專題拓展：點(diǎn)與直線的對(duì)稱問(wèn)題一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱1、實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)．2、方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱1、實(shí)質(zhì)：兩直線平行2、法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問(wèn)題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）．法二：利用平行性質(zhì)解（求一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）．三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱1、實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線．2、（1）當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．四、直線關(guān)于直線對(duì)稱1、當(dāng)與l相交時(shí)：此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問(wèn)題；求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)；第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)；第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程．2、當(dāng)與l平行時(shí)：對(duì)稱直線與已知直線平行．兩條對(duì)稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式建立方程即可解得．考點(diǎn)一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題例1．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·月考）點(diǎn)A(2，－3)關(guān)于點(diǎn)B(－1,0)的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(

)A．(5，－6) B．(－4,3) C．(3，－3) D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)則解得故選B【變式1-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）已知點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則等于（

）A．5 B．1 C． D．【答案】B【解析】由與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則，所以.故選：B【變式1-2】（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知不同的兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則ab＝.【答案】【解析】由題意知，即，解得，故.故答案為：【變式1-3】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．【答案】【解析】由已知得，解得，即，故答案為：考點(diǎn)二：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題例2.（22-23高二上·河南南陽(yáng)·月考）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，又因?yàn)樵谏希?，即。故選：B【變式2-1】（23-24高二上·全國(guó)·期末）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【解析】由題設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，若該點(diǎn)必在上，∴，解得，即一定在直線上.故選：C.【變式2-2】（23-24高二上·浙江嘉興·月考）不論實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線都過(guò)定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：，令，解得：，所以，設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為：，則到直線與的距離相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為：.故選：D.【變式2-3】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】由于直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩直線平行，故，則，由于點(diǎn)在直線上，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，故在上，代入可得，故，故選：A考點(diǎn)三：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題例3.（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【變式3-1】（23-24高二上·山東菏澤·月考）已知直線與直線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)A，所以聯(lián)立，解得，即.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，解得，即點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：.【變式3-2】（23-24高二上·河南濮陽(yáng)·月考）若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】【解析】點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，解得.故答案為：【變式3-3】（23-24高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以直線為線段的中垂線，因?yàn)?，中點(diǎn)為，且，所以直線的斜率為，所以直線的方程為即.故選：D考點(diǎn)四：直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題例4.（23-24高二上·安徽宣城·月考）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.【變式4-1】（23-24高二上·山東青島·期中）直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直線的斜率為2，與x軸交于點(diǎn)，則與關(guān)于x軸對(duì)稱的直線斜率為，并過(guò)點(diǎn)，所以，所求方程為，即.故選：D【變式4-2】（23-24高二上·山西大同·月考）已知直線：與關(guān)于直線對(duì)稱，與平行，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線，即是交換位置所得，即，相互平行，的斜率為，故.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·四川宜賓·期中）已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為.【答案】【解析】與不平行，故經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即在上，取上另一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，過(guò)兩點(diǎn)和，故方程為，即故答案為：考點(diǎn)五：對(duì)稱在光線反射中的應(yīng)用例5.（23-24高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）一條光線從點(diǎn)射向軸，經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)反射后通過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題可得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為，可得，令，可得，所以點(diǎn).故答案為：.【變式5-1】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·月考）一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，則反射光線所在直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線為.因?yàn)?，所以反射光線所在直線的方程為.令，得反射光線所在直線在軸上的截距為.故選：C．【變式5-2】（23-24高二上·廣東佛山·月考）已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即.所以人射光線所在直線的方程為，即.故選：A【變式5-3】（23-24高二上·安徽亳州·月考），，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到軸上的點(diǎn)，則光線經(jīng)歷的路程是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】C【解析】設(shè)光線與交點(diǎn)為，直線的方程為，即，直線的方程為，即，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，由光的反射性質(zhì)可知，四點(diǎn)共線，,∴光線經(jīng)歷的路程是.故選：C.一、單選題1．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椴辉谥本€l：上，所以可設(shè)直線l：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，則，解得或（舍去），故所求直線方程為：.故選：A2．（23-24高二上·廣東深圳·期中）與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在所求直線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，故所求直線方程為，即.故選：A.3．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知點(diǎn)、，若、關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【解析】由題意得；的中點(diǎn)在直線上，且直線與直線垂直，即，解得：，故選：A.4．（23-24高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，∵點(diǎn)在直線上，即，∴，化簡(jiǎn)得，即為所求直線方程.故選：B.5．（22-23高二上·河北石家莊·月考）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．25 B． C．17 D．【答案】B【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，依據(jù)題意可得：，解方程組得，又對(duì)稱點(diǎn)在直線上，代入可得，且在第一象限，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B6．（23-24高二上·安徽·月考）光線通過(guò)點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.二、多選題7．（23-24高二上·甘肅·期末）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．-2【答案】AC【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，又，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，其必在直線上，則，化簡(jiǎn)為，①又垂直直線，故，化簡(jiǎn)為，②聯(lián)立①②，解得，或，又當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂直直線，必有，此時(shí)直線方程為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，不在直線上，不滿足題意，故，故選：AC.8．（23-24高二上·山東濟(jì)南·期末）一條光線從點(diǎn)射出，射向點(diǎn)，經(jīng)x軸反射后過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB的斜率是 B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由于、，由斜率公式得：，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)x軸反射后直線的斜率為：，且，所以，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，直線即直線的方程為：，即，將代入得：，所以點(diǎn)，，選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D，由兩點(diǎn)間距離公式得：，選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題9．（22-23高二上·湖南益陽(yáng)·月考）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為.因?yàn)橹本€的斜率為，由對(duì)稱關(guān)系，兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以，又因?yàn)閮牲c(diǎn)連線段的中點(diǎn)在直線上，代入得，兩式聯(lián)立，即可解得，所以對(duì)稱點(diǎn)為．故答案為：．10．（23-24高二上·江蘇南京·月考）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為．【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由得：，則點(diǎn)在直線上；在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得：，即；直線的方程為：，即.故答案為：.11．（23-24高二上·河北·月考）已知直線與直線的交點(diǎn)為，為直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】聯(lián)立方程組，解得：，即，因?yàn)闉橹本€的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率為，則，即直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即．故答案為：.四、解答題12．（23-24高二上·廣西南寧·月考）已知直線和點(diǎn)(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為.13．（23-24高二上·全國(guó)·專題練習(xí)