2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第七章§7.5空間直線、平面的垂直§7.5空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的垂直，那么該直線與此平面垂直

性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行?a∥2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.(2)范圍：.3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直

?α⊥性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直

?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()2.(2024·惠州模擬)已知l，n是兩條不同的直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是()A.若α∥β，l?α，n?β，則l∥nB.若α⊥β，l?α，則l⊥βC.若l∥α，α⊥β，則l⊥βD.若l⊥α，l∥β，則α⊥β3.(多選)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法正確的是()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形4.過平面α外一點P的斜線段是過這點的垂線段的233倍，則該斜線與平面α所成的角是1.靈活應(yīng)用兩個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.掌握三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直線面垂直面面垂直題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足.(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點，證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖1，山形圖是兩個全等的直角梯形ABCD和ABEF的組合圖，將直角梯形ABEF沿底邊AB翻折，得到如圖2所示的幾何體.已知AB∥CD∥EF，AB=2CD=2EF，AB⊥BE，點N在線段CE上，且EN=2NC.在幾何體BCE-ADF中，解決下面問題.(1)證明：AE∥平面BND；(2)若平面BDE⊥平面ABCD，證明：BE⊥AD.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.(3)[三垂線定理]如果平面內(nèi)的一條直線和穿過這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直.(4)[三垂線定理的逆定理]如果平面內(nèi)的一條直線和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和斜線在平面內(nèi)的射影垂直.跟蹤訓(xùn)練2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB=A1B，AA1=2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用命題點1線面角與二面角例3(多選)把邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時()A.AB⊥CDB.直線BD與平面ABC所成角的大小為πC.二面角A-BD-C的余弦值為-1D.四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為2-3三余弦定理cosθ＝cosθ1·cosθ2的應(yīng)用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內(nèi)的射影，設(shè)AC是α內(nèi)的任一過點A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設(shè)AO與直線AB所成的角為θ1，AB與AC所成的角是θ2，AO與AC所成的角為θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.典例已知PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內(nèi)，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，則PA與平面α所成的角為.

命題點2垂直關(guān)系中的存在性問題例4如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB.沿DE將△AED折起到△A1ED的位置.連接A1B，A1C，M，N分別為A1C，BE的中點，連接MN，如圖②.(1)求證：DE⊥A1B；(2)求證：MN∥平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一點G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出A1G思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點.(1)求證：AC⊥BD；(2)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直線BF與平面ABD所成角的正切值.答案精析落實主干知識1.(2)兩條相交直線m?αn?αm∩n=Pl⊥ml⊥na⊥αb⊥α2.(1)射影90°0°(2)0，3.(1)兩個半平面(2)垂直于棱l(3)[0，π]4.(2)垂線a?αa⊥β交線α⊥βα∩β=al⊥al?β自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D3.ABD4.π探究核心題型例1證明(1)如圖，在平面ABC內(nèi)取一點D，過點D作DF⊥AC于點F.因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，DF?平面ABC，所以DF⊥平面PAC.因為PA?平面PAC，所以DF⊥PA.過點D作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.因為DG，DF?平面ABC，且DG∩DF=D，所以PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長交PC于點H.因為點E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以PC⊥AE.因為AE∩BH=E，AE，BH?平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以PA⊥AB.因為PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.跟蹤訓(xùn)練1證明(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.例2證明(1)如圖，連接AC與BD相交于O，連接ON，由于AB=2CD，且AB∥CD，所以O(shè)C∶OA=CD∶AB=1∶2，又EN=2NC，所以O(shè)N∥AE，又AE?平面BND，ON?平面BND，所以AE∥平面BND.(2)過C作CM⊥BD于M，由于平面BDE⊥平面ABCD，且平面BDE∩平面ABCD=BD，CM?平面ABCD，所以CM⊥平面BED，又BE?平面BED，故CM⊥BE，又AB⊥BE，AB，CM是平面ABCD內(nèi)的兩相交直線，所以BE⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，故BE⊥AD.跟蹤訓(xùn)練2(1)證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB=90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因為A1B=AB，BC=BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C=AC.