《用代入消元法解簡單的二元一次方程組》教案教學(xué)目標(biāo)課題第1課時(shí)用代入消元法解簡單的二元一次方程組授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.了解解二元一次方程組的“消元”思想，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“化未知為已知”，“化復(fù)雜為簡單”的化歸思想．2．了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步驟．3．會用代入消元法求簡單的二元一次方程組的解.教學(xué)重點(diǎn)了解代入法的一般步驟，會用代入法解簡單的二元一次方程組．教學(xué)難點(diǎn)對代入消元法解方程組的過程的理解.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：回顧舊知，新課導(dǎo)入【設(shè)計(jì)意圖】回顧上節(jié)課的內(nèi)容，為引入新課做準(zhǔn)備.【回顧導(dǎo)入】在上節(jié)課中，我們探究了教材P87的問題，通過設(shè)租用的大型采棉機(jī)的臺數(shù)為x，小型采棉機(jī)的臺數(shù)為y，結(jié)合問題中的相等關(guān)系，列出了二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，2x＋y＝8.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))之后我們又結(jié)合未知數(shù)的實(shí)際意義，通過逐一嘗試的方法，找出了方程組的解．很明顯這種方法較為受限且求解過程比較煩瑣，那有沒有一種簡單的方法解方程組呢？這節(jié)課我們繼續(xù)研究怎樣解二元一次方程組．【教學(xué)建議】教師直接列舉不適合列表求公共解的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生探究方程組其他解法的興趣．活動(dòng)二：問題引入，自主探究【設(shè)計(jì)意圖】將解二元一次方程組與解一元一次方程相比較，引入將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的“消元”思想，總結(jié)出用代入消元法解二元一次方程組的步驟．探究點(diǎn)用代入法解簡單的二元一次方程組問題1對于教材P87的租用大、小型采棉機(jī)問題，你能否列一元一次方程求解？設(shè)這個(gè)種棉大戶租用了大型采棉機(jī)x臺，則租用了小型采棉機(jī)(6－x)臺．根據(jù)題意，得2x＋(6－x)＝8.③解得x＝2.則6－x＝4.這個(gè)種棉大戶租用了大型采棉機(jī)2臺，小型采棉機(jī)4臺．問題2對于教材P87的問題，采用不同的設(shè)未知數(shù)的方法，由問題中的相等關(guān)系，可以分別列出二元一次方程組和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程組得到所列出的一元一次方程③嗎？方程①可以寫為y＝6－x，因?yàn)榉匠挞佗谥械膟都表示租用小型采棉機(jī)的臺數(shù)，所以可以通過等量代換，把方程②中的y換為6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，從而得到這個(gè)方程組的解．概念引入：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想．把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法．例1(教材P92例1)用代入法解方程組問題1選擇哪個(gè)方程進(jìn)行變形會比較簡便，為什么？選擇方程①進(jìn)行變形會比較簡便，因?yàn)榉匠挞僦衳，y的系數(shù)的絕對值都是1.問題2用含y的式子表示x，寫出解答過程．問題3問題2中的方程③可以代入方程①嗎？為什么？不能．把方程③代入方程①后，會得到不含未知數(shù)的恒等式3＝3，無法繼續(xù)求解．方程③由方程①變形得到，不能代入原方程.問題4問題2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值嗎？能．代入方程①，②還需要進(jìn)一步變形才能求得x的值，代入方程③更簡便.問題5方程①能否用含x的式子表示y來求解？試試看.能.解：由①，得y＝x－3.③把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解這個(gè)方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝－1.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))例2(教材P92例2)用代入法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y＝3，①,2x－y＝16.②))分析：方程②中y的系數(shù)是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比較簡便.解：由②，得y＝2x－16.③把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3.解這個(gè)方程，得x＝11.把x＝11代入③，得y＝6.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝11，,y＝6.))【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P93練習(xí)第1，2題.【教學(xué)建議】學(xué)生分組討論合作完成問題，感悟探究過程中所蘊(yùn)含的化歸思想．教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo)，最終引導(dǎo)學(xué)生得出代入消元法的概念．【教學(xué)建議】教師注意規(guī)范學(xué)生的解題格式，并強(qiáng)調(diào)二元一次方程組的解是一對，應(yīng)寫成eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b))的形式.在用代入法解二元一次方程組時(shí)，若未知數(shù)的系數(shù)比較復(fù)雜，可將求得的解回代入方程組進(jìn)行檢驗(yàn)．活動(dòng)三：重點(diǎn)突破，提升探究【設(shè)計(jì)意圖】將二元一次方程組的解與解二元一次方程組結(jié)合，加深對概念的理解，強(qiáng)化解方程組的方法的應(yīng)用.例3已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解，求m，n的值．解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入原方程組中，得到關(guān)于m，n的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由②，得m＝2n－1.③把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解這個(gè)方程，得n＝2.把n＝2代入③，得m＝3.所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2.))所以m的值為3，n的值為2.【對應(yīng)訓(xùn)練】已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，求a－b的值.解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入原方程組中，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝7，,2a－b＝1.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3.))所以a－b＝2－3＝－1.【教學(xué)建議】學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師提醒學(xué)生，方程組的解必定滿足方程組中每一個(gè)方程，故將方程組的解回代，即可得到關(guān)于其他字母的方程(組)．