浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，一個水平放置的的斜二測直觀圖是，若，則的面積是（

）A． B． C．2 D．44．已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．已知向量，若在上的投影向量為，則向量與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知的面積為，則邊的長度為（

）A．3 B．4 C． D．7．在中，角的對邊分別為．“”是“為等腰直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．已知向量滿足且，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．下列有關(guān)向量與復(fù)數(shù)的命題中，正確的選項有（

）A．設(shè)均為非零向量，若滿足，則有成立B．設(shè)均為非零復(fù)數(shù)，若存在關(guān)系式，則可推導(dǎo)得C．對于任意復(fù)數(shù)，當(dāng)滿足條件時，必有成立D．若向量滿足，則有成立10．已知兩個正實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的有（

）A．的最小值是8 B．的最大值是8C．的最小值是 D．的最大值是11．在中，角的對邊分別為，且，當(dāng)時，下列選項中表述正確的有（

）A．的周長等于B．C．D．若為直角三角形，則三、填空題12．已知是第二象限角，且，則.13．已知向量滿足，，則．14．在中，角的對邊分別為，若，則．四、解答題15．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）．（1）若，求復(fù)數(shù)；（2）若方程的一個解為，求實數(shù)的值．16．已知平面向量滿足．（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求的值．17．如圖，長方體的三條棱的長分別為．

（1）將此長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，求剩下的幾何體的體積；（2）求長方體外接球的體積和表面積．18．如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，點分別是線段的中點．

（1）求證：平面；（2）若是線段的中點，證明：平面平面．19．已知是銳角三角形，分別是角的對邊，且有0．若在線段上的點滿足且．（1）求角的度數(shù)；（2）求證：；（3）求的取值范圍．20．定義：設(shè)一個多項式有個變量，如果任意交換兩個變量后，多項式不變，那么這個多項式稱為對稱多項式．例如，和都是關(guān)于的對稱多項式．特別地，以下多項式稱為初等對稱多項式：……性質(zhì)：（i）對稱多項式的加、減、乘運算結(jié)果仍然是對稱多項式．（ii）任何對稱多項式都可以唯一表示為初等對稱多項式的組合．（1）判定與是否屬于對稱多項式（無需說明依據(jù)）．（2）已知正實數(shù)滿足，求的最大值．（3）已知，將對稱多項式表示為初等對稱多項式的組合形式．

參考答案1．【答案】B【詳解】不等式，解得，則，而，所以.故選B2．【答案】C【詳解】，所以的虛部為，故選C．3．【答案】B【詳解】由斜二測直觀圖求出,，且,則.故選B．4．【答案】A【詳解】設(shè)扇形的母線長為，底面半徑為，由扇形面積公式得，解得，由弧長公式得弧長為，則，解得，由勾股定理得高為，由圓的面積公式得底面積為，由圓錐體積公式得，故A正確.故選A．5．【答案】C【詳解】投影向量，所以，其中，所以．即，又，所以.故選C6．【答案】D【詳解】因為，可得，所以，故選:D．7．【答案】D【詳解】當(dāng)時，，所以或．若時，；若，由正弦定理得．所以在三角形內(nèi)有：或，所以是等腰或直角三角形．當(dāng)三角形是等腰直角三角形時，沒有明確哪個角是直角，故推不出.故選D8．【答案】B【詳解】解法一：因為.由不等式，可得，因為，得且，解不等式，得或；解不等式，得，綜上．所以，即當(dāng)，且時，取得最大值3.故選B．解法二：令，，所以，，所以.或，所以當(dāng)時，.故選B．9．【答案】BD【詳解】，由向量性質(zhì)知，不能得出，A錯誤；，由復(fù)數(shù)性質(zhì)知B正確；令，此時，所以C錯誤；，所以，因此D正確．故選BD．10．【答案】AC【詳解】由，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確，B錯誤；又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即，解得，故C正確，D錯誤；故選AC．11．【答案】ABC【詳解】因為，所以，所以周長，A正確；因為，所以，邊化角得，B正確；，邊化角可得即即即，所以，因為在三角形內(nèi)，所以有，C正確；當(dāng)時，由，可得，此時是直角三角形且，所以推不出．D錯誤．故選:ABC．12．【答案】/－0.6【詳解】.13．【答案】【詳解】因為向量滿足，，所以，，解得．14．【答案】/0.5【詳解】，又當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，且當(dāng)即時，，所以只能與同時成立，，所以故．15．【答案】（1）（2）2【詳解】（1）由，則，．（2）是關(guān)于的方程一個虛根，，整理得．16．【答案】（1）或（2）【詳解】（1）由題意設(shè)，．解得．或．（2）由題知：．．．17．【答案】（1）（2）體積為，表面積為【詳解】（1）在長方體中，．則．，所以剩余部分的體積為．（2）長方體的體對角線長為，設(shè)長方體的外接球的半徑為，可得，即，所以外接球的體積為，表面積為．18．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【詳解】（1）證明：由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點，故，面平面，面．

（2）由點分別為中點可得：，面平面平面，又由（1）可知，平面，且，平面,故平面平面．19．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【詳解】（1）因為，且，．所以，所以或，因為，所以或或．因為是銳角三角形，所以．（2）設(shè)，則,在中,由余弦定理可得，,即，即，在中,由余弦定理可得，,即，即，所以．即．（3）由（2）知：，即，由正弦定理可知，，所以，，，又．銳角三角形，，所以，即，所以