shù)f(x,x)=2x2+x2-2x+x在x=[0,0]7處函數(shù)變化率

121220

最

大的方向和數(shù)值。

Word資料

解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量P

表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模求f(xl,x2)在xO

點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下：

/、1

Vf(xO)=2「4x1—21f-2p

,,1

5f|=2x2+1x0=1

急LJLJ

2

ri二非

Vf(xO)

P=

1百J

2-3,試求目標(biāo)函數(shù)f(x,x)=3X2-4xx+X2在點(diǎn)XO=[1,O]T處的最速下降

2122

方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。

解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

af/df

-—6x-4x,---=-4x+2x

Gx12ax12

12

則函數(shù)在X°=[1,O]T處的最速下降方向是

_afl

ftr-6x+4x-6

P=-Vf(Xo)=1No

~5f1

4x-2x一4」

2JX=1

|_氏」日x1=O

x=0

這個(gè)方向上的單位向量是：

p[-6,4]T[-3,2]T

e-H,(-6)2+42

新點(diǎn)是

Word資料

1————

Xi=Xo+e=2m

新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值

94

^(Xl)=__2^3

13

2?4.何渭凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？(要求配圖)

答：一個(gè)點(diǎn)集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點(diǎn)xl、x2的線段都全部

包含在該集合，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。

函數(shù)f(X)為凸集定義域的函數(shù)，若對任何的0?a?1及凸集域的任

意兩點(diǎn)xl、x2,存在如下不等式：

f[\ax+(1-a)xl<af(x)+(l-a)x

L12J12

稱f(x)是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。

Word資料

若f(x)、g.(x)都是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。

3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖)

答：搜索區(qū)間(a,b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找

到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a,b)任取兩點(diǎn)al,bl,

并計(jì)算函數(shù)值將有下列三種可能情形；

<b,f(ap,f(b)o

1)f(a)《f(b)由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間(a,b)

》同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間

2)f(a)f(b),(afb)

3)f(a)=f(bp,這是極小點(diǎn)應(yīng)在(a〃b)

f(al)

f(bl)

Word資料

3?2.簡述黃金分割法搜索過程及程序框圖。

a=b-k(b-a)a2=a+Mb-a)

分割法求極小點(diǎn)a*的前三次搜索過程。（要列表）

黃金分割法的搜索過程

序號aa.a，b比較Yz

0-5-1.181.185-0.9676<3.7524

1-5-2.639-1.181?1.686>-0.96T

2■-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.48

3-2.639-1.737-1.1817■-0.457>-0.482

Word資料

3-4.使用二次插值法求出刈二5由兇在區(qū)間［2,6］的極小點(diǎn)，寫出計(jì)算步驟和

迭代公式，給定初始點(diǎn)x=2,x=4,x=6,8=10-4。

123

解：

1234

X.

1244.554574.55457

X?44.554574.736564.72125

X36664.73656

V10.909297-0.756802-0.987572-0.987572

V2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961

y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708

xp4.554574.736564.721254.71236

yp-0.987572-0.999708-0.999961-1

迭代次數(shù)K=4,極小點(diǎn)為4.71236,最小值為?1

Word資料

1c

X=一(X+X--L)

P2I3q

收斂的條件：

4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共匏梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。

答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)

相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過

程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的鋸

齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降。可是在

接近極小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似

乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)

附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。

共輾梯度法是共匏方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共輾的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的

負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共輾梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是

最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共

聊梯度法實(shí)質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。

鮑威爾法是直接利用函數(shù)件來構(gòu)造共輾方向的一種共輾方向法，這種方法是在研究其有正

定矩陣G的二次函數(shù)/(X)=-XTGX+brx+C的極小化問題時(shí)形成的。其基本思想是在不用

導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共胡方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)

所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線

性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換.如果需要替換，還要

進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次

生成共軀方向。

4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？

答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-V/W0使

函數(shù)值在該點(diǎn)附近的圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法

k+1kk

x=犬一aVf(x)(k=0,1,2,??-)

k

由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索與向，所以最速下降法有稱為梯度法

為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-V/(x)能獲得最大的下降值，其步長因子。應(yīng)取一維搜

k

索的最佳步長。、即有「k▽/(『)]=min一mincp(a)

(4

fX

kJL.

))=?；?qū)懗蒍d=0

由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)

Word資料

梯度方向，囚此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)

靠近的過程。

4-3.給定初始值XO=[-7,11]T,使用牛頓法求函數(shù)

f(x,x)=(x-2)2+(X-2x)2的極小值點(diǎn)和極小值。

12112

解：梯度函數(shù)、海賽矩脖分別為]

|2(x-2)+2(x-2x)l

▽f(x,x)=?J\2|(2分)

121-4(x-2x)J

)=f4一4][1124

▽2f(x,x'-48,V2f=|..(4分)

12LJ11

_44

假設(shè)初始值x=[?7,11打

r-76i

則Vf(xo)=>[61,(1分)

[嚇」「21

XI=XO-V2f7(2分)

「01

則W(Xl)=[g，(1分)

xi滿足極早內(nèi)必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)

x*=X1=lIJ(x*)=-1o(2分)

4-4.以二元函數(shù)f(x,x)為例說明單形替換法的基本原理。

答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)xl,x2,x3,以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。

計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f(xl)>f(x2)>f(x3),這說明x3點(diǎn)最好，xl點(diǎn)最差。

為了尋找極小點(diǎn)，一般來說。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過xl并穿過x2x3

的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5

使x5=x4+a(x4-xl)

x5稱作xl點(diǎn)相對于《點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f(X5),可能出現(xiàn)以下幾種情

形；

1)f(x5)<f(x3)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說明搜索方向正確，可以往前邁一步，

也就是擴(kuò)。

2)f(x3)<f(x5)<f(x2)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說明反射可行一反射

點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形

Word資料

3)f(x2)<f(x5)<f(xl),即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，二匕最差點(diǎn)好，說明X5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮

回一些，即收縮。

4)f(x5)>f(xl),反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在xlx4之間

5)f(x)>f(xl),說明xlx4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。

0xl

5-1.簡述約束優(yōu)化方法的分類。(簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接

解法的原理、特點(diǎn)及主要方法。)

答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，它的基本思路是在m個(gè)不等式約束條件

所確定的可行域選擇一個(gè)初始點(diǎn)x°,然后決定可行搜索方向d,且以適當(dāng)?shù)牟介L沿d方向

進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)X、即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，

重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向

作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法招由直接解

法中的各種算法決定。

直接解法的原理簡單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1)由于整個(gè)求解過程在可行域進(jìn)行，因此

迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2)若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可

行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同

時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算,

以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3)要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占丛谟薪?/p>

可行域存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義°

直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。

間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行

特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成

一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原

約束問題的最優(yōu)解。

間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是：1)由于無

約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，已經(jīng)研究出不少有效的無約束最優(yōu)化方法和程序，使得間接解法

有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。2)可以有

Word資料

效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。3)間接算法存在的主要問題是，選取加