專題一實際應(yīng)用問題方程、不等式、函數(shù)的實際應(yīng)用專題突破篇·類型1幾何面積問題·類型2銷售利潤問題·類型3工程問題·類型4最優(yōu)方案設(shè)計【福建2022年考過】類型1幾何面積問題如圖，某旅游區(qū)的湖邊有一個觀賞湖中音樂噴泉的區(qū)域，該區(qū)域沿湖邊有一條東西向的長為32m的欄桿．考慮到觀景安全和效果，旅游區(qū)計劃設(shè)置一個矩形觀眾席，該觀眾席一邊靠欄桿，另三邊用現(xiàn)有的總長為60m的移動圍欄圍成，并在觀眾席內(nèi)按行、列(東西向為行，南北向為列)擺放單人座椅，要求每個座椅占地面積為1m2(如圖所示)，且觀眾席內(nèi)的區(qū)域恰好都安排了座椅．設(shè)觀眾席內(nèi)有x行座椅．例1(1)用含x的代數(shù)式表示每行的座椅數(shù)，并求出x的最小值；解：每行的座椅數(shù)為60－2x，由題意得60－2x≤32，解得x≥14，所以x的最小值為14.(2)旅游區(qū)庫存的500個座椅是否夠用？請說明理由．如圖，某旅游區(qū)的湖邊有一個觀賞湖中音樂噴泉的區(qū)域，該區(qū)域沿湖邊有一條東西向的長為32m的欄桿．考慮到觀景安全和效果，旅游區(qū)計劃設(shè)置一個矩形觀眾席，該觀眾席一邊靠欄桿，另三邊用現(xiàn)有的總長為60m的移動圍欄圍成，并在觀眾席內(nèi)按行、列(東西向為行，南北向為列)擺放單人座椅，要求每個座椅占地面積為1m2(如圖所示)，且觀眾席內(nèi)的區(qū)域恰好都安排了座椅．設(shè)觀眾席內(nèi)有x行座椅．解：夠用．理由：設(shè)觀眾席內(nèi)的座椅數(shù)為y，由題意得y＝x(60－2x)，其中14≤x＜30，x為整數(shù)，所以y＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，所以y的最大值為450.因為450<500，所以庫存的500個座椅夠用．某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元．由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸．例2(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？類型2銷售利潤問題解：設(shè)這個月該公司銷售甲特產(chǎn)x噸，則銷售乙特產(chǎn)(100－x)噸．依題意，得10x＋1×(100－x)＝235，解得x＝15，則100－x＝85，經(jīng)檢驗x＝15符合題意，所以這個月該公司銷售甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸．某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元．由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸．(2)求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤．解：設(shè)該公司一個月銷售甲特產(chǎn)m噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且0≤m≤20，設(shè)該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所獲得的總利潤為w萬元，由題意，得w＝(10.5－10)m＋(1.2－1)(100－m)＝0.3m＋20，因為0.3>0，所以w隨著m的增大而增大，又因為0≤m≤20，所以當(dāng)m＝20時，w有最大值，最大值為0.3×20＋20＝26(萬元)，故該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤為26萬元．經(jīng)銷商用32000元購進(jìn)一批某品牌運動鞋，售完后，又用52800元再購進(jìn)一批該種品牌的運動鞋，第二次購進(jìn)的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的1.5倍，但每雙運動鞋進(jìn)價比第一次上漲了20元．例3(1)經(jīng)銷商第二次購進(jìn)運動鞋多少雙？解：設(shè)經(jīng)銷商第一次購進(jìn)運動鞋x雙，則

