年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（重慶卷）本套“重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試”數(shù)學(xué)試卷（滿分150分，時長120分鐘）共設(shè)四個大題。整體來看，2025年將原先的三大題變?yōu)樗拇箢}：包括10道選擇題（不變）、6道填空題（原來8道）、9道解答題（原來8道），涵蓋代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合應(yīng)用等基礎(chǔ)板塊。就題量而言，題目數(shù)量適中，能夠在規(guī)定時間內(nèi)較好地完成，有助于考生平衡計算與思考的時間安排。這些安排與《中考評價體系》的要求基本吻合，同時兼顧了新課程標(biāo)準(zhǔn)對于考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合要求。相較于往年考試，本套試卷在題型多樣化和難度梯度上依舊延續(xù)了分層設(shè)計的思路。第一大題（選擇題）與第二大題（填空題）以考核基本運(yùn)算、概念理解和簡單的推理能力為主，部分填空題會涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，如對△ABC中邊角關(guān)系的直接判定，或?qū)試卷對代數(shù)、幾何、函數(shù)與方程、統(tǒng)計與概率等模塊都有所涉及。無論是對基本運(yùn)算能力的檢測，還是對二次函數(shù)y=全卷題目由易到難層層遞進(jìn)：前半部分偏基礎(chǔ)的計算和概念題，目的在于保障大多數(shù)考生能夠在短時間內(nèi)完成基本分?jǐn)?shù)的獲??；中段題目，加大了對推理和模型建構(gòu)的要求，一些幾何或函數(shù)綜合題往往涉及多步推導(dǎo)，需要合理運(yùn)用x+y的相互關(guān)系或利用幾何中試卷中的統(tǒng)計調(diào)查、年平均增長率及無人機(jī)巡視等題目均與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，結(jié)合了區(qū)域經(jīng)濟(jì)或社會發(fā)展背景，符合重慶當(dāng)?shù)亍敖糖椤⑸?、區(qū)情”相結(jié)合的命題理念:一方面能激發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的興趣，另一方面也體現(xiàn)了中考命題對學(xué)生實(shí)踐素養(yǎng)和應(yīng)用能力的關(guān)注。從圓與正方形折疊，到分段函數(shù)的性質(zhì)分析，再到拋物線與射線的結(jié)合，都需要學(xué)生具備良好的合情推理與演繹推理能力。尤其是后段的大題，往往跨越多個知識點(diǎn)，如同時用到了矩形、菱形或函數(shù)零點(diǎn)等概念，要求學(xué)生靈活運(yùn)用幾何定理（如∠ABC該卷強(qiáng)調(diào)整數(shù)運(yùn)算、分式求值、幾何定理、一次與二次函數(shù)等主干內(nèi)容，教師需在日常教學(xué)中確保學(xué)生對基礎(chǔ)概念和通用解題策略的熟練掌握，尤其要讓學(xué)生理解n的估值方法、x2試卷多處將不同章節(jié)的知識進(jìn)行假設(shè)、轉(zhuǎn)化與綜合，如把構(gòu)造相似三角形或旋轉(zhuǎn)折疊引入到函數(shù)或概率題中。這要求學(xué)生在平時能進(jìn)行專題訓(xùn)練，使其更好地掌握知識間的聯(lián)系，提高多角度思考和跨知識點(diǎn)遷移的能力。本試卷展現(xiàn)了對生活類情境、社會熱點(diǎn)以及生產(chǎn)實(shí)踐的考量。教師在教學(xué)中應(yīng)注重問題情境的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科技熱點(diǎn)等素材組織教學(xué)，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)在真實(shí)社會中的運(yùn)用價值，并養(yǎng)成獨(dú)立思考和解決實(shí)際問題的習(xí)慣。綜上所述，本份“重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試”數(shù)學(xué)試卷命題合理、知識覆蓋廣、難度梯度清晰，契合中考評價體系與新課程標(biāo)準(zhǔn)對思維深度、創(chuàng)新能力、實(shí)際應(yīng)用等多維度素養(yǎng)的考查導(dǎo)向，對于指導(dǎo)未來教學(xué)過程、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提升均具有積極意義。1.題型整體穩(wěn)定，填空題數(shù)目略減，大題結(jié)構(gòu)新增本卷將原先的三大題變?yōu)樗拇箢}：選擇題仍為10題，填空題由原先的8題改為6題，解答題分為2部分（含2道8分題和7道10分題）。在考查深度與綜合性方面有一定提升，部分大題對函數(shù)、幾何、統(tǒng)計等知識進(jìn)行了融合，更側(cè)重學(xué)生對數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力的考查。2.情境設(shè)計更貼近實(shí)際，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用如概率統(tǒng)計類與函數(shù)類題目結(jié)合真實(shí)背景材料（如調(diào)查統(tǒng)計、旅游開發(fā)增長率等），要求學(xué)生能夠理解并運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，從而進(jìn)一步考驗學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的處理與判斷能力。3.幾何融合度提高，注重多定理綜合運(yùn)用在幾何題目中常出現(xiàn)同時考查圓周角定理、相似三角形、菱形性質(zhì)、勾股定理等多個知識點(diǎn)的問題，且伴隨“折疊”或“旋轉(zhuǎn)”等操作，考查學(xué)生對幾何問題的深度理解和綜合分析能力。4.函數(shù)題型拓展模型探究，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合涉及y=k/5.統(tǒng)計與概率持續(xù)穩(wěn)定，定量分析要求上升試題在樣本估計總體、眾數(shù)與中位數(shù)、有理數(shù)與無理數(shù)估算等方面強(qiáng)調(diào)定量分析，要求學(xué)生熟練應(yīng)用統(tǒng)計知識與估算方法，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)在解釋客觀事實(shí)和進(jìn)行預(yù)測時的工具價值。