第三章圓錐曲線的方程基礎(chǔ)提升測(cè)試本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用28鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上，3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一井交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；故選：A2．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長軸為，由橢圓定義知∴故選：C3．－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義及雙曲線定義，可判斷雙曲線的長軸長與焦距，進(jìn)而求得b，得雙曲線方程；結(jié)合方程的意義，即可判斷出y的取值范圍．【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，表示動(dòng)點(diǎn)到與的距離之差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合.根據(jù)雙曲線定義可知，所以

由焦點(diǎn)在y軸上，所以，且到點(diǎn)的距離比較大所以即曲線方程為故選：C.4．若直線過橢圓短軸端點(diǎn)和左頂點(diǎn)，則橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線與x軸，y軸的交點(diǎn)，即可求解作答.【詳解】直線交x軸于，交y軸于，依題意，，所以橢圓方程為.故選：B5．江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)該雙曲線的方程為，代入建立方程組，求解即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，點(diǎn)在該雙曲線上．設(shè)該雙曲線的方程為，則解得，，故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：D.6．設(shè)點(diǎn)在拋物線上，是焦點(diǎn)，則（

）A．880 B．878 C．876 D．882【答案】A【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式，結(jié)合等差數(shù)列求和，即可求解.【詳解】由條件可知，拋物線開口向左，焦半徑公式，所以.故選：A7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，一條漸近線為，過點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義可得，根據(jù)平行關(guān)系可知，由余弦定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)位于第四象限，由雙曲線定義知：，；設(shè)過點(diǎn)且與平行的直線的傾斜角為，則，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故選：C.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)A，M為的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】依題意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)，即可得到、的關(guān)系，即可得解；【詳解】解：由，即，又，且，解得或（舍去），由且為的中點(diǎn)，知，∴，∴，∴，又，∴，∴漸近線方程為.故選：A選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．平面上，動(dòng)點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（

）A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項(xiàng)A不符合橢圓定義，選項(xiàng)B符合橢圓定義；因?yàn)閮啥c(diǎn)，的距離為，所以選項(xiàng)C不符合橢圓定義，選項(xiàng)D符合，故選：BD10．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A1、A2，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，給出下列命題，其中是真命題的有（

