第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年福建省福州一中中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（4分）某運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的比賽規(guī)定，勝一場(chǎng)記作“+1”分，平局記作“0”分，則該隊(duì)在比賽中（）A．與對(duì)手打成平局 B．輸給對(duì)手 C．打贏了對(duì)手 D．無(wú)法確定2．（4分）據(jù)第七次全國(guó)人口普查公報(bào)，鋼仁市2020年常住人口約為3300000人，則可以將數(shù)據(jù)3300000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.33×107 B．3.3×107 C．33×106 D．3.3×1063．（4分）在下列幾何體中，從正面看到的圖形是三角形的是（）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．長(zhǎng)方體4．（4分）計(jì)算a2?a3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)6 B．a(chǎn)5 C．a(chǎn)4 D．a(chǎn)35．（4分）要調(diào)查某校學(xué)生周日的睡眠時(shí)間，下列選取調(diào)查對(duì)象中最合適的是（）A．隨機(jī)選取該校一個(gè)班級(jí)的學(xué)生 B．隨機(jī)選取該校100名男生 C．隨機(jī)選取該校一個(gè)年級(jí)的學(xué)生 D．在該校各年級(jí)中隨機(jī)選取100名學(xué)生6．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，且OA＝OC，OB＝OD，添加一個(gè)條件可以是（）A．AD＝AB B．AC＝BD C．AB＝CD D．AC⊥BD7．（4分）已知直線y＝﹣3x+m過點(diǎn)A（﹣1，y1）和點(diǎn)（﹣3，y2），則y1和y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定8．（4分）一種藥品原價(jià)每盒16元，經(jīng)過兩次漲價(jià)后每盒25元．設(shè)兩次漲價(jià)的百分率都為x，則x滿足（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝169．（4分）如圖，半徑為6的扇形AOB中，∠AOB＝90°上一點(diǎn)，CD⊥OA，垂足分別為D，E，若CD＝CE（）A． B．9π C． D．10．（4分）小明發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)圖象上的三點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）滿足如下性質(zhì)：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)k，存在位于y軸同側(cè)的A、B、C三點(diǎn)，使這三點(diǎn)“橫坐標(biāo)之和”與“縱坐標(biāo)之積”異號(hào)．下列函數(shù)不具備該性質(zhì)的是（）A．y＝kx+1 B．y＝k|x| C． D．y＝kx2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）五邊形內(nèi)角和的度數(shù)是．12．（4分）不等式3x+2＞5的解集為．13．（4分）如圖，已知DE∥BC，∠1＝108°，則∠A等于．14．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，則代數(shù)式2﹣a2﹣a的值是．15．（4分）如圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的2×1格點(diǎn)圖，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，CD交于點(diǎn)P，則tan∠BPD＝．16．（4分）如圖1的螺絲釘由頭部（直六棱柱）和螺紋（圓柱）組合而成，小吳想出了一種測(cè)量方法：將刻度尺緊靠螺紋放置，經(jīng)過點(diǎn)A且交CD于點(diǎn)P，并測(cè)得正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為8毫米，則螺紋的直徑為毫米．三、解答題：本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計(jì)算：（）﹣1﹣+|﹣1|﹣2sin45°．18．（8分）如圖，∠A＝∠D＝90°，AE＝DF，求證：∠E＝∠F．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣2．