/陜西省西安市新城區(qū)2025屆高三第七次模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知向量，若，則（

）A． B． C．2 D．102．若，則（

）A．是真命題，且B．是真命題，且C．是假命題，且D．是假命題，且3．若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定的5．在公差大于的等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．6．已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．157．刻畫(huà)空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來(lái)刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，則其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．若正四棱錐的側(cè)面與底面的夾角的正切值為，則四棱錐在頂點(diǎn)S處的曲率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，的最小值為，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限C．的虛部為 D．的共軛復(fù)數(shù)為10．已知函數(shù)在處取得極值0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．過(guò)點(diǎn)可作一條切線與曲線相切11．已知曲線，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)P為C上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是C．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列D．存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為三、填空題12．已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則.13．將本不同的書(shū)（包括本數(shù)學(xué)書(shū)和本英語(yǔ)書(shū)）平均分給甲?乙?丙三人，其中數(shù)學(xué)書(shū)和英語(yǔ)書(shū)不能分給同一個(gè)人，則不同的分配方法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）14．某藝術(shù)展覽館的一座雕塑底座是正四棱臺(tái)，記為米，米，米．為舉辦特展，某策展團(tuán)隊(duì)計(jì)劃以地面頂點(diǎn)為起點(diǎn)安裝一條燈帶（忽略燈帶的厚度與彈性），燈帶沿正四棱臺(tái)的表面經(jīng)過(guò)側(cè)棱后到達(dá)頂點(diǎn)C，則所需燈帶的長(zhǎng)度的最小值為米．四、解答題15．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且）.（1）求的值；（2）若，且的面積為，求外接圓的面積.16．如圖，在四棱錐中，，是等邊三角形，平面平面是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．17．已知雙曲線的離心率為分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的面積為，求直線的方程.18．甲?乙兩人參加某答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每次由其中一人答題，若答對(duì)了，則此人繼續(xù)答題，若未答對(duì)，則換對(duì)方答題，每次答題系統(tǒng)都會(huì)隨機(jī)地給出一道文學(xué)題或科學(xué)題，給出文學(xué)題的概率為，給出科學(xué)題的概率為.已知甲答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率分別為，，乙答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率均為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.由抽簽確定第1次答題的人選，第1次答題的人是甲?乙的概率各為.（1）已知第1次甲答題，求甲答對(duì)題目的概率；（2）求第2次答題的人是乙的概率；（3）求第次答題的人是甲的概率.19．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且存在唯一的極值點(diǎn)，則稱為“金字塔函數(shù)”．（1）請(qǐng)判斷函數(shù)是否為“金字塔函數(shù)”．（無(wú)需說(shuō)明理由）（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒為“金字塔函數(shù)”．（3）已知函數(shù)為“金字塔函數(shù)”，求a的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，解?故選D2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以是假命題，因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以.故選C.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，所以的取值范圍是.故選A.4．【正確答案】C【詳解】因直線過(guò)定點(diǎn)，由配方得：，可得圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.故選C.5．【正確答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，得，所以，即，又，解得.故選D.6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn),當(dāng)時(shí)，上的點(diǎn)為，作，的圖象，如圖，由圖可知，的圖象與拋物線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則有4個(gè)元素，從而的真子集的個(gè)數(shù)為.故選D7．【正確答案】D【詳解】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個(gè)側(cè)面均為正三角形，所以頂點(diǎn)的每個(gè)面角均為，故正四棱錐在頂點(diǎn)處的曲率為.故選D.8．【正確答案】D【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，則，，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，得，因?yàn)?，所以．故選D.9．【正確答案】AC【詳解】由題意得，解得，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的虛部為，故C正確；因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【正確答案】ACD【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值0，則，解得，，此時(shí)，則，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極小值0，滿足題意，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又點(diǎn)在切線上，所以，解得，所以過(guò)點(diǎn)可作一條切線與曲線相切，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】由，得或，則C由橢圓與直線組成，易知,為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上時(shí)，，若點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，，曲線上的其他點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，A正確；當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)，，由，得，B正確.將代入，得，設(shè)該方程的兩個(gè)根為，，則，即，且，，由，得，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則+=，解得，D正確.當(dāng)時(shí)，介于x1，x2之間，假設(shè)存在直線，使得l與C的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列，則，即=，得，顯然該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤.故選ABD12．【正確答案】【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量，則.13．【正確答案】【詳解】方法一：先從甲?乙?丙三人中選一人，這個(gè)人既不分?jǐn)?shù)學(xué)書(shū)，又不分英語(yǔ)書(shū)，有種分配方法，再將數(shù)學(xué)書(shū)和英語(yǔ)書(shū)分給剩下兩人一人一本，最后把其余本書(shū)平均分給這兩個(gè)人，有種分配方法，綜上，不同的分配方法種數(shù)是.方法二：各選兩本書(shū)與數(shù)學(xué)書(shū)?英語(yǔ)書(shū)組成一組，然后再分配給三人，則不同的分配方法種數(shù)是.14．【正確答案】/【詳解】如圖1，設(shè)燈帶經(jīng)過(guò)側(cè)棱上的E點(diǎn).如圖2，連接，將側(cè)面和展開(kāi)到同一個(gè)平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段有交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)燈帶的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，交點(diǎn)即為點(diǎn)E.因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，所以，由余弦定理可?=米，則>，所以，即，因?yàn)?，所以，即線段與線段有交點(diǎn).==，可得=，而，可得=，所以,由余弦定理可得==米，則所需燈帶的長(zhǎng)度的最小值為米.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，則.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，則.由余弦定理可得，則.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則，故外接圓的面積為.16．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）分別取棱的中點(diǎn)，連接，則，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切危?，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．【正確答案】（1）（2）或【詳解】（1）由題意可得解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線.聯(lián)立整理得，則，.因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，整理得，即，即，解得，所以，故直線的方程為或18．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）甲答對(duì)題目的概率為.（2）乙答對(duì)題目的概率為.記“第次答題的人是甲”為事件，“第次答題的人是乙”為事件，所以.（3）設(shè)，依題可知，，則，即.設(shè)，解得，則.又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即.19．【正確答案】（1）不是“金字塔函數(shù)”；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【詳解】（1），顯然不關(guān)于對(duì)稱，故不是金字塔函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，因?yàn)?，，所以得，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則存在唯一的極值點(diǎn)1，故為“金字塔函數(shù)”.（3）因?yàn)闉椤敖鹱炙瘮?shù)”，所以，所以，整理得對(duì)恒成立，則，得，所以，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