第13講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征；2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3．掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)1圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，為圓上任意一點(diǎn)，⊙就是集合．定義中，定點(diǎn)指的是圓心，定長(zhǎng)指的是圓的半徑．知識(shí)點(diǎn)2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把稱為圓心為，半徑長(zhǎng)為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【注意】（1）所謂標(biāo)準(zhǔn)方程，是指方程的形式．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程體現(xiàn)了圓的集合性質(zhì)，突出了圓的幾何意義：圓心位置和半徑．（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的右端，當(dāng)方程右端小于或等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)方程不是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立坐標(biāo)系時(shí)，原點(diǎn)在圓心是特殊情況，就一般情況來說，因?yàn)槭嵌c(diǎn)，設(shè)，半徑為，且設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）寫點(diǎn)集：根據(jù)定義，圓就是集合．（3）列方程：由兩點(diǎn)間的距離公式得．（4）化簡(jiǎn)方程：將上式兩邊平方得．3、幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點(diǎn)圓過原點(diǎn)圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、幾何法：點(diǎn)，圓心，圓的半徑，設(shè)與點(diǎn)間的距離，點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上．2、代數(shù)法：將點(diǎn)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷，即若點(diǎn)在圓外，則；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則；若點(diǎn)在圓上，則．知識(shí)點(diǎn)4圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)圓心到定點(diǎn)的距離為，圓的半徑為，圓上的動(dòng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在圓外時(shí)，，；（2）若點(diǎn)在圓上時(shí)，，；（2）若點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，，．綜上：，．考點(diǎn)一：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A心為，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C【變式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則圓的方程是.【答案】【解析】根據(jù)題意，，即圓心坐標(biāo)為；則圓的半徑，故所求圓的方程為：.故答案為：.【變式1-2】（22-23高二上·廣東東莞·期中）求經(jīng)過點(diǎn)且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】若經(jīng)過點(diǎn)，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：考點(diǎn)二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多選）已知，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓為圓P，則（

）A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)C．在圓P內(nèi) D．在圓P外【答案】AC【解析】以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，易知，，，，所以點(diǎn)在圓P上，點(diǎn)N在圓P外，點(diǎn)Q在圓P內(nèi)．故選：AC．【變式2-1】（23-24高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則點(diǎn)P（

）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．與a的取值有關(guān)【答案】C【解析】∵，∴點(diǎn)P在圓外.故選：C．【變式2-2】（23-24高二上·重慶·期中）若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，若點(diǎn)在圓外，則，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式2-3】（23-24高二上·廣西·期末）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則兩直線與的交點(diǎn)為，依題意得，解得.故選：B.考點(diǎn)三：與圓有關(guān)的最值問題例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)圓心到原點(diǎn)的距離為，則，故選：D【變式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楸硎緢A心為，半徑為的圓，則表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，所以的最大值為.故選：D【變式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知為圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線，且在中間時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.【變式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圓:，點(diǎn)，.設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．【答案】【解析】由已知，，設(shè)，，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，由的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.考點(diǎn)四：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．【變式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.【變式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對(duì)稱，得的斜率.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，所以，即.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱后的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.一、單選題1．（23-24高二上·廣東湛江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得方程為.故選：C.2．（23-24高二上·河南開封·期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓經(jīng)過點(diǎn)和，可知圓心在直線上，又圓心在直線上，所以的坐標(biāo)為，半徑，所以圓的面積為．故選：D．3．（23-24高二上·安徽黃山·期末）圓與圓N關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：D4．（23-24高二上·廣東惠州·期中）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值無關(guān)【答案】A【解析】，在圓外，故選：A.5．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．

【答案】A【解析】點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，化簡(jiǎn)得，解得，故選:A6．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)該圓圓心為P，故該圓的圓心的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)、圓心P以及點(diǎn)三點(diǎn)共線且圓心P在坐標(biāo)原點(diǎn)和之間時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小，最小值為，故選：C二、多選題7．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，為直角三角形，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)圓心，由題意可知，，即，解得，因?yàn)闉橹苯侨切?，則為直角三角形，則，即，解得，則圓的半徑為，圓心為，因此，圓的方程為或，故選：BC.8．（23-24高二上·重慶九龍坡·月考）若有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．所有圓的半徑均為2B．所有的圓的圓心恒在直線上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上D．經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)【答案】AB【解析】選項(xiàng)A:，，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B:根據(jù)可得，圓心為，在，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，，代入不滿足方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:代入得：即有兩個(gè)解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.三、填空題9．（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）與圓有相同圓心，且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，因?yàn)閳A過點(diǎn)半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.10．（22-23高二下·四川涼山·月考）若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是【答案】【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點(diǎn)為，因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以直線的方程是，即，故答案為：11．（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】表示圓上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)閳A的圓心，半徑，則，因?yàn)椋?，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，都在上.(1)求線段垂直平分線的方程；(2)求的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)為因?yàn)橹本€的斜率為，所以垂直平分線的斜率不存在.所以垂直平分線的方程為；（2）解法一：因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，則可設(shè)的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)，在上，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為圓心，由，解得