20．（8分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．（1）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作⊙O（要求；尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接OE，求證：四邊形AOED是菱形．21．（8分）有三個(gè)購(gòu)房者在售樓部進(jìn)行抽簽選房，在一個(gè)不透明的盒子中，共有標(biāo)號(hào)為1至3的3個(gè)小球，不放回地從盒中抽球，將球的編號(hào)作為最終選房的順序（如抽到2號(hào)球的人第2個(gè)選房）（1）第一個(gè)抽簽的人第1個(gè)選房的概率為．（2）有買房者質(zhì)疑這種選房規(guī)則，認(rèn)為先抽簽的人第一個(gè)選房的概率更大．請(qǐng)判斷這種說法是正確？用概率知識(shí)并結(jié)合樹狀圖說明理由．22．（10分）“千載竹藝，萬(wàn)縷竹篾”滿載著手藝的傳承和傳統(tǒng)民族文化的魅力．用細(xì)竹篾編織的罩子，橫截面可以近似的看成一個(gè)拋物線形狀．已知其寬度OA＝60厘米（拋物線的頂點(diǎn)）到OA的距離為30厘米．（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）如果罩子緊貼桌面，罩內(nèi)盤子放成一排，試通過計(jì)算說明罩子下面能放下2個(gè)直徑為27厘米23．（10分）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔969米，總面積達(dá)48平方千米，蓬萊左股之譽(yù)，是第四批國(guó)家級(jí)風(fēng)景名勝區(qū)．小莊在五一長(zhǎng)假來福州旅游，通過查找資料做了以下的旅游攻略：材料1：鼓山擁有豐富的登山路線，以下是幾條經(jīng)典的路線：路線1——古道登山路線：該路線從廨院出發(fā)，途經(jīng)喝水巖、十八景等景點(diǎn)，最終到達(dá)涌泉寺（山頂），路程約4千米．路線2——松之戀線：起點(diǎn)為廨院（松之戀登山道入口與廨院相近），終點(diǎn)為涌泉寺，全程約3.5千米．該路線坡度較緩路線3——騎行線：起點(diǎn)為山腳下院（與廨院起點(diǎn)相近），沿盤山公路騎行，終點(diǎn)為涌泉寺，適合快速上下山．材料2：對(duì)于陡峭路線（如古道），下山速度通常是上山速度的2倍到3倍；對(duì)于平緩路線（如松之戀線）；對(duì)于騎行路線（公路），下山騎行速度大約是上山騎行速度的2倍．材料3：在登山前，小莊參將自己一年來的登山的具體時(shí)長(zhǎng)整理到表格中：山名路線名稱長(zhǎng)度（km）登山時(shí)長(zhǎng)武夷山天游峰登山步道1.545分鐘泉州清源山主步道3.52小時(shí)龍巖冠豸山石門湖→長(zhǎng)壽亭步道53.125小時(shí)寧德太姥山懸空棧道環(huán)線94.5小時(shí)﹣5小時(shí)假設(shè)小莊的上山步行速度v千米/時(shí)恒定，下山速度基于路線類型和方式確定．他在登山時(shí)從廨院出發(fā)，沿選擇一條路線至涌泉寺（1）若小莊選擇騎行線上下山，整個(gè)行程用時(shí)一小時(shí)，求小莊上山騎行的速度；（2）若小莊從廨院步行至涌泉寺，再步行返回，請(qǐng)你設(shè)計(jì)小莊的一條步行路線（例如：從某路線上山，從某路線下山），整個(gè)行程的總時(shí)間都不超過4小時(shí)，并說明理由．24．（12分）曲線的應(yīng)用是廣泛的，在歷史的長(zhǎng)河中，借助它能夠研究許多著名幾何問題相關(guān)的幾何問題進(jìn)行探究：（1）如圖1，A、C是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)和3，以AC為對(duì)角線構(gòu)造矩形ABCD，求證：對(duì)角線BD所在直線經(jīng)過原點(diǎn)．（2）如圖2，P是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，射線OP與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，2OA為半徑作圓，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，使矩形的邊平行于坐標(biāo)軸，連接OD，并證明．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC、OC，使OA⊥AC；若存在，若不存在，說明理由．25．（14分）已知，AB、CD、EF是圓O的弦且交于同一點(diǎn)．（1）若CD是圓O的直徑，G為圓O上一點(diǎn)．①如圖1，AB是垂直于CD的直徑，EO和GO關(guān)于直線AB對(duì)稱，證明：GF∥AB；②如圖2，CD過AB的中點(diǎn)M，∠EMA＝∠GMA，證明：；（2）如圖3，CD、EF過AB的中點(diǎn)M，連接EC、DF交AB于P、Q

