貴州省六盤水市2023?2024學年高一下學期期末學業(yè)質量監(jiān)測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．下列圖形中，可以表示函數的是（

）A． B．C． D．3．已知，則（

）A．1 B． C． D．24．已知函數且，則下列選項正確的是（

）A．函數的值域為B．若，則C．函數的圖象恒過定點D．若，則5．已知長方體的長?寬?高分別為，則這個長方體外接球的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．6．在中，是邊上靠近點的三等分點，是的中點，若，則（

）A．0 B． C． D．17．已知函數是定義域為的奇函數，，當時，，則（

）A．-2 B．-1 C．0 D．28．已知，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖在正方體中，分別是的中點，則下列選項正確的是（

）A．平面 B．平面C．四點共面 D．與所成的角為10．下列選項正確的是（

）A． B．C． D．11．已知向量的數量積（又稱向量的點積或內積）：，其中表示向量的夾角；定義向量的向量積（又稱向量的叉積或外積）：，其中表示向量的夾角，則下列說法正確的是（

）A．的面積為B．若為非零向量，且，則C．若，則的最小值為D．已知點為坐標原點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知函數，則.14．已知分別為三個內角的對邊，且，則面積的最大值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知二次函數的圖象經過點且對稱軸為.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.16．已知函數，(1)求函數的最小正周期；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變；再向左平移個單位長度，得到函數的圖象.當時，求函數的最值.17．如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號.作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要創(chuàng)造者.六盤水市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽（滿分100分），從所有答卷的成績中抽取了容量為100的樣本，將樣本（成績均為不低于50分的整數）分成五段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值和估計樣本的下四分位數；(2)按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取20份成績，應從中抽取多少份；(3)已知落在的平均成績是53，方差是4；落在的平均成績?yōu)?5，方差是7，求成績落在的平均數和方差.（注：若將總體劃分為若干層，隨機抽取兩層，通過分層隨機抽樣，每層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：.記這兩層總的樣本平均數為，樣本方差為，則）19．對于定義域為的函數，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在上是單調函數；②當時，，則稱是該函數的“優(yōu)美區(qū)間”.(1)求證：是函數的一個“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數有“優(yōu)美區(qū)間”，當取得最大值時求的值.

