專題38不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x增大逐漸近似與x軸平行保持固定增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)速度，y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；②存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax2.幾種函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異(1)當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快．(2)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快．(3)當(dāng)x＞0，n＞1時(shí)，冪函數(shù)y＝xn顯然也是增函數(shù)，并且當(dāng)x＞1時(shí)，n越大，其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快．(4)一般地，雖然指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)與一次函數(shù)y＝kx(k>0)在區(qū)間[0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a的值，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝kx的增長(zhǎng)速度．盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會(huì)小于kx，但由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)最終會(huì)快于一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有ax>kx.(5)一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)與一次函數(shù)y＝kx(k>0)在區(qū)間(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同．隨著x的增大，一次函數(shù)y＝kx(k>0)保持固定的增長(zhǎng)速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢．不論a的值比k的值大多少，在一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于kx，但由于logax的增長(zhǎng)慢于kx的增長(zhǎng)，因此總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有l(wèi)ogax<kx.3.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異一般地，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.題型一幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)差異的比較1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x[解析]指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a>1時(shí)呈爆炸式增長(zhǎng)，并且隨a值的增大，增長(zhǎng)速度越快，應(yīng)選A.2．下列函數(shù)中，隨x的增大，增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝1 B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x[解析]結(jié)合函數(shù)y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的圖象可知(圖略)，隨著x的增大，增長(zhǎng)速度最快的是y＝3x.3．當(dāng)a>1時(shí)，有下列結(jié)論：①指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快；②指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快；③對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快；④對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快．其中正確的結(jié)論是()A．①③B．①④C．②③ D．②④[解析]結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知①④正確．故選B.4．下面對(duì)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的遞減情況說(shuō)法正確的是()A．f(x)遞減速度越來(lái)越慢，g(x)遞減速度越來(lái)越快，h(x)遞減速度越來(lái)越慢B．f(x)遞減速度越來(lái)越快，g(x)遞減速度越來(lái)越慢，h(x)遞減速度越來(lái)越快C．f(x)遞減速度越來(lái)越慢，g(x)遞減速度越來(lái)越慢，h(x)遞減速度不變D．f(x)遞減速度越來(lái)越快，g(x)遞減速度越來(lái)越快，h(x)遞減速度越來(lái)越快[解析]觀察函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(如圖)可知：函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來(lái)越慢，同樣，函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上，遞減較慢，且遞減速度越來(lái)越慢；函數(shù)h(x)的圖象遞減速度不變．5．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________.[解析]當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)的要快．6．四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________．[解析]以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開(kāi)始變化，且都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫(huà)出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．故填y2.7．以固定的速度向如圖所示的瓶子中注水，則水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系是()[解析]水面的高度增長(zhǎng)得越來(lái)越快，圖象應(yīng)為B．8．小明騎車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()[解析]小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來(lái)越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故排除D.后來(lái)為了趕時(shí)間加快速度行駛，故排除B.故選C.9．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的變化而變化，在圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象，A對(duì)應(yīng)________；B對(duì)應(yīng)________；C對(duì)應(yīng)________；D對(duì)應(yīng)________．[解析]A容器下粗上細(xì)，水高度的變化先慢后快，故與(4)對(duì)應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應(yīng)與(1)對(duì)應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與(3)對(duì)應(yīng)，D容器慢，與(2)對(duì)應(yīng)．題型二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)模型的比較1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1[解析]在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.2．下列各項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是___．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.[解析]結(jié)合三類函數(shù)的增長(zhǎng)差異可知①的預(yù)期收益最大，故填①.3．當(dāng)2<x<4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x[解析]解法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象，所以x2>2x>log2x.解法二：比較三個(gè)函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)易知選B.4．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x[解析]用排除法，當(dāng)x＝1時(shí)，排除B項(xiàng)；當(dāng)x＝2時(shí)，排除D項(xiàng)；當(dāng)x＝3時(shí)，排除A項(xiàng)．5．四人賽跑，假設(shè)他們跑過(guò)的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]顯然四個(gè)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長(zhǎng)最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.6．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()ABCD[解析]設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.7．某地為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，決定使每年的綠地面積比上一年增長(zhǎng)10%，那么從今年起，x年后綠地面積是今年的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是()[解析]設(shè)今年綠地面積為m，則有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故選D．8．某工廠8年來(lái)某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說(shuō)法：①前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；②前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．[解析]由t∈[0,3]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα(0<α<1)．反映了總產(chǎn)量C隨時(shí)間t的變化而逐漸增長(zhǎng)但速度越來(lái)越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒(méi)有變化，即第三年后停產(chǎn)，所以②③正確．9．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.5萬(wàn)件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為_(kāi)_______萬(wàn)件．[解析]∵y＝a·0.5x＋b，且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2.當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬(wàn)件)．10．