2025年福建省福州一中中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BDBBDBBCAC一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（4分）某運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的比賽規(guī)定，勝一場(chǎng)記作“+1”分，平局記作“0”分，則該隊(duì)在比賽中（）A．與對(duì)手打成平局 B．輸給對(duì)手 C．打贏了對(duì)手 D．無(wú)法確定【解答】解：某運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的比賽規(guī)定，勝一場(chǎng)記作“+1”分，如果某隊(duì)得到“﹣1”分．故選：B．2．（4分）據(jù)第七次全國(guó)人口普查公報(bào)，鋼仁市2020年常住人口約為3300000人，則可以將數(shù)據(jù)3300000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.33×107 B．3.3×107 C．33×106 D．3.3×106【解答】解：3300000＝3.3×107，故選：D．3．（4分）在下列幾何體中，從正面看到的圖形是三角形的是（）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．長(zhǎng)方體【解答】解：A．圓柱從正面看得到的平面圖形是矩形；B．圓錐從正面看得到的平面圖形是三角形；C．球從正面看得到的平面圖形是圓；D．長(zhǎng)方體從正面看得到的平面圖形是矩形；故選：B．4．（4分）計(jì)算a2?a3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)6 B．a(chǎn)5 C．a(chǎn)4 D．a(chǎn)3【解答】解：a2?a3＝a3+3＝a5，故選：B．5．（4分）要調(diào)查某校學(xué)生周日的睡眠時(shí)間，下列選取調(diào)查對(duì)象中最合適的是（）A．隨機(jī)選取該校一個(gè)班級(jí)的學(xué)生 B．隨機(jī)選取該校100名男生 C．隨機(jī)選取該校一個(gè)年級(jí)的學(xué)生 D．在該校各年級(jí)中隨機(jī)選取100名學(xué)生【解答】解：要調(diào)查某校周日的睡眠時(shí)間，最合適的是在該校各年級(jí)中隨機(jī)選取100名學(xué)生．故選：D．6．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，且OA＝OC，OB＝OD，添加一個(gè)條件可以是（）A．AD＝AB B．AC＝BD C．AB＝CD D．AC⊥BD【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AD＝BD無(wú)法判斷平行四邊形ABCD是矩形．故A選項(xiàng)不符合題意，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故B選項(xiàng)符合題意，由AB＝CD無(wú)法判斷平行四邊形ABCD是矩形．故C選項(xiàng)不符合題意，由AC⊥BD，可判斷平行四邊形ABCD是菱形，故選：B．7．（4分）已知直線y＝﹣3x+m過點(diǎn)A（﹣1，y1）和點(diǎn)（﹣3，y2），則y1和y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定【解答】解：∵﹣3＜0，∴y＝﹣8x+m的圖象隨著x的增大而減?。擤?＜﹣1，∴y5＞y1．故選：B．8．（4分）一種藥品原價(jià)每盒16元，經(jīng)過兩次漲價(jià)后每盒25元．設(shè)兩次漲價(jià)的百分率都為x，則x滿足（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16【解答】解：第一次漲價(jià)后的價(jià)格為16（1+x），第二次漲價(jià)后的價(jià)格為16（1+x）×（5+x）＝25，∴列的方程為16（1﹣x）2＝25，故選：C．9．（4分）如圖，半徑為6的扇形AOB中，∠AOB＝90°上一點(diǎn)，CD⊥OA，垂足分別為D，E，若CD＝CE（）A． B．9π C． D．【解答】解：連接OC，如圖所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四邊形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S陰影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故選：A．10．