設(shè)A1C=AC=x，則A1C1=x，所以O(shè)為CC1的中點，OC1=12AA1=1又因為A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=AA即x2+x2=22，解得x=2所以A1O=A=(2)所以四棱錐A1-BB1C1C的高為1.例3BCD[如圖所示，當平面BAC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大，記E為AC的中點，連接BE，DE，此時DE⊥平面BAC，因為AB?平面BAC，所以AB⊥DE，因為CD∩DE=D，所以AB與CD不垂直，A錯誤；對于B，直線BD和平面ABC所成的角即為∠EBD，因為tan∠EBD=EDBE=1，故∠EBD=π4對于C，由于BC=CD=BA=AD，取BD的中點G，連接AG，CG，則有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA為二面角A-BD-C的平面角.則cos∠CGA=AG2+CG2對于D，設(shè)內(nèi)切球球心為I，內(nèi)切球半徑為r，由等體積法知，V四面體ABCD=V三棱錐I-ABC+V三棱錐I-BCD+V三棱錐I-ACD+V三棱錐I-ABD=13rS四面體ABCD其中，V四面體ABCD=13BE·S△ACD=S四面體ABCD=2×12×2×1+12故r=3V四面體ABCDS四面體ABCD=13+2微拓展典例45°解析如圖，作P在α內(nèi)的正射影O，則O在∠BAC的平分線上，∠PAO為PA與平面α所成的角，所以cos∠PAC=cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°=cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO=22，故∠PAO所以PA與平面α所成的角為45°.例4(1)證明∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE將△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE.∵A1E∩BE=E，A1E，BE?平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，又A1B?平面A1BE，∴DE⊥A1B.(2)證明取CD的中點H，連接NH，MH，如圖.∵M，N分別為A1C，BE的中點，∴MH∥A1D，NH∥DE.∵MH?平面A1ED，A1D?平面A1ED，∴MH∥平面A1ED，∵NH?平面A1ED，DE?平面A1ED，∴NH∥平面A1ED，又NH∩MH=H，NH，MH?平面MNH，∴平面A1ED∥平面MNH，又MN?平面MNH，∴MN∥平面A1ED.(3)解取A1B的中點G，連接EG，如圖.在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，∴BC∥DE，∵AB=2CD，∴AE=BE，即A1E=BE，∴EG⊥A1B，由(1)知DE⊥平面A1BE，又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，又EG?平面A1BE，∴EG⊥BC，又A1B∩BC=B，A1B，BC?平面A1BC，∴EG⊥平面A1BC.故棱A1B上存在中點G，使得EG⊥平面A1BC，且此時A1G跟蹤訓(xùn)練3(1)證明取BD的中點O，連接AO，CO，如圖，在△BCD中，∵CB=CD，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD，而AO∩CO=O，AO，CO?平面AOC，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD.(2)解由(1)知CO⊥BD，∵平面CBD⊥平面ABD，平面CBD∩平面ABD=BD，CO?平面CBD，∴CO⊥平面ABD，取AO的中點N，連接FN，BN，如圖，易知CO∥FN，故FN⊥平面ABD，故∠FBN是直線BF與平面ABD所成的角，∵CB=CD=BD，∴△BCD是等邊三角形，設(shè)BC=2a，則BO=a，CO=3a，在Rt△ABD中，AB=AD，∴AO=12BD=a，NO=12AO=1∴FN=12CO=32BN=BO2+N故tan∠FBN=FNBN=32∴直線BF與平面ABD所成角的正切值為155§7.6空間向量的概念與運算課標要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有和的量相等向量方向且模的向量相反向量長度而方向的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或的向量共面向量平行于的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p=.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=.{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b=.(2)空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數(shù)量積a·b共線a=λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b=0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉=a·b|a||b|(acos〈a，b〉=

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=01.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面.()(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有AB+BC+CD+DA=0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()2.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，則下列向量中與A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b-c D.-12a-13.若平面α外的直線l的方向向量為a=(1，0，-2)，平面α的法向量為m=(8，-1，4)，則()A.l⊥α B.l∥αC.a∥m D.l與α斜交4.已知空間向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，則實數(shù)λ=.1.牢記空間中三點共線、四點共面的充要條件(1)在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：OA=xOB+yOC(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點.(2)在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)，O為空間任意一點.2.解題時防范以下幾個易誤點(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.(2)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.題型一空間向量的線性運算例1(1)已知向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，若A，B，C三點共線，則a-b等于()A.-8 B.-2 C.2 D.8(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點，AG=2GE，則GCA.13AB-2B.13AB+2C.-13AB+2D.-13AB+2思維升華用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.跟蹤訓(xùn)練1在正四面體ABCD中，F(xiàn)是AC的中點，E是DF的中點，若DA=a，DB=b，DC=c，則BE等于()A.14a-b+14c B.12a-bC.14a+b+14c D.12a-題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(多選)下列說法正確的是()A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.若G是四面體OABC的底面△ABC的重心，則OG=13(OA+OBC.