第18講 橢圓的簡單幾何性質(思維導圖+3知識點+8考點+過關檢測)(原卷版)-2025新高二數學暑假提升講義(精講精練)_第1頁
第18講 橢圓的簡單幾何性質(思維導圖+3知識點+8考點+過關檢測)(原卷版)-2025新高二數學暑假提升講義(精講精練)_第2頁
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第18講橢圓的簡單幾何性質模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.能利用類比的方法,通過橢圓的標準方程推導出橢圓的簡單幾何性質;2.能通過橢圓簡單幾何性質的應用,將橢圓的實際問題轉化為數學問題,提升數學建模素養(yǎng)知識點1橢圓的簡單幾何性質焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程范圍,,對稱性關于軸、原點對稱軸長長軸長:;短軸長:長軸長:;短軸長:頂點離心率離心率越接近1,則橢圓越圓;離心率越接近0,則橢圓越扁通徑通徑的定義:過焦點且垂直于焦點軸的橢圓的弦長通徑的大小:知識點2直線與橢圓的位置關系1、位置關系的判斷直線與橢圓的位置關系:聯立消去y得一個關于x的一元二次方程.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點);②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點);③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點.2、直線與橢圓相交的弦長公式(1)定義:連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦.(2)求弦長的方法=1\*GB3①交點法:將直線的方程與橢圓的方程聯立,求出兩交點的坐標,然后運用兩點間的距離公式來求.=2\*GB3②根與系數的關系法:如果直線的斜率為k,被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則弦長公式為:.3、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟:(1)得出直線方程,設交點為,;(2)聯立直線與曲線方程,得到關于x(或y)的一元二次方程;(3)寫出根與系數的關系;(4)將所求問題或題中關系轉化為關于,的形式;(5)代入求解.知識點3橢圓的中點弦問題1、根與系數關系法:聯立直線方程和橢圓方程構成方程組,消去一個未知數,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決;2、點差法:利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系,具體如下:直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點、,其中中點為,則有.證明:設、,則有,上式減下式得,∴,∴,∴.特殊的:直線(存在斜率)過橢圓()上兩點、,線段中點為,則有.考點一:由橢圓方程求研究幾何性質例1.(23-24高二上·河北邢臺·月考)(多選)已知橢圓,則(

)A.橢圓的長軸長為 B.橢圓的焦距為6C.橢圓的短半軸長為 D.橢圓的離心率為【變式1-1】(23-24高二上·河南焦作·月考)橢圓的焦點在軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則的值為(

)A. B. C.2 D.4【變式1-2】(23-24高二下·北京·開學考試)橢圓的焦距為2,則為(

)A.5或13 B.5 C.8或10 D.8【變式1-3】(23-24高二上·湖南常德·月考)橢圓與橢圓的(

)A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等考點二:由幾何性質求橢圓方程例2.(22-23高二上·河南·月考)已知直線,經過橢圓的右頂點和上頂點,則橢圓的標準方程為(

)A. B. C. D.【變式2-1】(23-24高二下·四川廣安·開學考)已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于4,則橢圓的標準方程是(

)A. B. C. D.【變式2-2】(23-24高二上·重慶九龍坡·期中)已知是橢圓上一點,、分別是橢圓的左、右焦點,若的周長為6.且橢圓的離心率為,則橢圓方程為(

)A. B. C. D.【變式2-3】(23-24高二上·北京·月考)與橢圓有相同焦點,且滿足短半軸長為的橢圓方程是(

)A. B. C. D.考點三:求橢圓離心率的值例3.(23-24高二下·河南周口·月考)已知橢圓的上頂點、左焦點、右頂點分別為A,F,B,且點A為的垂心,則橢圓C的離心率為(

)A. B. C. D.【變式3-1】(23-24高二下·山西晉城·月考)已知,是橢圓的兩個焦點,M為C的頂點,若的內心和重心重合,則C的離心率為(

)A. B. C. D.【變式3-2】(23-24高二下·重慶·月考)橢圓的右頂點為,右焦點為為橢圓在第二象限上的點,直線交橢圓于點,11延長直線交線段于,若,則橢圓的離心率是(

)A. B. C. D.【變式3-3】(23-24高二下·吉林長春·月考)橢圓的右焦點為F,過F的直線交橢圓于A,B兩點,點C是A點關于原點O的對稱點,若且,則橢圓的離心率為(

)A. B. C. D.考點四:求橢圓離心率的取值范圍例4.(23-24高三上·江蘇淮安·月考)設,分別是橢圓的左、右焦點,過作軸的垂線與橢圓交于,兩點,若為鈍角三角形,則離心率的取值范圍為(

)A. B. C. D.【變式4-1】(23-24高二上·廣東深圳·期中)已知是橢圓的兩個焦點,滿足的點總在橢圓內部,則橢圓離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.【變式4-2】(23-24高二上·浙江臺州·期中)橢圓的左,右焦點分別為,,若橢圓上存在點,使,則橢圓離心率的取值范圍為(