（4分）小明發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)圖象上的三點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）滿足如下性質(zhì)：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)k，存在位于y軸同側(cè)的A、B、C三點(diǎn)，使這三點(diǎn)“橫坐標(biāo)之和”與“縱坐標(biāo)之積”異號(hào)．下列函數(shù)不具備該性質(zhì)的是（）A．y＝kx+1 B．y＝k|x| C． D．y＝kx2【解答】解：∵對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)k，存在位于y軸同側(cè)的A、B，使這三點(diǎn)“橫坐標(biāo)之和”與“縱坐標(biāo)之積”異號(hào)，∴具備該性質(zhì)的函數(shù)需滿足，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)k，∵當(dāng)k＞0時(shí)，y＝kx+1的圖象經(jīng)過第一、二，當(dāng)k＜7時(shí)，y＝kx+1的圖象經(jīng)過第一、二，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵當(dāng)k＞0時(shí)，y＝k|x的圖象經(jīng)過第一，當(dāng)k＜8時(shí)，y＝k|x|的圖象經(jīng)過第三，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵當(dāng)k＞0時(shí)，的圖象經(jīng)過第一，當(dāng)k＜0時(shí)，的圖象經(jīng)過第二，∴選項(xiàng)C符合題意；∵當(dāng)k＞6時(shí)，y＝kx2的圖象經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)k＜0時(shí)，y＝kx6的圖象經(jīng)過第三、四象限，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）五邊形內(nèi)角和的度數(shù)是540°．【解答】解：五邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：180°×（5﹣2）＝180°×3＝540°．故答案為：540°．12．（4分）不等式3x+2＞5的解集為x＞1．【解答】解：移項(xiàng)得，3x＞5﹣8，合并同類項(xiàng)得3x＞3．系數(shù)化為6得x＞1．故答案為：x＞1．13．（4分）如圖，已知DE∥BC，∠1＝108°，則∠A等于33°．【解答】解：∵BC∥DE，∠1＝108°，∴∠BDE＝∠1＝108°，∵∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝75°，∴∠A＝∠BDE﹣∠AED＝33°．故答案為：33°．14．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，則代數(shù)式2﹣a2﹣a的值是1．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝6的根，∴a2+a﹣1＝2，∴a2+a＝1，∴3﹣a2﹣a＝2﹣（a8+a）＝2﹣1＝3，故答案為：1．15．（4分）如圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的2×1格點(diǎn)圖，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，CD交于點(diǎn)P，則tan∠BPD＝3．【解答】解：如圖，連接BE交CD于點(diǎn)O，∵四邊形BCED是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴BE⊥CD，OB＝OC＝OD＝OE＝，∵BC∥AD，∴△BCP∽△ADP，∴＝＝，∴CP＝CD＝，∴OP＝OC﹣CP＝﹣＝，在Rt△BOP中，tan∠BPD＝＝＝3，故答案為：7．16．（4分）如圖1的螺絲釘由頭部（直六棱柱）和螺紋（圓柱）組合而成，小吳想出了一種測(cè)量方法：將刻度尺緊靠螺紋放置，經(jīng)過點(diǎn)A且交CD于點(diǎn)P，并測(cè)得正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為8毫米，則螺紋的直徑為毫米．【解答】解：如圖，連接AC，設(shè)圓心為O，連接OT．在Rt△ACD中，CD＝8mm，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝16（mm），AC＝（mm），∴AP＝＝＝14（mm），在Rt△HPD中，PD＝2﹣2＝6（mm），∴PH＝5×＝4，∵AP是切線，∴OT⊥AP，∵PH⊥AD，∴∠ATO＝∠AHP＝90°，∵∠OAT＝∠PAH，∴△AOT∽△APH，∴＝，∴＝，∴OT＝（mm），∴螺紋的直徑為．故答案為：．