綜上，本套試卷維持了四大題的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，但在命題細(xì)節(jié)與情境設(shè)置上更強(qiáng)調(diào)綜合性和探究性，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高要求。本試卷共分四個大題，分別為：?選擇題（共10小題，每小題4分，合計40分）?填空題（共6小題，每小題4分，合計24分）?解答題（Ⅰ）（共2小題，每小題8分，合計16分）?解答題（Ⅱ）（共7小題，每小題10分，合計70分）全卷滿分150分，考試時間120分鐘。試卷整體題型多樣，涵蓋基礎(chǔ)知識、綜合應(yīng)用與探究創(chuàng)新等不同層次的考查，能夠全面檢驗學(xué)生初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。下面以表格形式呈現(xiàn)本套試卷各題的分值、題型、考查內(nèi)容和難易度分析（難度等級分為“易”“中”“難”三檔）：題號分值題型考查內(nèi)容難易分析14選擇題相反數(shù)的概念易24選擇題軸對稱圖形的判定易34選擇題抽樣與普查的應(yīng)用易44選擇題圓周角定理（圓心角、圓周角的關(guān)系）易54選擇題規(guī)律與猜想（圖形中的等差數(shù)列特征）中64選擇題反比例函數(shù)的定義及圖象特征中74選擇題科學(xué)記數(shù)法與數(shù)的比較中84選擇題增長率與一元二次方程的應(yīng)用中94選擇題折疊與幾何性質(zhì)（正方形、勾股定理、三角形全等、角平分線）較難104選擇題整式與配方法（多項式中系數(shù)取值的討論），二次三項式恒非負(fù)的條件較難114填空題概率的計算（摸球問題）易124填空題平行線的性質(zhì)，同位角易134填空題無理數(shù)的估算中144填空題絕對值與一次方程、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪中154填空題圓的有關(guān)性質(zhì)（垂徑定理、圓周角定理）、菱形性質(zhì)、解直角三角形較難164填空題整式加減、高位數(shù)（“十全數(shù)”定義和構(gòu)造）、整式整除較難178解答題(Ⅰ)不等式組求解及整數(shù)解易188解答題(Ⅰ)角平分線的幾何作圖和全等三角形證明（基礎(chǔ)作圖與幾何推理）中1910解答題(Ⅱ)數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析：扇形圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、樣本估計總體易～中2010解答題(Ⅱ)分式的化簡求值，零指數(shù)冪的應(yīng)用中2110解答題(Ⅱ)一元一次方程、分式方程在生產(chǎn)問題中的應(yīng)用（生產(chǎn)數(shù)量、生產(chǎn)效率）中2210解答題(Ⅱ)矩形幾何性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象與一次函數(shù)、反比例函數(shù)較難2310解答題(Ⅱ)解直角三角形在實(shí)際應(yīng)用中的綜合（坐標(biāo)、方位、相遇問題）較難2410解答題(Ⅱ)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（待定系數(shù)法、幾何最值、平移變換）難2510解答題(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)、全等與相似綜合、等邊三角形、翻折與最值問題難全卷試題覆蓋面廣，既包含基礎(chǔ)題，又有較高思維要求的綜合題。難度比例（約數(shù)）大致為：?易：約占40%?中：約占35%?難：約占25%?易：考察基礎(chǔ)概念或直接應(yīng)用，解題步驟少。例：第1題（相反數(shù)概念）、第11題（簡單概率），幾乎只需直接列出公式或根據(jù)定義即可求解。?中：需要一定的計算或推理過程，往往結(jié)合多種基礎(chǔ)知識進(jìn)行綜合。例：第5題（圖形規(guī)律中的數(shù)列特征），第21題（生產(chǎn)數(shù)量及效率問題），先列出基本等量關(guān)系，再進(jìn)行方程求解。?難：要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合分析能力，需要多步推理或構(gòu)造輔助線，包含一定的創(chuàng)新思維。例：第24題（拋物線最值結(jié)合幾何最短路問題），第25題（旋轉(zhuǎn)、翻折、相似幾何綜合），往往需要數(shù)形結(jié)合，多次運(yùn)用幾何定理，推理較為復(fù)雜。本試卷結(jié)構(gòu)合理，知識點(diǎn)覆蓋全面，區(qū)分度較好，對于不同層次的學(xué)生都有相應(yīng)的考查與挑戰(zhàn)。通過本套試題，能夠較為準(zhǔn)確地評估學(xué)生在基礎(chǔ)知識掌握、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用創(chuàng)新等方面的綜合水平。在最后的復(fù)習(xí)沖刺階段，同學(xué)們需要結(jié)合本套試卷的特點(diǎn)與命題重點(diǎn)，有針對性地進(jìn)行查漏補(bǔ)缺與綜合訓(xùn)練。下面從知識要點(diǎn)、易錯易混點(diǎn)、復(fù)習(xí)規(guī)劃、答題技巧、心理調(diào)適和命題趨勢六個方面，為大家提供一些具體指導(dǎo)。1.函數(shù)與圖象本套試卷中涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，尤其強(qiáng)調(diào)圖象的幾何意義，如拋物線的對稱軸、反比例函數(shù)的整點(diǎn)坐標(biāo)等。建議同學(xué)們繼續(xù)強(qiáng)化函數(shù)圖象與性質(zhì)的聯(lián)系，掌握利用圖象求解幾何量或方程的方法。2.幾何綜合多道題目考查了圓、正方形、矩形、菱形等平面圖形之間的關(guān)系，且融合了勾股定理、四邊形性質(zhì)、相似和全等的判定與性質(zhì)、角平分線、垂徑定理等多處知識。重點(diǎn)關(guān)注以下內(nèi)容：?旋轉(zhuǎn)、平移、翻折等幾何變換；?軸對稱圖形與圓周角定理、垂徑定理；?復(fù)合幾何圖形的面積、邊長及角度分析。3.代數(shù)運(yùn)算與方程應(yīng)用試卷中出現(xiàn)了一元一次方程、不等式組和分式方程，以及一元二次方程應(yīng)用。要著重掌握：?