)A. B. C. D.【變式4-3】(23-24高二上·天津·期中)已知橢圓,P是橢圓C上的點,是橢圓C的左右焦點,若恒成立,則橢圓C的離心率e的取值范圍是(

)A. B. C. D.考點五:直線與橢圓的位置關系例5.(23-24高二上·遼寧大連·期中)已知橢圓,直線,則與的位置關系為(

)A.相交 B.相切 C.相離 D.以上選項都不對【變式5-1】(23-24高二上·重慶·期末)已知直線的方程為,橢圓的方程為,則直線與橢圓的位置關系為(

)A.相離 B.相交 C.相切 D.不能確定【變式5-2】(23-24高二上·江西·期末)直線與橢圓的位置關系為(

)A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【變式5-3】(23-24高二下·山東煙臺·月考)已知直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點,則的取值范圍(

).A. B. C. D.考點六:直線與橢圓相交弦長例6.(22-23高二上·江蘇淮安·月考)過橢圓的左焦點作斜率為1的弦,則弦的長為(

)A. B. C. D.【變式6-1】(23-24高二上·全國·單元測試)過橢圓的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于兩點,則等于(

)A.4 B. C.1 D.【變式6-2】(23-24高二上·浙江溫州·期中)直線:在橢圓上截得的弦長是(

)A. B. C. D.【變式6-3】(23-24高二上·河南南陽·期末)已知橢圓C:(,)的長軸為,短軸長為4.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設直線l:與橢圓C交于不同兩點A、B,且,求直線的方程.考點七:橢圓的中點弦問題例7.(22-23高二上·安徽蕪湖·月考)不經過原點的直線與橢圓相交于,,線段的中點為,設直線的斜率為,直線(為原點)的斜率為,則的值為(

)A. B. C. D.【變式7-1】(22-23高二上·四川成都·期中)若橢圓的動弦斜率為,則弦中點坐標可能是(

)A. B. C. D.【變式7-2】(23-24高二上·廣東深圳·期中)已知橢圓方程為,其右焦點為,過點的直線交橢圓與,兩點.若的中點坐標為,則橢圓的方程為(

)A. B. C. D.【變式7-3】(22-23高二上·廣東東莞·月考)已知橢圓的短半軸為3,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點,且為的中點,求弦的長度.考點八:橢圓的綜合應用例8.(23-24高二上·北京·期中)已知橢圓.斜率為的直線與橢圓交于兩點,以為底邊作等腰三角形,頂點為.(1)求橢圓的離心率;(2)求的面積.【變式8-1】(23-24高二下·安徽合肥·期中)已知橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為,且,動直線與橢圓交于兩點;當直線過焦點且與軸垂直時,.(1)求橢圓的方程;(2)若直線過點,橢圓的左頂點為,當面積為時,求直線的斜率.【變式8-2】(23-24高二上·天津·期末)已知?圓:()經過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)直線與橢圓交于點(異于頂點)與軸交于點,點為橢圓的右焦點,為坐標原點,,求直線的方程.【變式8-3】(23-24高二上·江蘇徐州·期末)已知橢圓的右焦點為,且過點.(1)求C的方程;(2)若過點的直線與交于兩點,為坐標原點,求面積的最大值.一、單選題1.(23-24高二上·江蘇宿遷·期末)已知橢圓的離心率為,則橢圓的長軸長為(

)A. B. C. D.62.(23-24高二上·山東濟寧·月考)焦點在y軸上,且長軸長與短軸長之比為2:1,焦距為的橢圓方程為(

)A. B. C. D.3.(23-24高二上·江蘇徐州·期中)通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于(

)A. B.3 C. D.64.(23-24高二上·全國·課后作業(yè))直線與橢圓的公共點的個數是(

)A.0 B.1 C.2 D.無數個5.(23-24高二下·河南·月考)已知橢圓的左、右焦點分別為,過的直線交橢圓于兩點,且,則橢圓的離心率為(

)A. B. C. D.6.(23-24高二上·山東濟南·月考)已知橢圓,點是橢圓上任意一點,則到直線的距離最大值是(

)A. B. C. D.二、多選題7.(2024·河南開封·三模)橢圓的焦點為,,上頂點為A,直線與C的另一個交點為B,若,則(

)A.C的焦距為2 B.C的短軸長為C.C的離心率為 D.的周長為88.(23-24高二上·甘肅武威·月考)已知橢圓,則(

)A.的焦點都在軸上 B.的焦距不相等C.有公共點 D.橢圓比橢圓扁平三、填空題9.(23-24高二上·江蘇揚州·月考)若焦點在軸上的橢圓的焦距為,則實數的值為.10.(22-23高二上·湖南邵陽·月考)設橢圓經過點,離心率為,求過點且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標.11.(23-24高二上·河南許昌·月考)已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上一點,

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