若OG=25OA-35OB+45OC，則A，D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三個不共面的向量，m，n，k∈R)，則稱p在基底{x，y，z}下的坐標為(m，n，k).若p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標為(1，2，3)，則p在基底{a-b，a+b，c}下的坐標為-思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面PA=λPBMP=xMA+yMB對空間任一點O，OP=OA+tAB對空間任一點O，OP=OM+xMA+yMB對空間任一點O，OP=xOA+(1-x)OB對空間任一點O，OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB跟蹤訓(xùn)練2O為空間任意一點，若AP=-14OA+18OB+tOC，若A，B，C，A.1 B.98 C.18 D題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(多選)已知空間中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三點，則()A.AB與AC是共線向量B.與向量AB方向相同的單位向量是2C.AB與BC夾角的余弦值是-55D.平面ABC的一個法向量是(1，-2，5)(2)已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面(異于頂點和底面圓周)上任意一點，則OP·OQ的取值范圍為()A.(-4，4) B.[-4，4]C.(-2，2) D.[-2，2]思維升華空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.跟蹤訓(xùn)練3已知空間向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，則下列結(jié)論正確的是()A.(a+b)∥aB.a與b夾角的余弦值為3C.2a⊥(5a+6b)D.4|a|=3|b|題型四向量法證明平行、垂直例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點.(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC.思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關(guān)點的坐標，進而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，點E和F分別為BC和A1C的中點.求證：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.答案精析落實主干知識1.大小方向相同相等相等相反平行重合同一個平面2.(1)a=λb(2)唯一xa+yb(3)xa+yb+zc3.(1)|a||b|cos〈a，b〉(2)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0aa1自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C3.B4.-2探究核心題型例1(1)A[因為A，B，C三點共線，所以AB與AC共線，又向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，所以-31=6a所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.](2)C[因為AG=2GE所以GE=1所以GC1=GE+EC+CC1=1=13×12(AB+AC)+=23AC-13AB跟蹤訓(xùn)練1A[根據(jù)題意可得DF=12(DA+DC)=12(DE=12DF=14(a所以BE=BD+DE=-DB+DE=-b+14(a+c)=14a-b+14例2BD[對于A，若b=0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯誤；對于B，由于G為四面體OABC的底面△ABC的重心，設(shè)D為BC的中點，故AG=2GD整理得OG-OA=2OD-2OG，故3OG=OB+OC+故OG=13(OA+OB+OC對于C，由于25-35+45≠1，對于OG=25故A，B，C，G四點不共面，故C錯誤；對于D，p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標為(1，2，3)，即p=a+2b+3c，設(shè)p在基底{a-b，a+b，c}下的坐標為(x，y，z)，則滿足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c，故x+y則p在基底{a-b，a+b，c}下的坐標為-12，32跟蹤訓(xùn)練2C[因為AP=OP-OA，所以AP=-14OA+18OP-OA=-14OA+18即OP=34OA+18由于A，B，C，P四點共面，則34+18+t解得t=18.例3(1)CD[因為A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，所以AB=(2，1，0)，AC=(-1，2，1因為不存在實數(shù)λ，使得AB=λAC所以AB與AC不共線，故A錯誤；因為|AB|=22+所以與向量AB方向相同的單位向量是AB|AB|=2又BC=(-3，1，1)，所以AB與BC夾角的余弦值是AB·BC|AB||BC|不妨令n=(1，-2，5)，則AB·n=1×2+(-2)×1+5×0=0，AC·n=1×(-1)+(-2)×2+5×1=0，即AB⊥n且AC⊥n，所以n=(1，-2，5)是平面ABC的法向量，故D正確.](2)A[如圖所示，延長SQ交底面圓周于點B，過點Q作QG⊥底面圓于點G，顯然OP·OQ=OP·(OG+GQ)=OP·OG=2cos〈OP，OG〉·|OG由題意可知cos〈OP，OG〉∈[-1，1]，0<|OG所以O(shè)P·OQ的取值范圍為(-4，4).]跟蹤訓(xùn)練3C[對于A，a+b=(1，3，6)，因為-21≠-13≠16，所以對于B，a與b夾角的余弦值為a·b|a||b|對于C，2a=(-4，-2，2)，5a+6b=(8，19，35)，則2a·(5a+6b)=-32-38+70=0，即2a⊥(5a+6b)，故C正確；對于D，4|a|=46，3|b|=3×50=56，例4證明(1)如圖，取AD的中點O，連接OP，OF.因為PA=PD，所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，所以O(shè)F∥AB.又四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD.因為PA=PD=22AD所以PA⊥PD，OP=OA=a2如圖，以O(shè)為坐標原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則Aa2，0，0D-a2C-a因為E為PC的中點，所以E-a易知平面PAD的一個法向量為OF=0，因為EF=aOF·EF=0，a2，0·且EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因為PA=aCD=(0，-a，0)，所以PA·CD=a2，0，-a2·(0，-a，所以PA⊥CD所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.跟蹤訓(xùn)練4證明因為AB=AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC.因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為AB=3，BE=5所以AE=2，所以E(0，0，0)，C(5，0，0A(0，2，0)，B(-5，0，0)，A1(0，2，7)，則F(1)EF=52，1，72，AB=(-5，-2，0)，AA設(shè)平面A1B1BA的一個法向量為n=(x，y，z)，則n所以-取x=-2,y=5,z=0,所以n因為EF·n=52×(-2)+1×5+72×所以EF⊥n.又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)易證EC⊥平面AEA1，所以EC=(5，0，0)為平面AEA1的一個法向量同理易證EA⊥平面BCB1，所以EA=(0，2，0)為平面BCB1的一個法向量.因為EC·EA=0，所以EC⊥EA故平面AEA1⊥平面BCB1.§7.6空間向量的概念與運算課標要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有和的量相等向量方向且模的向量相反向量長度而方向的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或的向量共面向量平行于的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p=.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=.{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b=.(2)空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數(shù)量積a·b共線a=λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b=0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉=a·b|a||b|(acos〈a，b〉=