不等式解法及整數(shù)解的判斷；?分式化簡及求值（特別是零指數(shù)冪與負(fù)指數(shù)冪的混合運(yùn)算）；?整式的分組、配方法等技巧。4.統(tǒng)計與概率試題中考查了扇形統(tǒng)計圖、抽樣與普查、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用，也涉及利用樣本估計總體的思想。要熟悉幾類統(tǒng)計圖表的應(yīng)用場景及計算方法，并靈活運(yùn)用相關(guān)概念進(jìn)行判斷和分析。1.函數(shù)圖象與坐標(biāo)計算在判斷反比例函數(shù)經(jīng)過哪一點(diǎn)或二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)時，部分同學(xué)常在帶入檢驗時出錯；或者在多次平移、旋轉(zhuǎn)后，忽視了頂點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律，造成失誤。2.圓周角與圓心角許多同學(xué)對“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”記憶不牢，或者在區(qū)分弧長和對應(yīng)角度時混淆，導(dǎo)致度數(shù)計算出現(xiàn)偏差。3.三角形翻折與拼圖對折疊后新構(gòu)成圖形的頂點(diǎn)位置和對應(yīng)線段關(guān)系處理不當(dāng)，容易在“共點(diǎn)”“重合”等幾何條件中弄錯對應(yīng)點(diǎn)或邊的關(guān)系。4.不等式組整數(shù)解解不等式組后忘記再篩選整數(shù)解，或沒有注意到不等式的兩邊是否能取等，最終漏解或多解。5.統(tǒng)計量的判斷對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法和界定不夠準(zhǔn)確，尤其在數(shù)據(jù)量較大的情況下，要求先排序或數(shù)頻次，卻常常操作不規(guī)范而出錯。階段一：系統(tǒng)查漏補(bǔ)缺?結(jié)合錯題：將前期做過的錯題進(jìn)行分類反思，重點(diǎn)放在幾何綜合和函數(shù)綜合試題；?梳理概念：利用思維導(dǎo)圖或知識結(jié)構(gòu)圖，將函數(shù)、幾何、代數(shù)和統(tǒng)計概率等模塊交叉點(diǎn)梳理清晰。階段二：專題強(qiáng)化訓(xùn)練?函數(shù)綜合：多練習(xí)y=ax+b、y?幾何探究題：做一些涉及平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的綜合幾何題，熟悉在圓、四邊形等圖形中的應(yīng)用；階段三：模擬實(shí)戰(zhàn)與限時訓(xùn)練?限時做整套模擬，嚴(yán)格控制120分鐘并用黑色2B鉛筆畫圖；?訓(xùn)練審題速度與書寫規(guī)范，盡量一次成型，以應(yīng)對考場時間與答題卡要求。階段四：過程中及時總結(jié)?每做完一份綜合卷，最好能進(jìn)行深度反思，記錄新的思路。?多關(guān)注在不同題型中出現(xiàn)的相似方法和規(guī)律。1.選擇題?利用排除法：如遇到四個選項中明顯有1～2個不符合題意，可快速剔除；?快速檢驗：遇簡單數(shù)值代入驗證，以求穩(wěn)妥；若圖象或幾何關(guān)系明確，可先畫草圖判定。2.填空題?精確運(yùn)算：注意分?jǐn)?shù)化簡、根式估算避免隨意；?書寫規(guī)整：在最終答案處只填寫結(jié)果，避免把過程寫入填空處。3.解答題?框架意識：先審題、再思路，列出“已知”“求證”“輔助線”這些要點(diǎn)；?分段書寫：對幾何題，先作圖，再分條邏輯；對代數(shù)題，列方程后再做檢驗；?注意格式：如需作輔助線，請用黑色2B鉛筆輕線勾勒，保證圖面效果清晰。1.分配時間在考前自測時建議將時間分配到位：前40～45分鐘完成選擇和填空，中后期70～75分鐘完成大題，并留5分鐘左右核查。2.平穩(wěn)心態(tài)?考前適度放松：保持規(guī)律作息，放空大腦；?進(jìn)考場深呼吸：遇到稍難的題目先跳過，不要慌亂，做完簡單的再回頭處理難題。1.轉(zhuǎn)化與建模未來的中考卷中仍會重視將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、或?qū)?shí)際情境轉(zhuǎn)化為函數(shù)建模。建議多做類似的例題來強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”。2.新情境與綜合素養(yǎng)真題進(jìn)一步關(guān)注現(xiàn)實(shí)情境，如環(huán)保、科技、城市發(fā)展等，題目中會出現(xiàn)曲線折射、統(tǒng)計調(diào)查等創(chuàng)新情境，要留意能夠靈活遷移現(xiàn)有知識，培養(yǎng)建模思維與應(yīng)用意識。3.綜合探究題型大題部分往往將拋物線、旋轉(zhuǎn)折疊、相似變換與面積、體積估算結(jié)合在一起，今后的復(fù)習(xí)要加強(qiáng)對這種“多知識點(diǎn)融合”的綜合能力訓(xùn)練。在后續(xù)復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們要緊扣基礎(chǔ)概念與綜合應(yīng)用兼顧，保持從容、扎實(shí)的訓(xùn)練節(jié)奏，相信只要循序漸進(jìn)、堅持總結(jié)與反思，就能在考場上發(fā)揮出色、取得滿意的成績！祝大家備考順利，穩(wěn)步提升！重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成：4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.6的相反數(shù)是（）A. B. C. D.6【答案】A【分析】本題考查了相反數(shù)的概念，根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：6的相反數(shù)是．

故選：A．2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．如果一個圖形沿著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊能完全重合，故選項B是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．

