第第頁(yè)浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z=1+3i1?2A．1 B．i C．?i D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)(4，?3A．?35 B．35 C．?3．設(shè)l是一條直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥βC．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l4．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1A．3π B．3π C．(3?25．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)A．q<0 B．a(chǎn)1<0 C．T156．如圖，在棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是A1B1A．233 B．536 C．7．在△ABC中，P0是邊AB的中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有PB?A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1，BC=2，且點(diǎn)M在AB線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足A．?1 B．?45 C．?3二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（）A．若a//b，bB．|C．若a⊥(D．(10．下列說(shuō)法正確的是（）A．若f(x)=sinB．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為aC．三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，則2a，2b，D．△ABC的斜二測(cè)直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則△ABC11．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說(shuō)法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SDB．若AB=2，則三棱錐S?AOD體積的最大值為1C．對(duì)于任意直徑CD，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)SB互為異面直線(xiàn)D．若∠ABD=π6，則異面直線(xiàn)SA與CD12．已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)都小于2，an+12?4aA．任意a1與正整數(shù)m，使得B．存在a1與正整數(shù)m，使得C．任意非零實(shí)數(shù)a1與正整數(shù)m，都有D．若a1=1三、填空題13．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽(yáng)六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國(guó)歷史上，歷代書(shū)畫(huà)家都喜歡在扇面上繪畫(huà)或書(shū)寫(xiě)以抒情達(dá)意.一幅扇面書(shū)法作品如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個(gè)同心圓上的弧（長(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3.若某空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為14．已知等差數(shù)列{an}，a8=8，15．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=CC1=3，AC=4，AC⊥BC16．已知向量a，b的夾角為π3，且a?b=3，向量c滿(mǎn)足c=λa+(1?λ四、解答題17．定義一種運(yùn)算：(a（1）已知z為復(fù)數(shù)，且(3，z（2）已知x、y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x，218．今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)帆船與沙灘排球項(xiàng)目比賽，屆時(shí)大量的游客來(lái)象打卡“北緯30度最美海岸線(xiàn)”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)f(x)=40[Acosω(x+4)+k]①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的y=f(（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過(guò)160人時(shí)，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游旺季？請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）求{a（2）記bn=2n+5SnSn+1，數(shù)列{20．在△ABC中，內(nèi)角A，B（1）若∠C=π3，c=2，求（2）若sin2A+21．已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構(gòu)成三棱錐B（1）證明：AC⊥B（2）求二面角B1（3）求EF與平面AB22．已知數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：Sn2=（1）求證：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{b（3）設(shè)Tn是數(shù)列{2n?1b2n

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵z=1+3i1?2i=1+3i1+2i1?2i1+2i=1+2i+3i-62．【答案】A【解析】【解答】由題意得sinα=-342+-32=-35，∴cos3．【答案】C【解析】【解答】A、∵l∥α，l∥β，∴α∥β或α與β平行，A錯(cuò)誤；

B、∵α⊥β，l∥α，∴l(xiāng)⊥β或l與β平行或l?β，B錯(cuò)誤；

C、∵l⊥α，l⊥β，∴α∥β，C正確；

D、∵α∥β，l∥α，4．【答案】C【解析】【解答】由題意得BD=2，AC=2，∴SBCD=12，SACD=12，SBAD=22，SBCA=22，

∴鱉臑A?BCD表面積S表=5．【答案】D【解析】【解答】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an=a1qn-1，Tn=a1×a2×a3?×an=a1×a1q×a1q2?×a1qn-1=a1nqn-1n2，∴T7=a17q216．【答案】B【解析】【解答】取A1C1中點(diǎn)E，連接CE，DE，

又D是A1B1的中點(diǎn)，∴DE∥B1C1，DE=12B1C1，

∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴DE∥BC，DE=12BC，∴ABC-A1DE是棱臺(tái)，

延長(zhǎng)CE，BD，AA1交于點(diǎn)F，

則VF-ABC=13×4×37．【答案】A【解析】【解答】以P0為原點(diǎn)，邊AB為x軸建立坐標(biāo)系如圖

不妨設(shè)AB=2，則A-1，0，B1，0，設(shè)Cx0，y0，Pa，0a∈-1，1，

∴PB→=1-a，0，PC→=x0-a，y0，P0B→=1，0，P0C→=x0，y0，

∴8．【答案】C【解析】【解答】在△ABC中由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=1+4+2=7，∴AB=7，

cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=5714，

設(shè)CM=BM=x，

在△MBC中由余弦定理得cosB=BM2+BC2-MC22BM·BC=x2+4-x24x=5714，解得x=275，

∴9．【答案】B,C【解析】【解答】A、當(dāng)b→=0→時(shí)，有a//b，b//c，但a→不一定與c→平行，A錯(cuò)誤；

B、∵(a→?b→)?c→=a→b→cosa→，b→c10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、∵f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)=sinωx+212cosωx-32sinωx=1-3sinωx+cosωx=1-32+1sinωx+φ，其中tanφ=11-3，∴T=2πω=π，解得ω=2，A正確；

B、在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要條件，B正確；

C、∵實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，∴a+c=2b，

假設(shè)11．【答案】B,C,D【解析】【解答】A、假設(shè)存在某條直徑CD，使得AD⊥SD，

∵SO⊥底面，AD?底面，∴AD⊥SO，又SO∩SD=S，SO，SD?平面SOD，∴AD⊥平面SOD，

∵CD?平面SOD，∴AD⊥CD，又CD為直徑，顯然AD⊥CD不成立，所以假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；