，解得x＝160，經(jīng)檢驗，x＝160是該方程的解．1.5x＝1.5×160＝240.答：經(jīng)銷商第二次購進(jìn)運動鞋240雙．(2)經(jīng)銷商將第二次購進(jìn)的運動鞋平均分給甲、乙兩家分店銷售，每雙標(biāo)價300元．甲店按標(biāo)價賣出m雙以后，剩余的按標(biāo)價打八折全部售出；乙店同樣按標(biāo)價賣出m雙，然后將n雙按標(biāo)價打九折售出，再將剩余的按標(biāo)價打七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同．①寫出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；整理得n＝－0.5m＋60.②已知乙店按標(biāo)價售出的數(shù)量不超過九折售出的數(shù)量，請你求出乙店利潤的最大值．(2)經(jīng)銷商將第二次購進(jìn)的運動鞋平均分給甲、乙兩家分店銷售，每雙標(biāo)價300元．甲店按標(biāo)價賣出m雙以后，剩余的按標(biāo)價打八折全部售出；乙店同樣按標(biāo)價賣出m雙，然后將n雙按標(biāo)價打九折售出，再將剩余的按標(biāo)價打七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同．解：依題意，得0<m≤n，即0<m≤－0.5m＋60，∴0<m≤40.設(shè)乙店售完全部運動鞋的利潤為y元，則y＝300m＋0.9×300n＋0.7×300－52800×＝90m＋60n－1200＝90m＋60(－0.5m＋60)－1200＝60m＋2400.∵60>0，∴y隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝40時，y取最大值，為60×40＋2400＝4800，∴乙店利潤的最大值為4800元．類型3工程問題例4為舉辦“第五屆數(shù)字峰會”，福州海峽會展中心請A，B兩個公司布置部分展廳．已知單獨完成此項工作A公司需要18天，B公司需要12天，A公司單獨完成此項工作的總費用比B公司單獨完成此項工作的總費用少6000元，A公司工作10天與B公司工作5天的費用相同．(1)求A，B兩公司單獨工作1天各需多少元；解：設(shè)A公司單獨工作1天需要x元，B公司單獨工作1天需要y元，依題意得

答：A公司單獨工作1天需要1000元，B公司單獨工作1天需要2000元．(2)會展中心決定先由A公司工作m天，剩余的再由B公司工作n天，剛好完成布置展廳任務(wù)．現(xiàn)要求A，B兩個公司工作的總天數(shù)不超過15天，問如何安排A，B兩個公司工作的天數(shù)，使費用最少？并求出最少費用．為舉辦“第五屆數(shù)字峰會”，福州海峽會展中心請A，B兩個公司布置部分展廳．已知單獨完成此項工作A公司需要18天，B公司需要12天，A公司單獨完成此項工作的總費用比B公司單獨完成此項工作的總費用少6000元，A公司工作10天與B公司工作5天的費用相同．∴當(dāng)m＝9時，w取得最小值，最小值＝－

×9＋24000＝21000，此時n＝12－

m＝12－

×9＝6.答：當(dāng)安排A公司工作9天，B公司工作6天時，費用最少，最少費用為21000元．考點4最優(yōu)方案設(shè)計問題在學(xué)校開展的“勞動創(chuàng)造美好生活”主題系列活動中，八年級(1)班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．例5(1)采購組計劃將預(yù)算經(jīng)費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？解：設(shè)購買綠蘿x盆，吊蘭y盆，依題意得

∵8×2＝16，16＜38，∴

符合題意．答：購買綠蘿38盆，吊蘭8盆．在學(xué)校開展的“勞動創(chuàng)造美好生活”主題系列活動中，八年級(1)班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．(2)規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值．解：設(shè)購買綠蘿m盆，則購買吊蘭(46－m)盆，依題意得m≥2(46－m)，解得m≥.設(shè)購買兩種綠植的總費用為w元，則w＝9m＋6(46－m)＝3m＋276，∵3＞0，∴w隨m的增大而增大．∵m≥，且m為整數(shù)，∴當(dāng)m＝31時，w取得最小值，最小值＝3×31＋276＝369.答：購買兩種綠植總費用的最小值為369元．為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種襯衫，其中甲、乙兩種襯衫的進(jìn)價和售價如下表：例6若用3000元購進(jìn)甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進(jìn)乙種襯衫的數(shù)量相同．

甲乙進(jìn)價(元/件)mm－10售價(元/件)260180(1)求甲、乙兩種襯衫每件的進(jìn)價；解：依題意得

整理，得3000(m－10)＝2700m，解得m＝100，經(jīng)檢驗，m＝100是原方程的根，100－10＝90(元)．答：甲種襯衫每件進(jìn)價為100元，乙種襯衫每件進(jìn)價為90元．(2)要使購進(jìn)的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？解：設(shè)購進(jìn)甲種襯衫x件，乙種襯衫(300－x)件，根據(jù)題意得解得100≤x≤110，∵x為整數(shù)，∴共有110－100＋1＝11種進(jìn)貨方案．解：設(shè)總利潤為w，則w＝(260－100－a)x＋(180－90)(300－x)＝(70－a)x＋27000(100≤x≤110)，①當(dāng)60＜a＜70時，70－a＞0，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝110時，w最大，此時應(yīng)購進(jìn)甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；(3)在(2)的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種襯衫進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠a元(60＜a＜80)出售，乙種襯衫售價不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？②當(dāng)a＝70時，70－