故選：B．3.下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A.調(diào)查某種柑橘的甜度情況 B.調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力C.調(diào)查某市垃圾分類的情況 D.調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況【答案】D【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【詳解】解：A中，調(diào)查某種柑橘的甜度情況，全面調(diào)查工作量大，且具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；B中，調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力，具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；C中，了調(diào)查某市垃圾分類的情況

，全面調(diào)查工作量大，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；D中，調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況，范圍較小，適于全面調(diào)查，故本選項符合題意．故選：D．4.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，．故選：B．5.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點(diǎn)，第②個圖中有8個圓點(diǎn)，第③個圖中有12個圓點(diǎn)，第④個圖中有16個圓點(diǎn)……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點(diǎn)的個數(shù)是（）A.32 B.28 C.24 D.20【答案】C【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有8個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有12個黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)，代入計算即可．解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點(diǎn)個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有8個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有12個黑色圓點(diǎn)，第④個圖案中有16個黑色圓點(diǎn)，則第個圖案中有個黑色圓點(diǎn)，所以第⑥個圖中圓點(diǎn)的個數(shù)是個，故選：C．6.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的，點(diǎn)所在的反比例函數(shù)的，反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是，故選：D．7.下列四個數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用能力，運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法知識將各選項數(shù)字還原，再進(jìn)行比較、求解．關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識．【詳解】解：，，，，，，∴四個數(shù)中，最大的是，故選：D．8.某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達(dá)到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該景區(qū)2024年接待游客人次數(shù)該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)年平均增長率為x，可得方程，解得或（舍去負(fù)值），所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為，故選：B9.如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到正方形所在的平面內(nèi)，得，延長交于點(diǎn)G．和的平分線相交于點(diǎn)H，連接，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，連接，證明，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，再利用角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)到的距離相等，利用面積之比即可解答，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是正方形，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，,將沿直線翻折得，，,，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得,即，解得，，和的平分線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)到的距離相等，，故選：A．10.已知整式，其中為自然數(shù)，，，，…，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當(dāng)時，滿足條件的所有整式M的和為；③滿足條件的所有二次三項式中，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時，其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據(jù)題意逐項分析，對進(jìn)行分類討論，即可求解，理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)，時，整式M為，當(dāng)時，整式M不可能為單項式，當(dāng)時，，，…，為正整數(shù)，整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，則中有一個可能為，故會有三種情況，對應(yīng)的整式M為，，，當(dāng)時，，則故會有一種情況，對應(yīng)的整式M為，當(dāng)時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，滿足條件的所有整式M的和為，故②錯誤；多項式為二次三項式，，，因為多項式為三項式，故，當(dāng)時，，則有兩種，，，兩種都滿足條件，當(dāng)時，，則有一種，，滿足條件，當(dāng)時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，所以其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個，故③正確，其中正確的個數(shù)是個，故選：C．