參考答案1．【答案】A【分析】首先化簡集合，再根據集合與集合的關系，元素與集合的關系判斷即可.【詳解】因為，所以，，，故正確的只有A.故選A. 2．【答案】B【分析】由函數的定義即可得解.【詳解】通過平移直線，只有B選項的圖象滿足：其圖象和直線至多有一個交點，即只有B選項符合題意.故選B.【思路導引】根據函數的定義：對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，可知函數的圖象和直線至多有一個交點，即可得出答案.3．【答案】B【分析】運用復數乘法化簡，結合模公式求解.【詳解】，則.故選B.4．【答案】C【分析】根據指數函數的性質即可求解.【詳解】函數且為指數函數，指數函數的定義域為，值域為，故A錯誤；若，則在上單調遞增，所以，則，故B錯誤；指數函數的圖象恒過定點，故C正確；若，則在上單調遞減，則由，得，故D錯誤；故選C.【思路導引】根據指數函數的定義域為，值域為，即可判斷選項A；根據時指數函數的單調性即可判斷選項B；根據指數函數的圖象恒過定點，即可判斷選項C；根據時指數函數的圖象，即可判斷選項D.5．【答案】D【分析】長方體的外接球直徑為體對角線，求出半徑即可.【詳解】長方體的外接球直徑為體對角線，且，則..故選D.6．【答案】C【分析】根據平面向量基本定理結合已知條件將用，即可求出，從而可求出結果.【詳解】因為D是BC邊上靠近點的三等分點，E是的中點，所以，所以，因為向量不共線，所以，所以.故選C.7．【答案】A【分析】由周期函數、奇函數的性質即可求解.【詳解】由題意，所以的周期是4，所以.故選A.【思路導引】根據以及是定義域為的奇函數，可得的周期是4，從而計算出.8．【答案】B【分析】利用余弦的兩角和差公式和切化弦思想，即可求出結果.【詳解】由已知得：；；兩式相加得：，，，，故選B.【思路導引】利用兩角和差公式化簡題目條件，計算得，結合的范圍計算出的值，最后利用切化弦計算的值為.9．【答案】ABC【分析】根據線面平行判定定理，線面垂直判定定理，兩直線平行確定共面，兩直線夾角定義法判斷各個選項.【詳解】對于A，在正方體中，連接,因為分別是的中點，所以，又平面，平面，因此平面，A正確；對于B，在正方體中，平面，面，所以，因為，是平面內的兩條相交直線，所以平面，由面，則，分別是的中點，有，所以，在正方體中，平面，面，所以，因為，是平面內的兩條相交直線，所以平面，由面，則，又，所以，又因為是平面內兩條相交直線，則平面，B正確；對于C，由上可知，兩條平行線可以確定一個平面，所以四點共面，C正確；對于D，連接相交于點，連接，在正方形，點為的中點，可得，所以為與所成的角，設正方體的邊長為2，,，，因為，，D錯誤；故選ABC.10．【答案】BCD【分析】對于A，舉反例即可判斷；對于BCD，結合基本不等式的相關知識即可判斷.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，由基本不等式可得，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確.故選BCD.11．【答案】BC【分析】對于A，直接由新定義結合三角形面積公式即可驗證；對于B，建立關于方程，從而即可判斷；對于C，由已知得出，結合模的公式以及基本不等式即可判斷；對于D，由新定義結合向量數量積、模的坐標公式即可驗算.【詳解】A：，選項A錯誤；B：若為非零向量，，則，選項B正確；C：，則,當且僅當時取到“”，選項C正確；D：已知點為坐標原點，則，選項D錯誤.故選BC.12．【答案】【分析】首先表示出，，再根據線性運算的坐標表示計算可得.【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：. 13．【答案】【分析】根據分段函數計算即可.【詳解】，，所以，故答案為：.14．【答案】/【分析】利用余弦定理和均值不等式來求面積的最大值.【詳解】由題意得：，由余弦定理得：即，當且僅當時取等號.故答案為：/.【思路導引】結合題目條件可得，根據三角形內角的范圍得出A的值，利用余弦定理與基本不等式得到最后結合三角形面積公式計算出最大值為.15．【答案】(1)； (2).【分析】（1）代入點，結合對稱軸列方程可解；（2）列不等式，解出即可.【詳解】（1）二次函數圖象經過點和對稱軸為，，，.（2），，，，不等式的解集.16．【答案】(1)；(2)，無最大值.【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡原函數，再求最小正周期即可.（2）先求出變換后的三角函數圖像，再利用三角函數的最值求解即可.【詳解】（1），，函數的最小正周期；（2）由（1）知，把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到，再向左平移個單位長度得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，，當時，，當時，，當時，，且無最大值.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）只需證明，其中點是與的交點，然后結合線面平行的判定定理即可得解；（2）思路一：由等體積法求線面角；思路二：用定義得出直線與面所成角為，結合解三角形知識即可求解.【詳解】（1）連接，連接交于點，則為中點，又是中點，連結，則是的中位線，，又平面，平面，平面；（2）方法一：由題意設，記點到平面距離為，在中，是的中點，，又平面，平面，，又，，平面，∴平面； 平面，，，，，，，記直線與平面所成角為；方法二：過作的垂線，垂足為，連接.在中，是的中點，∴，又∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，平面，，又∵，，平面，∴平面，則直線與面所成角為，在中由，由題意設，知，求得.則.18．【答案】(1)，；(2)人；(3)，. 【分析】（1）根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程求出的值，再根據百分位數計算規(guī)則計算可得；（2）根據分層抽樣計算規(guī)則計算可得；（3）首先求出各組的人數，再根據平均數、方差公式計算可得.【詳解】（1）由已知可得，所以，樣本成績在分以下的答卷所占的比例為，樣本成績在分以下的答卷所占的比例為，因此樣本成績的下四分位數一定位于內，設為，則，解得，所以因此樣本成績的下四分位數為；（2）按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取份成績，抽樣的比例為，樣本成績在有人，則從樣本成績中抽取人；（3）落在的人數為人，落在的人數為人，兩組成績的總平均數，兩組成績的總方差.19．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據優(yōu)美區(qū)間的定義來證明即可；（2）假設函數存在“優(yōu)美區(qū)間”，結合已知導出矛盾即可得證；（3）原題條件等價于是方程（*）的兩個同號且不等的實數根，結合判別式可得的范圍，