）A．B．直線PA1、PA2的斜率之積等于定值C．使得△PF1F2為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)D．△PF1F2的面積為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：利用雙曲線定義分析判斷；對(duì)于B：設(shè)，利用斜率公式計(jì)算得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上得，整理代入運(yùn)算；對(duì)于C：因?yàn)椋Y(jié)合題意只能或，再結(jié)合圖象及性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)定義結(jié)合余弦定理整理得，再結(jié)合面積公式整理判斷．【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可得：，A錯(cuò)誤；設(shè)，則，即∵，則∴，B正確；不妨P在第一象限，根據(jù)雙曲線的定義可知若，結(jié)合圖象易知，則滿足條件的點(diǎn)存在且唯一若，結(jié)合圖象易知，則滿足條件的點(diǎn)存在且唯一根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知使得△PF1F2為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)，C正確；不妨P在第一象限，則∴則D不正確；故選：BC．11．已知橢圓C：（）的離心率為，過點(diǎn)P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足.動(dòng)點(diǎn)Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為C．線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為D．線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：利用離心率直接求出；對(duì)于B：設(shè)進(jìn)行向量坐標(biāo)化，整理化簡得到，即可判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為直線，故正確；對(duì)于C、D：求出線段長度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】對(duì)于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對(duì)于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與矛盾，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即直線，故正確；對(duì)于C、D：所以線段長度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，min，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.12．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，則C．若，則面積的最小值為D．四點(diǎn)共圓【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線焦半徑公式可直接構(gòu)造方程求得，知A正確；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知B錯(cuò)誤；由可知C正確；表示出直線方程后，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，知，同理可得，由此可知D正確.【詳解】對(duì)于A，由拋物線焦半徑公式得：，解得：，A正確；對(duì)于B，由題意知：直線斜率存在，設(shè)，由得：，；由得：，則，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，不妨設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即面積的最小值為，C正確；對(duì)于D，直線的斜率為，直線的方程為，令得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，則直線的斜率，，，同理可得：，四點(diǎn)共圓，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用的問題，本題D選項(xiàng)中，證明四點(diǎn)共圓的基本思路是能夠通過說明兩條直線斜率乘積為，得到兩條直線互相垂直，進(jìn)而得到四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得到四點(diǎn)共圓.三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．過點(diǎn)且與雙曲線：的漸近線垂直的直線方程為__________．【答案】，【解析】【分析】由題可得雙曲線的漸近線方程，然后利用直線的位置關(guān)系及直線的點(diǎn)斜式方程即得.【詳解】由雙曲線：可得其漸近線方程為，∴過點(diǎn)且與雙曲線：的漸近線垂直的直線方程為，即，.故答案為：，.14．已知雙曲線過三點(diǎn)，，中的兩點(diǎn)，則的方程為___________.【答案】【解析】【分析】先確定，兩點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程中求得，即可確定C的方程.【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)，在雙曲線圖像上，將其代入雙曲線方程，所以解得所以雙曲線C：，故答案為：.15．已知拋物線過點(diǎn)，則其準(zhǔn)線方程為___________.【答案】##x+1=0【解析】【分析】將點(diǎn)代入，求出值，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可得準(zhǔn)線方程．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為：．16．用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面與該圓錐的底而所成的銳二面角為，則平面截該圓錐所得橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)，分別求出橢圓的長半軸a和半軸b，進(jìn)而求出c，即可求出離心率.【詳解】如圖1,不妨令正△ABC邊長為,重心G,橢圓中心N,中線BD,底面圓心M.PG與長軸垂直.則.，所以.所以，.PG為過G與底面平行的圓的半徑,如圖2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得：,所以，所以.如圖3,即,代入方程得：,又,解得,所以，所以，所以離心率.故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算拋物線弦長的方法，(1)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)．(2)若直線不過拋物線的焦點(diǎn)，則用|AB|＝·|x1－x2|求解．18．已知，是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析；定點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)直線，均與橢圓相交，聯(lián)立方程利用求解；（2）利用韋達(dá)定理分別求M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程判斷定點(diǎn)．(1)根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．(2)設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．19．已知雙曲線：過點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）由漸近線可得，再把點(diǎn)代入方程即可解得；（2）點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的即為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可求，分析求解即可，但要注意討論直線的斜率是否存在．(1)由題設(shè)可知，解得則：．(2)設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線：易知點(diǎn)到軸的距離為﹔當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時(shí)點(diǎn)到軸的距離大于2；綜上所述，點(diǎn)到軸的最小距離為2．20．已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為．記M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G．證明△PQG是直角三角形．【答案】(1)=1(|x|≠2)；C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率的計(jì)算公式利用直接法即可得結(jié)果；（2）直線PQ的斜率為k，通過聯(lián)立方程組求出的坐標(biāo)，通過斜率計(jì)算公式可得的斜率為，進(jìn)而可得結(jié)果.(1)由題設(shè)得·=，化簡得=1(|x|≠2)，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．(2)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k>0)．由得x=±．記u=，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0)．于是直線QG的斜率為，方程為y=(xu)．由得(2+k2)x22uk2x+k2u28=0．①設(shè)G(xG，yG)，則u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=．從而直線PG的斜率為．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．21．已知橢圓()的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，以的短半軸長為半徑的圓被直線截得的弦長為2.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，直線（不過原點(diǎn)也不過點(diǎn)P）交于A，B兩點(diǎn)，且直線AP，BP的傾斜角互補(bǔ)，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求直線OM的斜率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用直線與圓的位置關(guān)系求解，利用離心率跟的關(guān)系，列式求解即可得橢圓方程；（2）分析題意，直線斜率存在，設(shè)直線方程，代入橢圓方程中，得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系，在利用直線AP，BP的傾斜角互補(bǔ)，建立坐標(biāo)關(guān)系，整理