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=01.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面.()(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有AB+BC+CD+DA=0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()2.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，則下列向量中與A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b-c D.-12a-13.若平面α外的直線l的方向向量為a=(1，0，-2)，平面α的法向量為m=(8，-1，4)，則()A.l⊥α B.l∥αC.a∥m D.l與α斜交4.已知空間向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，則實數(shù)λ=.1.牢記空間中三點共線、四點共面的充要條件(1)在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：OA=xOB+yOC(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點.(2)在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)，O為空間任意一點.2.解題時防范以下幾個易誤點(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.(2)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.題型一空間向量的線性運算例1(1)已知向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，若A，B，C三點共線，則a-b等于()A.-8 B.-2 C.2 D.8(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點，AG=2GE，則GCA.13AB-2B.13AB+2C.-13AB+2D.-13AB+2思維升華用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.跟蹤訓(xùn)練1在正四面體ABCD中，F(xiàn)是AC的中點，E是DF的中點，若DA=a，DB=b，DC=c，則BE等于()A.14a-b+14c B.12a-bC.14a+b+14c D.12a-題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(多選)下列說法正確的是()A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.若G是四面體OABC的底面△ABC的重心，則OG=13(OA+OBC.若OG=25OA-35OB+45OC，則A，D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三個不共面的向量，m，n，k∈R)，則稱p在基底{x，y，z}下的坐標為(m，n，k).若p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標為(1，2，3)，則p在基底{a-b，a+b，c}下的坐標為-思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面PA=λPBMP=xMA+yMB對空間任一點O，OP=OA+tAB對空間任一點O，OP=OM+xMA+yMB對空間任一點O，OP=xOA+(1-x)OB對空間任一點O，OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB跟蹤訓(xùn)練2O為空間任意一點，若AP=-14OA+18OB+tOC，若A，B，C，A.1 B.98 C.18 D題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(多選)已知空間中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三點，則()A.AB與AC是共線向量B.與向量AB方向相同的單位向量是2C.AB與BC夾角的余弦值是-55D.平面ABC的一個法向量是(1，-2，5)(2)已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面(異于頂點和底面圓周)上任意一點，則OP·OQ的取值范圍為()A.(-4，4) B.[-4，4]C.(-2，2) D.[-2，2]思維升華空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.跟蹤訓(xùn)練3已知空間向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，則下列結(jié)論正確的是()A.(a+b)∥aB.a與b夾角的余弦值為3C.2a⊥(5a+6b)D.4|a|=3|b|題型四向量法證明平行、垂直例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點.(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC.思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關(guān)點的坐標，進而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，點E和F分別為BC和A1C的中點.求證：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.答案精析落實主干知識1.大小方向相同相等相等相反平行重合同一個平面2.(1)a=λb(2)唯一xa+yb(3)xa+yb+zc3.(1)|a||b|cos〈a，b〉(2)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0aa1自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C3.B4.-2探究核心題型例1(1)A[因為A，B，C三點共線，所以AB與AC共線，又向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，所以-31=6a所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.](2)C[因為AG=2GE所以GE=1所以GC1=GE+EC+CC1=1=13×12(AB+AC)+=23AC-13AB跟蹤訓(xùn)練1A[根據(jù)題意可得DF=12(DA+DC)=12(DE=12DF=14(a所以BE=BD+DE=-DB+DE=-b+14(a+c)=14a-b+14例2BD[對于A，若b=0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯誤；對于B，由于G為四面體OABC的底面△ABC的重心，設(shè)D為BC的中點，故AG=2GD整理得OG-OA=2OD-2OG，故3OG=OB+OC+故OG=13(OA+OB+OC對于C