第2講函數(shù)的對稱性與周期性【考點分析】1.函數(shù)的對稱性、周期性是高考命題熱點，近兩年新高考都考了一道選擇題，分值5分，知識點比較靈活，需要全面掌握常見對稱性，周期性的結(jié)論考點一：函數(shù)常見對稱性結(jié)論①若函數(shù)對于任意的均滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對稱．②若函數(shù)對于任意的均滿足則關(guān)于點對稱．考點二：函數(shù)常見周期性結(jié)論若函數(shù)對于任意的都滿足，則為的一個周期，且?guī)讉€常見周期性結(jié)論=1\*GB3①若函數(shù)滿足，則．=2\*GB3②若函數(shù)滿足，則．=3\*GB3③若函數(shù)滿足，則．④若函數(shù)滿足，則．⑤若函數(shù)的圖象關(guān)于直線，都對稱，則為周期函數(shù)且是它的一個周期．⑥函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周⑦函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．⑧若函數(shù)滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．【題型目錄】題型一：利用周期性求函數(shù)值題型二：利用周期性求函數(shù)解析式題型三：根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性寫函數(shù)題型四：根據(jù)函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性綜合運用【典型例題】題型一：利用周期性求函數(shù)值【例1】設(shè)是定義在上周期為2的函數(shù)，當(dāng)時，，其中．若，則的值是．【例2】設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則__________【例3】定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于A.B.C.D.【例4】（重慶南開高一上期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且,則的值為()A. B. C. D.【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時，，則（

）A．B．C．D．【題型專練】1.（2021·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（

）A．3 B． C．255 D．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且，若當(dāng)時，，則（

）A．0B．1C．6D．2163.（重慶南開高一上期末）函數(shù)的定義域為，且，.若對任意實數(shù)，都有，則（）AB.1C.0D.14．（2022·云南紅河·高一期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，都有，若當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C．1 D．25．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高二期末）是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，又當(dāng)時，，則______．題型二：利用周期性求函數(shù)解析式【例1】已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時解析式為，當(dāng)時，求函數(shù)的解析式?！纠?】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當(dāng)時，，那么當(dāng)時，______.【例3】（2021·山東師范大學(xué)附中高三期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有.當(dāng)時，.(1)當(dāng)時，求的解析式；(2)計算.【題型專練】1.（2021·上海南匯中學(xué)高三期中）設(shè)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的解析式___________．2.（2021·吉林·梅河口市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（文））函數(shù)滿足是，且，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的最小值為___________.3.（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)是定義在上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在[4，6]上的解析式是__________4.（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）若定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時，則：（1）__________；（2）當(dāng)時，_________.題型三：根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性寫函數(shù)【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個最小正周期為3的偶函數(shù)___________.【例2】（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三學(xué)業(yè)考試）寫出一個滿足以下三個條件的函數(shù)：______．①定義域為R；②不是周期函數(shù)；③是周期為的函數(shù)．【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：__________.①定義域為；②為偶函數(shù)；③為奇函數(shù).【題型專練】1（2022·廣東茂名·二模）請寫出一個函數(shù)_______，使之同時具有以下性質(zhì)：①圖象關(guān)于y軸對稱；②，．2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期為2的函數(shù)的解析式可以是______．（寫出一個即可）3.（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)滿足以下條件：①的定義域為，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②，；③當(dāng)且，；④恰有兩個零點，請寫出函數(shù)的一個解析式________題型四：根據(jù)函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性綜合運用【例1】（2022·貴州銅仁·高二期末（理））已知函數(shù)的定義域為，且滿足：，又為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為（

）A．4 B． C．0 D．2【例2】（2022·陜西·長安一中高一期末）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的周期是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C． D．1【例4】（2022·山東日照·高二期末）已知是定義域為的奇函數(shù)，是定義域為的偶函數(shù)，且與的圖像關(guān)于y軸對稱，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．2是一個周期 D．關(guān)于直線對稱【例5】已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，下列有關(guān)命題的說法錯誤的是（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)為上的偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點對稱函數(shù) D．為上的單調(diào)函數(shù)【例6】（2021新高考2卷8）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【例7】若函數(shù)的定義域為R，且，則（）A. B. C.0 D.1【題型專練】1.（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．02．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，若，則（

）A．－8 B．－4 C．0 D．43．（2022·湖南·高二期末）已知定義域是R的函數(shù)滿足：，，為偶函數(shù)，，則（

）A．1 B．1 C．2 D．34.函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)5.（2021全國卷甲卷理科12）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）6.已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則7.（2020?岳麓區(qū)校級模擬）若對任意的，都有，且，，則的值為．8.（2022·河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí)多選）已知函數(shù)對，都有，且，則（

）A．的圖像關(guān)于直線對稱B．的圖像關(guān)于點中心對稱C．D．9.（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末多選）已知是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．當(dāng)時，的零點有6個C．D．若，則10．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高