二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個球，則摸出紅球的概率是__________．【答案】【分析】本題考查求概率，概率的計算公式是，其中表示事件A發(fā)生的概率，m表示事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)，n表示所有可能的結(jié)果數(shù)．根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：袋子里一共有個球，紅球有1個．∴摸出紅球的概率．故答案為：．12.如圖，，直線分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，則的度數(shù)是__________．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可解答，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故答案為：．13.若為正整數(shù)，且滿足，則__________．【答案】【分析】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．先估算的取值范圍，得出，又因為n為正整數(shù)，且滿足，即可得出．【詳解】解：∵，∴，∴，∵為正整數(shù)，且滿足，∴，故答案為：．14.若實(shí)數(shù)x，y同時滿足，，則的值為__________．【答案】【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，解一元一次方程，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)絕對值的非負(fù)性，得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到關(guān)于的一元一次方程，求出的值，進(jìn)而求出的值，再根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，，∴，∴，∴；故答案為：．15.如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，連接．以為邊作菱形，交于點(diǎn)F，，垂足為G．連接，交于點(diǎn)H，連接．若，，則的長度為__________，的長度為__________．【答案】①.3②.【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，正確作出輔助線、運(yùn)用解直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵．由垂徑定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到、、；如圖：連接，由圓周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，如圖：過H作于F，解直角三角形可得、，易得，最后運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，即，∴，∵菱形，∴，∴，；∴如圖：連接，∵是的直徑，∴，∴，即，解得：；，即，解得：；∵菱形，∴，∴，如圖：過H作于F，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故答案為：3，．16.我們規(guī)定：一個四位數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是__________：一個“十全數(shù)”，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)，記，．若與均是整數(shù)，則滿足條件的M的值是__________．【答案】①.②.【分析】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全數(shù)”是；根據(jù)題意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根據(jù)題意得到與均是整數(shù)，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)四位數(shù)∵要求最小的“十全數(shù)”，∴，∴，∴最小的“十全數(shù)”是；∵一個“十全數(shù)”，∴∴，∴∴∴∴∴∴∵與均是整數(shù)∴與均是整數(shù)∴能被13整除，能被17整除∵，∴，∴∴的值可以為13，26，39，52，65∴依次代入可得，當(dāng)，時，，均是整數(shù)，符合題意∴，∴滿足條件的M的值是．故答案為：，．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．17.求不等式組：的所有整數(shù)解．【答案】，，【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．利用解不等式組的步驟求解，再得出其整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式①，得：；解不等式②，得：；∴不等式組的解集為．所以該不等式組的所有整數(shù)解是，，．18.學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進(jìn)行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進(jìn)行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在的邊上任取一點(diǎn)E，并過點(diǎn)E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在邊上截取，過點(diǎn)F作的垂線與小紅所作的垂線交于點(diǎn)P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：，，．在和中，，．③．平分．【答案】第一步：作圖見解析；第二步：①；②；③【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．第一步：根據(jù)題意作出圖形即可；第二步：利用證明，得出即可解答．【詳解】解：第一步：作圖如下：；第二步：證明：，，．在和中，，．,平分．