畫(huà)出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．[解析]函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．根據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x<4時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．11．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)．(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)的大小．[解析](1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由圖可知g(6)>f(6)．12．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))與geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(2019)與g(2019)的大?。甗解析](1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝2x，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，從圖象上可以看出，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f(x)＜g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))；當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．13．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．[解析](1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)．14．函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)，并比較三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以1，a，b，c，d，e為分界點(diǎn))．[解析]由指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、冪函數(shù)增長(zhǎng)的差異可得曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)＝1.1x，曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)是h(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))，曲線C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)是g(x)＝lnx＋1.由題圖知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>h(x)>g(x)；當(dāng)1<x<e時(shí)，f(x)>g(x)>h(x)；當(dāng)e<x<a時(shí)，g(x)>f(x)>h(x)；當(dāng)a<x<b時(shí)，g(x)>h(x)>f(x)；當(dāng)b<x<c時(shí)，h(x)>g(x)>f(x)；當(dāng)c<x<d時(shí)，h(x)>f(x)>g(x)；當(dāng)x>d時(shí)，f(x)>h(x)>g(x)．15．某國(guó)2016年至2019年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬(wàn)億元)如下表所示：年份2016201720182019x(年份代碼)0123生產(chǎn)總值y(萬(wàn)億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫(huà)出函數(shù)圖象，猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關(guān)系式預(yù)測(cè)2033年該國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值．[解析](1)畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示．從函數(shù)的圖象可以看出，畫(huà)出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.∴函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出2017年和2018年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬(wàn)億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬(wàn)億元)．與實(shí)際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過(guò)0.1萬(wàn)億元．(3)2033年，即x＝17時(shí)，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即預(yù)測(cè)2033年該國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為19.7276萬(wàn)億元．題型三函數(shù)模型的選擇問(wèn)題1．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時(shí)，應(yīng)分別選擇________方案．[解析][將投資數(shù)分別代入甲、乙、丙的函數(shù)關(guān)系式中比較y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙2．在某實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如表．x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則x，y最合適的函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根據(jù)x＝0.50，y＝－1.01，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.3．某人對(duì)東北一種松樹(shù)的生長(zhǎng)進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長(zhǎng)時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來(lái)刻畫(huà)h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)測(cè)第8年的松樹(shù)高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解析]據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對(duì)數(shù)型函數(shù)比較合理．將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．當(dāng)t＝8時(shí)，h＝log3(8＋1)＝2，故可預(yù)測(cè)第8年松樹(shù)的高度為2米．4．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬(wàn)元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？[解析]借助工具作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．5．蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)作物，可以入藥，有美容、保健的功效．某人準(zhǔn)備栽培并銷售蘆薈，為了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研．從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/千克)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：上市時(shí)間t50110250種植成本Q15.010.815.0(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列選項(xiàng)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)式：①Q(mào)＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市時(shí)間及最低種植成本．[解析](1)由表中所提供的數(shù)據(jù)可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，故用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個(gè)來(lái)反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，而上面三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述．將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,2000)t2－eq\f(3,20)t＋eq\f(85,4).故選②.(2)當(dāng)t＝150(天)時(shí)，蘆薈種植成本最低，為Q＝eq\f(1,2000)×1502－eq\f(3,20)×150＋eq\f(85,4)＝10(元/千克)．6．某債券市場(chǎng)發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元．作為購(gòu)買者，分析這三種債券的收益，如果只能購(gòu)買一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)買哪種？[解析]A種債券的收益是每100元一年到期收益3元；B種債券的半年利率為eq\f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益為5.68元；C種債券的利率為eq\f(100－97,97)，100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益為3.09元．通過(guò)以上分析，購(gòu)買B種債券．7．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施．方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)，問(wèn)：(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠長(zhǎng)，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長(zhǎng)，又該如何決策呢？[解析]設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，選擇方案一的利潤(rùn)為y1，選擇方案二的利潤(rùn)為y2，由題意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當(dāng)x＝3000時(shí)，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴應(yīng)選擇方案二處理污水．(2)當(dāng)x＝6000時(shí)，y1＝114000,y2＝108000，∵y1>y2，∴應(yīng)選擇方案一處理污水．8．某鞋廠從今年1月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前四個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件．由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式受歡迎，前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況良好．為了使推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．以這四個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)有三