專題三多解問(wèn)題類型1

特殊三角形中的多解題考向1：與等腰三角形相關(guān)的分類討論典例1（2023·阜陽(yáng)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B，DE與AC交于點(diǎn)E.典例1圖（1）

求證：△ABD∽△DCE.（2）

若∠B＝40°，當(dāng)∠ADB的度數(shù)為多少時(shí)，△ADE是等腰三角形？[思路點(diǎn)撥]（1）

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠BAD＝∠CDE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠B＝∠C，即可證明△ABD∽△DCE.（2）

分三種情況：DA＝DE；AD＝AE；EA＝ED.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠ADB的度數(shù)即可.解：（1）

∵

∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴

∠BAD＝∠CDE.∵

AB＝AC，∴

∠B＝∠C.

∴

△ABD∽△DCE.典例1圖

典例1圖跟蹤訓(xùn)練?

?

第1題

123456789101112131415161718192021222324

第2題

第2題答案第2題

第2題答案第2題考向2：與直角三角形相關(guān)的分類討論典例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將∠B翻折使得點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)D處，折痕交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，設(shè)CD＝x，BE＝y(tǒng).典例2圖（1）

寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍.（2）

若△ADF為直角三角形，求x的值.[思路點(diǎn)撥]（1）

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE＝BE，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，得到答案；（2）

分∠ADF＝90°，∠AFD＝90°兩種情況，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x的值.

典例2圖

典例2圖跟蹤訓(xùn)練?

?3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（－1，0），B（1，2）.若在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（

C

）A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)第3題C

第4題

類型2

對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定考向1：全等三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定典例3如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.典例3圖[思路點(diǎn)撥]當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，根據(jù)∠B＝∠C可知B和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，但這兩個(gè)角的兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，應(yīng)分兩種情況討論：①

BD與CP是對(duì)應(yīng)邊；②

BD與CQ是對(duì)應(yīng)邊.

典例3圖跟蹤訓(xùn)練?

?5.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）.若在y軸的右側(cè)有一點(diǎn)C使得△BOC與△BOA全等，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（1，0）或（1，2）

?.第5題（1，0）或（1，2）6.如圖，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝4，AP⊥AC于點(diǎn)A，點(diǎn)D，E分別在AC和AP上運(yùn)動(dòng)，且DE＝AB，當(dāng)AD＝

8或4

?時(shí)，△ADE和△ABC全等.第6題8或4考向2：相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定

典例4圖[思路點(diǎn)撥]分△AEF∽△DEP和△AEF∽△DPE兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

跟蹤訓(xùn)練?

?

第7題

第8題

類型3

點(diǎn)的位置不確定考向1：與三角形相關(guān)的點(diǎn)的位置不確定典例5如圖，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，其中D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AC，EC，則∠DCE的度數(shù)為

135°或45°

?.

典例5圖135°或45°[思路點(diǎn)撥]分兩種情況討論：①

當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)；②

當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí).過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出∠DCE的度數(shù).跟蹤訓(xùn)練?

?

第9題10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADF沿直線DF折疊得到△EDF.若DE與△ABC的邊垂直，則AF的長(zhǎng)是多少？第10題

第10題答案第10題

第10題答案第10題

第10題答案第10題考向2：與四邊形相關(guān)的點(diǎn)的位置不確定

典例6圖

跟蹤訓(xùn)練?

?11.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P在邊AD上以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊BC上以2cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則當(dāng)直線PQ在四邊形ABCD的內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

2.4s或3.6s

?.第11題2.4s或3.6s12.如圖，在矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24，E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為

9或18

?.第12題9或18考向3：與圓相關(guān)的點(diǎn)的位置不確定典例7如圖，PM，PN分別與☉O相切于點(diǎn)A，B，∠P＝58°.若C為☉O上異于A，B的一點(diǎn)，連接AC，BC，則∠ACB的度數(shù)是

61°或119°

?.典例7圖61°或119°[思路點(diǎn)撥]連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，OB⊥PB，進(jìn)而求出∠AOB的度數(shù)，分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上和點(diǎn)C在劣弧AB上這兩種情況進(jìn)行討論，并根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.跟蹤訓(xùn)練?

?13.如圖，在☉O中，半徑OA垂直于弦BC.若∠AOB＝60°，D為☉O上一點(diǎn)，則∠ADC的度數(shù)為

30°或150°

?.

第13題30°或150°14.如圖，AB是☉O的直徑，AB＝2，直線l與☉O相切于點(diǎn)C，且l∥AB.在直線l上取一點(diǎn)D，連接AD交☉O于點(diǎn)E.若AE＝DE，求CD的長(zhǎng).第14題

第14題答案第14題

第14題答案第14題強(qiáng)化練習(xí)1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB移動(dòng)到點(diǎn)B，則當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)

2.5或4

?s時(shí)，△ACP是等腰三角形.第1題2.5或412345678910111213

第2題6或8123456789101112133.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－12，5），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，C是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持CD＝OA，則當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（0，12）或（0，5）?時(shí)，△ABO與△OCD全等.第3題（0，12）或（0，5）12345678910111213

第4題

123456789101112135.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝50°，D是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，把△BCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)C'處，則當(dāng)C'D平行于△ABC的邊時(shí)，∠CDB的度數(shù)為

65°或120°

?.第5題65°或120°12345678910111213

第6題

123456789101112137.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

1或7

?秒時(shí)，△ABP和△DCE全等.第7題1或712345678910111213

第8題

12345678910111213

第9題

12345678910111213

第10題

12345678910111213

第11題

1234567891011121312.如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E是△ABC外的一點(diǎn)，∠CDB＝130°，∠ADB＝α，△ABD≌△ACE.（1）

求證：△ADE是等邊三角形.解：（1）

∵

△ABC為等邊三角形，∴

∠BAC＝60°.

∵

△ABD≌△ACE，∴

AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.

∴

∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠DAE＝60°.

∴

△ADE是等邊三角形第12題12345678910111213（2）

若△CDE是直角三角形，求α的度數(shù).解：（2）

∵

△ABD≌△ACE，∴

∠AEC＝∠ADB＝α.

∵

△ADE是等邊三角形，∴

∠AED＝∠ADE＝60°.

∴

∠CED＝α－60°，∠CDE＝360°－130°－α－60°＝170°－α.∴

∠DCE＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－（α－60°）－（170°－α）＝70°.當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，α－60°＝90°，

∴

α＝150°.當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，170°－α＝90°，∴

α＝80°.綜上所述，α的度數(shù)為150°或80°第12題1234567891011121313.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA＝OB＝4，BC＝12，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，6）.（1）

求點(diǎn)A