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种魄覟檎麛?shù)）進(jìn)行整理、描述和分析（成績均不低于分，用表示，共分四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)是：，，，，，，．八年級名學(xué)生競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年級所抽取學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中__________，__________，__________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有學(xué)生人，八年級有學(xué)生人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學(xué)生人數(shù)共是多少？【答案】（1），，（2）七年級成績較好，理由見解析（答案不唯一）（3）人【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，樣本估計總體，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）利用扇形統(tǒng)計圖即可求出組和組的人數(shù)，再利用中位數(shù)定義和組數(shù)據(jù)即可求出，再利用眾數(shù)定義即可求出，最后利用扇形和組人數(shù)即可求出；（2）根據(jù)平均分、中位數(shù)及眾數(shù)分析即可得出結(jié)果；（3）利用樣本估計總體進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)有（人），在組中的數(shù)據(jù)有（人），∵七年級競賽成績的中位數(shù)是數(shù)據(jù)從小到排列后的第和個數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)從小到排列后的第和個數(shù)據(jù)是，，∴，∵八年級名學(xué)生競賽成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是，∴，∵七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)共個，∴，∴，故答案為：，，；【小問2詳解】解：該校七年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學(xué)生航天知識競賽的成績的平均數(shù)相同都是，但七年級競賽的成績的中位數(shù)大于八年級競賽的成績的中位數(shù)，所以該校七年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好；或該校八年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學(xué)生航天知識競賽的成績的平均數(shù)相同都是，但八年級競賽的成績的眾數(shù)大于七年級競賽的成績的眾數(shù)，所以該校八年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好；【小問3詳解】解：（人），即估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學(xué)生人數(shù)共是人．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，原式=【分析】本題考查分式的化簡求值，零指數(shù)冪，根據(jù)多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，分式的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡，根據(jù)絕對值的意義，零指數(shù)冪求出的值，再把的值代入化簡后的式子中進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式；∵，∴原式．21.列方程解下列問題：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品．每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多50個，3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個．（1）求該廠每天生產(chǎn)的甲、乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量分別是多少個？（2）由于市場需求量增加，該廠對生產(chǎn)流程進(jìn)行了改進(jìn)．改進(jìn)后，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天生產(chǎn)的數(shù)量增加同樣的數(shù)量，且每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天增加的數(shù)量是乙種文創(chuàng)產(chǎn)品每天增加數(shù)量的2倍．若生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量．【答案】（1）該廠每天生產(chǎn)的甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個，乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是個（2）每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個【分析】本題考查一元一次方程和分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是x個，根據(jù)題意列一元一次方程解答即可；（2）設(shè)該廠每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加數(shù)量是個，根據(jù)“生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．【小問1詳解】解：設(shè)該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是x個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個．，解得：，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個，答：該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個．