三、解答題：本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計(jì)算：（）﹣1﹣+|﹣1|﹣2sin45°．【解答】解：原式＝3﹣2+﹣1﹣2×＝1+﹣1﹣＝6．18．（8分）如圖，∠A＝∠D＝90°，AE＝DF，求證：∠E＝∠F．【解答】證明：∵∠A＝∠D＝90°，∴△ACE和△DBF是直角三角形，在Rt△ACE和Rt△DBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴∠E＝∠F．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣2．【解答】解：＝?＝?＝?＝，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝＝．20．（8分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．（1）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作⊙O（要求；尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接OE，求證：四邊形AOED是菱形．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAO＝∠DEA，∴AD＝DE，同法可證BC＝CE，∴DE＝EC，∵OA＝OB，∴DE＝AO，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA＝OE，∴四邊形AODE是菱形．21．（8分）有三個(gè)購(gòu)房者在售樓部進(jìn)行抽簽選房，在一個(gè)不透明的盒子中，共有標(biāo)號(hào)為1至3的3個(gè)小球，不放回地從盒中抽球，將球的編號(hào)作為最終選房的順序（如抽到2號(hào)球的人第2個(gè)選房）（1）第一個(gè)抽簽的人第1個(gè)選房的概率為．（2）有買房者質(zhì)疑這種選房規(guī)則，認(rèn)為先抽簽的人第一個(gè)選房的概率更大．請(qǐng)判斷這種說法是正確？用概率知識(shí)并結(jié)合樹狀圖說明理由．【解答】解：（1）第一個(gè)抽簽的人可能抽到1或2或4，共3種等可能的情況，∴第一個(gè)抽簽的人第1個(gè)選房的概率為，故答案為：；（2）這種說法不正確，理由如下：根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：一共有6種等可能的情況，其中第一個(gè)人第一個(gè)選房的有2種，第三個(gè)人第一個(gè)選房的有4種，∴三個(gè)抽簽的人第一個(gè)選房的概率都是＝．22．（10分）“千載竹藝，萬(wàn)縷竹篾”滿載著手藝的傳承和傳統(tǒng)民族文化的魅力．用細(xì)竹篾編織的罩子，橫截面可以近似的看成一個(gè)拋物線形狀．已知其寬度OA＝60厘米（拋物線的頂點(diǎn)）到OA的距離為30厘米．（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）如果罩子緊貼桌面，罩內(nèi)盤子放成一排，試通過計(jì)算說明罩子下面能放下2個(gè)直徑為27厘米【解答】解：（1）由題意可得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（30，30），0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣30）2+30，則8＝a（60﹣30）2+30，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣30）2+30；（2）將y＝6代入y＝﹣（x﹣30）2+30，6＝﹣（x﹣30）2+30，解得x＝30±12，（30+12）﹣（30﹣12）＝30+12﹣30+12＝24＜54，∴罩子下面不能放下2個(gè)直徑為27厘米，高度為6厘米的盤子．23．（10分）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔969米，總面積達(dá)48平方千米，蓬萊左股之譽(yù)，是第四批國(guó)家級(jí)風(fēng)景名勝區(qū)．小莊在五一長(zhǎng)假來福州旅游，通過查找資料做了以下的旅游攻略：材料1：鼓山擁有豐富的登山路線，以下是幾條經(jīng)典的路線：路線1——古道登山路線：該路線從廨院出發(fā)，途經(jīng)喝水巖、十八景等景點(diǎn)，最終到達(dá)涌泉寺（山頂），路程約4千米．路線2——松之戀線：起點(diǎn)為廨院（松之戀登山道入口與廨院相近），終點(diǎn)為涌泉寺，全程約3.5千米．該路線坡度較緩路線3——騎行線：起點(diǎn)為山腳下院（與廨院起點(diǎn)相近），沿盤山公路騎行，終點(diǎn)為涌泉寺，適合快速上下山．材料2：對(duì)于陡峭路線（如古道），下山速度通常是上山速度的2倍到3倍；對(duì)于平緩路線（如松之戀線）；對(duì)于騎行路線（公路），下山騎行速度大約是上山騎行速度的2倍．