B、∵AB=2，由題意知SO=R=1，又SO⊥底面，

∴三棱錐S?AOD體積V=13×1×12×1×1×sin∠AOD≤16，當(dāng)∠AOD=90°時(shí)取得最大值，B正確；

C、∵AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，又SB∩底面=B，AD?底面，∴AD與SB沒(méi)有交點(diǎn)，∴直線(xiàn)AD與直線(xiàn)SB互為異面直線(xiàn)，C正確；

D、取SB的中點(diǎn)E，連接OE，CE，則SA∥OE，∴∠COE即為異面直線(xiàn)SA與CD所成角的平面角，

不妨設(shè)AB=4，則OC=SO=2，SA=22，∴OE=12SA=2

取OB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，則EF=12SO=1，EF∥SO，∴EF⊥底面，

∵∠ABD=π6，∴∠AOD=π3，即∠COB=π3，∴CF=OCsinπ3=3，∴CE=EF2+CF212．【答案】A,D【解析】【解答】A、∵an+12?4an+1=an2?3an，∴an+1=an?3anan+1?4，∴an+1an=an?3an2an+1?4≥0，A正確；

B、令fx=x2-4x，則fx在-∞，2單調(diào)遞減，

∵an+12?4an+1=an2?3an=an2?434an≥34an2?434an，即fan+1≥f34an，又an+113．【答案】12【解析】【解答】由題意知該空間幾何體是圓心角為2π3母線(xiàn)長(zhǎng)為30的圓錐上面截去母線(xiàn)長(zhǎng)為12的圓錐得到的圓臺(tái)，

設(shè)圓心角為2π3母線(xiàn)長(zhǎng)為12的圓錐的底面半徑為r1，高為h1，則底面周長(zhǎng)C=2πr1=2π3×12，解得r1=4，∴h1=122-r114．【答案】1【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由題意知d=a9-a8=8+π3-8=π3，

∴a5=a8-3d=8-π，a615．【答案】12【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)C1作C1Q⊥A1B1連接BQ，BC1，CB1

由題意得AA1⊥平面A1B1C1，又QC1?平面A1B1C1，∴QC1⊥AA1，

∵A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B，∴C1Q⊥平面AA1B1B，又AB1?平面AA1B1B，∴AB1⊥C1Q，

∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥CB1，

∵AC⊥BC，AC⊥CC1，BC∩CC1=C，BC，CC1?平面C16．【答案】27【解析】【解答】如圖

設(shè)OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，則∠AOB=π3，

∴a→?b→=OA?OBcos∠AOB=3，即OA?OB=6

∵c=λa+(1?λ)b(0<λ<1)，∴點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上

∵a?c=b?c∴a→-b→?c→=0，∴AB⊥OC，

設(shè)∠AOC=θ，則∠COB=π3-θ，∴x=c→?a→|a→|=OCcosθ，y=17．【答案】（1）解：設(shè)z=a+bi因?yàn)?3所以，7a=7b=3，即a=1b=3，則z=1+3i（2）解：(y+則y+sin所以，y=?=?2sin由2kπ+π因此，函數(shù)y=?2sin(2x+【解析】【分析】（1）利用題目定義求(3，z)[z4]，結(jié)合復(fù)數(shù)相等即實(shí)部和虛部相等求出z=1+3i，進(jìn)而求其模長(zhǎng)；

18．【答案】（1）解：因?yàn)锳和k是正整數(shù)，由②可知40(A+k)由③可得：T2=8?2=6，則T=2π|所以f(x)即40(k?2)所以f(x)（2）解：令f(x)因?yàn)閤∈[1，可得5π3<且x∈N*，則所以第7，【解析】【分析】(1)分析題意得40(A+k)?40(?A+k)=160，T2=8?2=6，f(2)=40，解得A=2，ω=π6，19．【答案】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2且n∈N?時(shí)，a1=2不滿(mǎn)足綜上所述，an（2）解：因?yàn)镾n+1所以，bn因此，T=1【解析】【分析】(1)先求n=1，a1=S1=1+4?3=2，再求n≥2，an=Sn?Sn?1=2n+320．【答案】（1）解：因?yàn)椤螩=π3，c=2，所以所以a+b=4因?yàn)閟in=所以a+b=4sin因?yàn)閮?nèi)角A，B都是銳角，∠C=π所以0<A<π20<B=2π所以a+b∈(23，4（2）解：若sin2A+sin所以A+B>π2，所以因?yàn)閮?nèi)角A，B都是銳角，所以A，所以sinA>所以sin【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊a，b用角表示，結(jié)合角的范圍求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍；

（2）先利用正弦定理將角化邊得到C為銳角，所以A+B>21．【答案】（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接OB因?yàn)榱庑蜛BCD，∠AB所以△AC所以O(shè)B又因?yàn)镺B1，OD?面所以AC⊥面OB因?yàn)锽1D?面所以AC⊥（2）解：因?yàn)镈E=12所以FE=平方得，F(xiàn)E2即374=1在△B1CD所以B1由（1）可知，∠DOB1是二面角在等邊△AB1C中，在△B1OD因?yàn)?＜∠B1OD即二面角B1?AC?D的大小為（3）解：取B1E中點(diǎn)G，連接CG，則E是則EF//所以CG與平面AB在平面DOB1中，作因?yàn)锳C⊥面OB1D，GK?所以AC⊥又因?yàn)锳C，B1O?面所以GK⊥面AB所以∠GCK是CG與平面A在△DOB1中，∠GK=1在△DCB1中，由△DEF～△所以sin∠所以EF與平面AB1C【解析】【分析】(1)取AC中點(diǎn)O，連接OB1，OD，通過(guò)證明AC⊥面OB1D得到AC⊥B1D；

(2)由（1）知