【小問2詳解】解：設(shè)每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個．，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，答：每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個．22.如圖，點(diǎn)為矩形的對角線AC的中點(diǎn)，，，，是上的點(diǎn)（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為．矩形的面積為，的面積為，△CDF的面積為，．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍：（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，并分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過）．【答案】（1），（2）作圖見解析，性質(zhì)：當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減?。?）（或或或或）【分析】本題考查函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與不等式，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并能正確分段列出動點(diǎn)問題的相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．（1）利用矩形性質(zhì)和勾股定理得出，，分兩部分：①當(dāng)時；②當(dāng)時，分別列出；過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等面積法求出，即可表示出的面積為，同理可得的面積為，再結(jié)合矩形的面積為與，即可列出；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)；（3）根據(jù)圖象寫出的圖象在下方時對應(yīng)的自變量的取值范圍即可【小問1詳解】解：∵為矩形的對角線AC的中點(diǎn)，，，∴，，∴，當(dāng)時，，如圖，∴；當(dāng)時，，如圖，∴；∴；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴的面積為，同理可得的面積為，又∵矩形的面積為，∴，∴；【小問2詳解】解：作圖如下：性質(zhì)：當(dāng)時，隨增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減小；【小問3詳解】解：結(jié)合函數(shù)圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．23.為加強(qiáng)森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機(jī)位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機(jī)同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）甲、乙兩無人機(jī)同時分別從B，D出發(fā)沿往C處進(jìn)行巡視，乙無人機(jī)速度為甲無人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無人機(jī)相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機(jī)飛離B處多少千米時，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？【答案】（1）千米（2）千米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（1）過點(diǎn)A作于E，過點(diǎn)B作于F，由題意得，，解得到千米，千米，證明四邊形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的長；（2）當(dāng)甲無人機(jī)運(yùn)動到M，乙無人機(jī)運(yùn)動到N時，此時滿足千米．過點(diǎn)M作于T，由題意得，，解得到千米，千米，則千米，設(shè)千米，則千米，千米，解得到千米，千米，則千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案?！拘?詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作于E，過點(diǎn)B作于F，∴，由題意得，，在中，千米，千米，∵無人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的長度約為千米；【小問2詳解】解：如圖所示，當(dāng)甲無人機(jī)運(yùn)動到M，乙無人機(jī)運(yùn)動到N時，此時滿足千米．過點(diǎn)M作于T，由題意得，，在中，千米，千米，∴千米，設(shè)千米，則千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此時大于的長，舍去），∴千米，答：甲無人機(jī)飛離B處千米時，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）點(diǎn)P是射線下方拋物線上的一動點(diǎn)，連接與射線交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D，E為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的下方），且，連接，．當(dāng)取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的一動點(diǎn)．若，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為，的最小值為（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）先求出直線的解析式，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，求出長，再證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出的最小值，把點(diǎn)P向上平移個單位長度得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，即可得到，