材料3：在登山前，小莊參將自己一年來的登山的具體時(shí)長(zhǎng)整理到表格中：山名路線名稱長(zhǎng)度（km）登山時(shí)長(zhǎng)武夷山天游峰登山步道1.545分鐘泉州清源山主步道3.52小時(shí)龍巖冠豸山石門湖→長(zhǎng)壽亭步道53.125小時(shí)寧德太姥山懸空棧道環(huán)線94.5小時(shí)﹣5小時(shí)假設(shè)小莊的上山步行速度v千米/時(shí)恒定，下山速度基于路線類型和方式確定．他在登山時(shí)從廨院出發(fā)，沿選擇一條路線至涌泉寺（1）若小莊選擇騎行線上下山，整個(gè)行程用時(shí)一小時(shí)，求小莊上山騎行的速度；（2）若小莊從廨院步行至涌泉寺，再步行返回，請(qǐng)你設(shè)計(jì)小莊的一條步行路線（例如：從某路線上山，從某路線下山），整個(gè)行程的總時(shí)間都不超過4小時(shí)，并說明理由．【解答】解：（1）騎行線全程為8千米（上山8千米，下山5千米）．根據(jù)材料2，騎行路線下山速度是上山速度的2倍．設(shè)上山速度為v千米/時(shí)，則下山速度為7v千米/時(shí)．上山時(shí)間：小時(shí)（小時(shí)）．總時(shí)間：，解得：v＝12（千米/時(shí)），經(jīng)檢驗(yàn)，v＝12是原方程的解，答：小莊上山騎行的速度為12千米/時(shí)．（2）設(shè)計(jì)方案：上山走松之戀線（路線2），下山走古道線（路線7）．上山距離：3.5千米（松之戀線），下山距離：8千米（古道線）．理由：根據(jù)材料3，小莊的上山步行速度范圍為（千米/時(shí)）（武夷山或?qū)幍绿焉阶钚r(shí)間）．下山速度根據(jù)路線類型確定（材料2）：古道線（陡峭）：下山速度為上山速度的2倍到4倍，最小倍數(shù)為2．松之戀線（平緩）：下山速度為上山速度的1.6倍到1.5倍，最小倍數(shù)為7.2．為確保總時(shí)間不超過4小時(shí)，需考慮上山速度最小且下山速度倍數(shù)最小．對(duì)于本方案：上山路線為松之戀線（平緩），下山路線為古道線（陡峭）．最小上山速度v＝6.6千米/時(shí)（來自龍巖冠豸山數(shù)據(jù)）．下山速度最小倍數(shù)：古道線最小倍數(shù)為2，故下山速度最小為7×1.6＝4.2（千米/時(shí)），上山時(shí)間：（小時(shí)）．下山時(shí)間：（小時(shí)）．總時(shí)間：2.1875+8.25＝3.4375＜4小時(shí)．當(dāng)上山速度更大（如4千米/時(shí)）或下山速度倍數(shù)更大時(shí)，總時(shí)間更短．因此，以材料3中任意合理的上山速度（在1.5千米/時(shí)到2千米/時(shí)之間）和對(duì)應(yīng)的下山速度．24．（12分）曲線的應(yīng)用是廣泛的，在歷史的長(zhǎng)河中，借助它能夠研究許多著名幾何問題相關(guān)的幾何問題進(jìn)行探究：（1）如圖1，A、C是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)和3，以AC為對(duì)角線構(gòu)造矩形ABCD，求證：對(duì)角線BD所在直線經(jīng)過原點(diǎn)．（2）如圖2，P是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，射線OP與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，2OA為半徑作圓，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，使矩形的邊平行于坐標(biāo)軸，連接OD，并證明．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC、OC，使OA⊥AC；若存在，若不存在，說明理由．【解答】（1）證明：∵A、C的橫坐標(biāo)分別是，且點(diǎn)A圖象上，∴點(diǎn)，C（3，），∵以AC為對(duì)角線構(gòu)造矩形ABCD，使矩形的邊平行于坐標(biāo)軸，∴B（），D（4，設(shè)直線OB的解析式為：y＝kx，把B（，得，解得：，∴直線OB的解析式為：y＝，把x＝3代入y＝，得y＝2，∴D（3，3）在直線OB上，∴對(duì)角線BD所在直線經(jīng)過原點(diǎn)；（2）證明：∠POM＝3∠DOM，理由如下，連接AC，BD，連接OB，如圖所示：設(shè)點(diǎn)，，則，，設(shè)直線OB的解析式為：y＝kx，把代入，得，解得，∴直線OB的解析式為：，把x＝c代入，得，∴在直線OB上，∴O、B、D三點(diǎn)共線，∴∵四邊形ABCD為矩形，∴，，AC＝BD，∴AN＝DN，∴∠ADN＝∠NAD，∵以A為圓心，2OA為半徑作圓，∴OA＝，∴OA＝AN，∴∠AOD＝∠ANO，∵AD∥x軸，∴∠ADN＝∠DOM，∴∠ADN＝∠NAD＝∠DOM，∵∠ANO＝∠ADN+∠DAN＝2∠DOM，∴∠AOD＝∠ANO＝4∠DOM，∴∠POM＝∠AOD+∠DOM＝3∠DOM，即∠POM＝3∠DOM；（3