活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子(或“隨堂作業(yè)”冊子)相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.解二元一次方程組的基本思想是什么？2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟是怎樣的？3.用代入法解二元一次方程組時(shí)，有哪些技巧？(以變形和代入兩方面為例)【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P99習(xí)題10.2第2(1)(2)，4，8題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第1課時(shí)用代入消元法解簡單的二元一次方程組1.設(shè)租用的大型采棉機(jī)的臺數(shù)為x，小型采棉機(jī)的臺數(shù)為y，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,2x＋y＝8.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))設(shè)租用的大型采棉機(jī)的臺數(shù)為x，得2x＋(6－x)＝8.③2.基本思想：消元.3.一般步驟：(1)變形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)寫解.教學(xué)反思本節(jié)課從實(shí)際問題入手，讓學(xué)生分別列一元一次方程和二元一次方程組解同一個(gè)問題，從而觀察兩種方法所列式子之間的區(qū)別與聯(lián)系，引入代入消元法．經(jīng)過練習(xí)，讓學(xué)生自己總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟．解題大招一用代入法解簡單的二元一次方程組使用代入法解簡單的二元一次方程組的幾種技巧：①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或－1)的方程，則選擇系數(shù)為1(或－1)的方程進(jìn)行變形比較簡便；③有時(shí)還可以用“整體代入法”消元解二元一次方程組(詳見后面培優(yōu)計(jì)劃例2)．例1用代入法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2y，,2x＋y＝5；))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝7，,3x＋y＝5.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解：(1)把①代入②，得2×2y＋y＝5.解這個(gè)方程，得y＝1.把y＝1代入①，得x＝2.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))(2)由②，得y＝5－3x.③把③代入①，得3x＋2(5－3x)＝7.解這個(gè)方程，得x＝1.把x＝1代入③，得y＝2.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))解題大招二用代入法解簡單的二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用解答二元一次方程組的應(yīng)用題時(shí)，找準(zhǔn)相等關(guān)系，正確列出方程組是解題的關(guān)鍵．例2當(dāng)下電子產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快，廢舊智能手機(jī)數(shù)量不斷增加．科學(xué)處理廢舊智能手機(jī)，既可減少環(huán)境污染，還可回收其中的可利用資源．據(jù)研究，從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出的白銀比黃金多760g．已知從2.5t廢舊智能手機(jī)中提煉出的黃金，與從0.6t廢舊智能手機(jī)中提煉出的白銀克數(shù)相等．從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金與白銀各多少克？解：設(shè)從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金xg，白銀yg.根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋760，,2.5x＝0.6y.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝240，,y＝1000.))答：從每噸廢舊智能手機(jī)中能提煉出黃金240g，白銀1000g.培優(yōu)點(diǎn)一用代入法解二元一次方程組的糾錯(cuò)題例1判斷方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7，,6x－y＝17))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))的解法是否正確，如果不正確，請寫出正確的解法．解法1：由①，得y＝7－2x.③把③代入①，得2x＋(7－2x)＝7.所以x可以為任意實(shí)數(shù)，從而y也為任意實(shí)數(shù)，所以這個(gè)方程組有無數(shù)組解．解法2：由①，得y＝7－2x.③把③代入②，得6x－7－2x＝17.解這個(gè)方程，得x＝6.把x＝6代入③，得y＝－5.所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－5.))解：解法都不正確．正確的解法如下：由①，得y＝7－2x.③把③代入②，得6x－(7－2x)＝17.解這個(gè)方程，得x＝3.把x＝3代入③，得y＝1.所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))或由②，得y＝6x－17.③把③代入①，得2x＋(6x－17)＝7.解這個(gè)方程，得x＝3.把x＝3代入③，得y＝1.所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))培優(yōu)點(diǎn)二用“整體代入法”解二元一次方程組例2閱讀材料并解決問題．小亮在解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,4（x－y）－y＝5))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種新的方法，他把這種方法叫作“整體代入法”，解題過程如下：解：由①，得x－y＝1.③把③代入②，得……(1)請你替小亮補(bǔ)全完整的解題過程；(2)請你用這種方法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0，①,\f(6x－2y＋1,5)＋3y＝10.②))解：(1)由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5.解這個(gè)方程，得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1.))(2)由①，得3x－y＝2.③把③代入②，得eq\f(2×2＋1,5)＋3y＝10.解這個(gè)方程，得y＝3.把y＝3代入③，得x＝eq\f(5,3).所以這個(gè)方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝3.))課后知能演練基礎(chǔ)鞏固1.用代入法解方程組x=2y-A.3(2y-5)-4y=-2B.2y-5-4y=-2C.2y-5-4y=2D.3(2y-5)-4y=22.由方程組x-2=m,y+mA.x+y=3 B.x+y=7C.x+y=-3 D.x+y=-73.二元一次方程組y=2x,x+4.用含x的代數(shù)式表示y或用含y的代數(shù)式表示x.(1)已知x+y=4,則x=.

(2)已知y-3x=8,則y=.

(3)已知x+3(x-y)=1,則x=.

(4)已知4y+2x=5,則y=.

能力提升5.用代入法解方程組:(1)x=3y(3)2x-思維拓展6.解二元一次方程組2x圓圓:由②,得y=9-4x.③(依據(jù):)

把③代入①,得2x=3(9-4x)+1.芳芳:把①代入②,得2()+y=9.

(1)補(bǔ)全上述空白部分內(nèi)容;(2)請選擇一種你喜歡的方法完成解答.答案：課后知能